求t时刻质点的位置坐标和加速度

1、大学物理学业竞赛讲座力学例题及解答例1 一质点沿x轴运动，其速度与位置坐标的关系为 v=2x 1若t=0时质点 位于坐标原点，求t时刻质点的位置坐标和加速度。解：=2xdtx dx0 2x 1t0dt(e2t2-1)学 2e2tdt2例2 一半径为R的半圆柱体沿水平方向作加速度为a的匀加速运动，如图示。竖直杆只能在竖直方 向运动。当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体 的接触点P的角位置为為求此时竖直杆运动的速 度和加速度。解:x = Rsin 二y = Rcosdxc口 d日d日vRcosdtdt dtdyRsin 二=vtan - dtdtVPapRcos -dvp.2 . drata n：

2、 vseca ta n dtdt例3如图示合页构件由两个菱形组成, 其边长之比为2: 1。顶点A?以速度 水平移动，求当构件的所有角为直角时，顶点ABB2的速度Rcos3 r解：Xa2 = 31 cos VdxA2=v03l sindtdr>dtd 丁 _dt 一 3l sin 二VoyBiXB2=2l cos v 】vA=l cost > vb1x=l Sin V )vy.、d日 2-2l sinv°dtdt 3趟+41vodtdt 3dydtd日1二 l cosvoctg vdt35.l cost > vB2xdxBdtsin芒2 dt56V0=丄丨sin v

3、r2二观cos dt 2 dt 6 例4甲、乙两小孩在做游戏，甲在树上,yB21一 v°ctgrVo乙在地上用枪描准甲，乙一开枪，甲就 从树上跳下（初速度为零）。问：甲是否 被击中？若被击中，求出被击中的时间 和地点。乙解:（略）例5 一质量为m的质点t=0时自坐标原点以初速中受到空气阻力f = -mkv，求:(1)（2）解:t时刻质点的速度; 质点的运动方程。(1)mg f 二 ma-mkvx 2mg - mkvydtdVy二 mdt(1)由（1）：dvx 一顷 -T dtt0(Wvxdvx由（2）:甲hv。=v°i做平抛运动，运动过程dvytvg -kVydT >

4、 .o（k）dt=0VTk，y 欝1）VxVy二 v°eJstdx dt_kt 二 v°e （2）vxxtdx"。_ktv0kt xe dt j x （1 - e ） kvy=空=g（1 _e乂），Jdy =dt k0Og-e&d-y 黑tg （1 -e虫）k2x = ±（1 e） k八？tk讨论:（1）Vx =V。kT。，：Vy =gtX =v0ty pt2理想平抛运动（2） t 厂:,乂=0& =g/kVox = ky=l匀速直线运动 g_k2例6 一小环A套在半径为a的竖直大圆环上，小环与 大环之间的摩擦系数为，证明：当大环以匀角速

5、绕 它自己水平轴O转动时，如果（g/a）1/2（11/胪）1/4则小环与大环之间无相对运动。解：N + mg cosT = ma特2丿f=mgsi门日c ANmg sin ：（ma 2-mg cos）- .-1/2,g sin 日亠 口、 a + cos 日）la = I令 f L）=（誓 cos"， f'）=0 >tan J 1/ Jsin J -1/ . 1；'丄2, cos -/1；'丄2例7如图，设所有的接触面都光滑，求物 体m相对于斜面的加速度和M相对于地面 的加速度。解1:mg sin v - max* 弘mgcos日=mayN1 sin 日

6、=Ma0_ _3x = -a0 cos日 +a'a =a° +a'T t.c tay = t sin 6mg si nr -m(£0cosv a')« 2 mgcosB =mao sin 日 tN1 sin 日=Ma0(M m)g sin j2M msin 二 mg sin cosM msin2 二解2：mg si nr ma0 cos v - ma'N1 -mgcos) ma0sin v -0 =N1 sin v - Ma0a'ao_ (M m)g sin)M msin2 rmgi n cosM msin2例8 一质量为m

7、的质点以初速vo，抛射角珀乍斜抛运动，落地时与地面发生碰撞，而后作第二次斜抛运动。设质点两次斜抛运动的飞行时间相等， 而第二次斜 抛运动的射程是第一次的一半，求碰撞时地面对质点的冲量。y解：-mgti j -mgj I v2x" -v1xfI 二 m(V2x -Vix)i mg(. ：ti 迤力Vo sin日小=ti = - :t2, Vix =VoCOSr,V2xg1 Vo COS T2I - - mv0 cos / mv0 sin j2例9 一质量为M的圆环用线悬挂着,两质量为m的有孔小珠套在此环上，小珠可在环上无摩擦滑动，如图所示。 今将两小珠从环的顶部释放，使之沿相反方向自由

8、滑下。3(1)证明：为使小珠下滑过程中大环能升起，m和M必须满足：m .M ；2(2)在满足上述条件下，求大环开始升起时小珠与环中心连线与竖直线的夹角解:(1)(2)1 2mgR(1 cos日)=一 mV ijT Nmg cos v N =R上升条件：2Ncos， Mg，2mg(2 -3cos)cos J Mg2 a 2 p + Mcos cos36m以上不等式有解：4 4M 门 3“ m M9 6m23当m3M时，以上不等式的解为:2二 mg(2 _3cosr)1以)5如1必3(1_即开始上升时，o严(1+严? 2m例10如图所示，半径为R、质量为M、表面光滑的半球放在光滑的水平面上， 在其

9、正上方置一质量为 m的小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后，在图示 的T角位置处开始脱离半球，已知 cos" = 0.7，求M/m。VvR解:mvx - MV 二 0 I x1 2 1 2 2I - MV +m(vx +vy) =mgR(1cos日)x =v'cosr -VVy =v'sin 日_-_ vv =V +v't <m(v'cos v -V) - MV =0i 121222MV m(v'cos)-V) v' sin 打二 mgR(1-cos"2(M m)gR(1-cosr)M +msin2 日m2gR(1 -c

10、osRcos 二(M m)(M ms in2 巧脱离球面的条件：N = 0,则匚v*2 2( M + m)mg(1cosT)mg cos v - m厂RM +msin 日M cos3 J - 3cos v.43m3cos v - 2例11用一弹簧把质量各为 mi和m2的两木块连起来，一起放在 地面上，弹簧的质量可不计，而 m2>m1，问：对上面的木块必 须施加多大的压力F，以便在F突然撒去而上面的木块跳起来 时，恰能使下面的木块提离地面？解:m1m2FF mig 二 kx1m2刚好能被提起的条件:(1)m1m2g 二 kx2机械能守恒：1 . 2kx1 - m1 gx-i根据(1)(3)

11、可得(2)(3)x= 0X2X1nF =血 m2)g例12如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对与地面移动的距离。解:XC2 :ml Ml/2m Mms + M (s +1 / 2)m M由 Xci =Xo2 得:ml s = m M例13如图，质量为m的小球，拴于不可伸长 的轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运 动，其半径为R,角速度为，绳的另一端通 过光滑的竖直管用手拉住，如把绳向下拉R/2 时角速度为多少？解：L =mvR =mR%RL'=mv' = mR2 24例14如图所示，质量为 m的小球B放在光滑的水平槽内，现以一长为 l的 细绳连接另一质量为 m的小球A

12、，开始时细绳处于松弛状态，A与B相距为l/2。 球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当A运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运动时速度vB的大小。解：mv0l 12= mvA lmv0 = mvB mvA cos600 mvA|cos300 -0vB cos30 vA|3vBv°7例15固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴ooo 转动，设大小圆柱的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕 在两柱体上的细绳分别与物体 m1Vamumum1和物体m2相连，mi和m2则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设R=0.20m, r=0.10m, m=4kg, M=10kg

13、, mi=m2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力。mii g Ti = maim?g +T? = m?a2TiR-T2J-'印=Ra, a2 = ra.1J 12Jmi Rm2r1. 2 2f2a =6.13rad /sT1 =17.2NT2 =20.8N1m2gm1g例16如图，滑轮质量为M，半径为R,物体质量m,弹簧屈强系数k,斜面倾 角二均为已知。开始时扶住物体 m,使系统保持静止，弹簧无伸缩，然后放开。求：（1）（2）（3）解:物体下滑距离为x时的速度为多少？下滑距离x为多大时，物体的速度为最大，最大速度为多少? 物体下滑的最大距离为多大？（设绳子与滑轮间无相对滑

14、动）(1)_12.1,2 丄 1,2.-0=mv 十一丨 +kx -mgxsin 廿 2 2 2v = RCOJ =】MR2、一 22mgxsin v - kx2(2)(3)m M /2dv dv dx dv mg sin v - kx av dtdx dtdvdxX :XmXmaxxm=0、Xmaxdx m M /2mgs in 日_ ! mgxsin 6.'Vmax , . . , _km M / 2 2mg sinftl/2。l/2 B2m例17如图，长为I,质量为m的匀质细棒的两端 分别连着质量均为m的小球A和质量为2m的小 球B。整个系统绕过细棒的中点 0的水平轴自水 平位置

15、以零初速自由下摆，求：（1）系统摆到某一角位置二时，细棒的角速度和角加速度;（2）解:此时细棒对小球A、B的作用力。(1)1 l12mgsin)-2mg-sin-J2 2l 2l 212J =m() 2m()mlI 22122T5 .2ml66gsin v51d， d d r d 3g cosOf = = codt de dt de 5l(2)l 3l 23.aBt 苛=10gco，aBn W5gsin =2mgcos v -TBt =2maBt =2m g cos=2m 3g sin 二5TAn卄2mgTBn -2mgsin v - 2maB图11TBt = 7 mg cos5TBn 16

16、mg si nr513.TAt = mg cosH 10TAn =? mg sinT 5例18水平面内有一静止的长为I，质量为m的细棒，可绕通过棒一端 0点的铅直轴旋转。今有一质量为m/2、速率为V0的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射击 棒的中点，子弹穿出时速率减为 V0/2。当棒转动后，设棒上各点单位长度受到的 阻力正比于该点的速率（比例系数为 k）。试求：（1）子弹穿击瞬时，棒的角速度-'0为多少？（2）当棒以角速度转动时，受到的阻力矩 Mf为多少？（3）棒的角速度从'0变为7/2时，经历的时间为多少？1lm1Q1l/2 j V0l/2m/2解（D因为井=0,所以系统（子弹、

17、棒）角动量守恒。子弹击人前*子弹 1量牛$捧的角动量为零卡子弹击穿后瞬间，子弹角动量为罟-寻-?棒的角占 ££t为皿（2）所以总阻力矩Aly = JdAlf =&ur2dr = V<3）由角动量定理A4工 dCfeoZ3 dt n -i-wzZ2 dw5om:'n2klC例19如图，圆柱体A上绕着轻绳，绳子跨 过一定滑轮B与物体C相连。设A、B、C 的质量均为为m,圆柱体和定滑轮的半径均 为R，系统从静止开始运动。求物体C下落 h后的速度和加速度。（设圆柱体与接触面 间、定滑轮与绳子间都无相对滑动）解：mg T| = maT R TqR = J%订2R + fR =叫T2 - f = mac2 a = R%, ac = R-：2, a = ac R-：2, J = mRag , v2ah6gh1515另解：1 2 12 12 12mgh mv J 1 J 2mvC2 2 2 2v = R ,vC2 1,2 1,2 1 22 ' 2 2 2 C,JmR22=R 2, v =vC R 2, J16ghv283访冷9v 二V 15'例20