大一微积分学习报告

1、哈尔滨工业大学项目名称： 大一微积分学习报告院系及专业： 机电学院 机械设计制造及其自动化 制作人： 王茫茫 学号：1110810124摘要：本文介绍了微积分学产生的背景、建立过程以及其产生重大的历史意义。此外，在文章中也对微积分学的理论知识、基本内容进行了介绍和与说明。微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分最大的奥义。因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。关键字：微积分 牛顿 莱布尼茨 一 微积分学的历史进程十七世纪，人们因面临着有

2、许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。 在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。 这两位数学家在微积分学领域中的

3、卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。 1605 年 5 月 20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有 “ 流数术 ” 的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。 有了这些理论知识作为前提为以后的微

4、积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。二 微积分的重大意义积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。微积分的产生不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。有了微积分，就有了工业革命，有了大工

5、业生产，也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了。微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。这一切都表明微积分学的产生是人类认识史上的一次空前的飞跃。积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。微积分的产生和发展被誉为“近代科技文明产生的关键事件之一”，它引入了若干极其成功的，对以后许多数学家的发展起了决定性作用的思想。恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明

6、之一”微积分的建立无论是数学还是对其他的科学以致于科技的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用。三 微积分的基本介绍和基本内容积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量增量的乘积。作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实

7、数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。 就是说，除的数不是零，所以有意义，同时可以取任意小，只要满足在区间，都小于，我们就说他的极限就是这个数。虽然这个概念给出的比较取巧，但是，它的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。因此这个概念是成功的。四 大学的微积分学的相关知识点1、（极限）这一章求

8、极限的方法多种多样，很容易混淆出错。下面是两道易错的求极限的方法。（1）错解：原式=0=0解析：时， 无极限，因此不能用法则分项求极限。正解：<0,所以原极限=0 .(2)错解：因为=，所以=-2解析：与是不等价的两个函数，不能用等号连接。正解：=-2在这两个题目中，我们都习惯用正常的思维去解决，求捷径，但不想这却导致了错误的结果。当不知道从和下手时，应当从原定义去着手，按照书上的公式入手。 无论在什么时候，等价无穷小的几个公式都必须牢记：下列常用等价无穷小关系（） ； ； ； ； ； ； ； 2、（导数与微积分）在这章中，最主要的就是记住那些书本中出现的公式，只有记住公式再加上灵活的运

9、用，才能完整的解出问题。细心的同学们也不能放过隐函数中隐在式子中的未知数。这张需要的技巧性很高，公式应用的很灵活。例如：求函数的导数（有指数，求对数）解：先取对数，再对x求导，最后得出 有很多看似很简单的题目，却不知道怎么求出来，这个时候就返璞归真，回到课本的公式或者定义上来。下面是 复习题二的第一道题目。但是看着很多人都觉得很简单，然而，拿起笔去来却不知道从什么地方，等到老师一讲出来，所有同学都豁然开朗。例：设，则 。解：原式=这就很简单的解出来了。直接是用定义，一下子就得出答案。3、（微分中值定理与导数的应用） 记住罗尔、拉格朗日、柯西这三个中值定理，还有就是熟练的应用几个不定式类型的转换

10、，再使用洛必达法则。求最大值最小值的问题在高中已经有学习，在这个基础上在熟练掌握使用连续两次求导方程式来求就能在运算中事倍功半了，很简便。4、（多元函数微积分）在前面几章中，我们都是讨论的函数中只有一个自变量，而这一章中，将要学习多个变量的相互关系。微分法、偏导数、二重积分这些的计算将是重点。理解二元函数，再从这个基础上理解二元以上的函数。需要知道它的几何意义与算式相结合的方法才能更深的理解它的含义。（在一个区域上连续的二元函数的图形是一连续的空间曲面，其在面上的投影为区域D。） 求二元函数的极限又牵扯到了第一章中一元函数极限的求法，等价无穷小那几个公式莫要忘记！在这一章中，由于牵扯的变量很多

11、，一些公式很容易混淆，这就要很注意了。分清：导数（）、偏导数()和隐函数的导数，很有必要。例：设方程，求，解： 方法1：设函数则 ， ，于是 ，上式再对求偏导数，得 方法2：方程两边对求偏导，得 ，解得，通理得。 再有就是二元函数极大极小值的问题，记住公式，题目就不会太难解。拉格朗日乘数在这方面必须得掌握，考试也就考这个了。问题还是最后这一节二重积分的计算，由于之前定积分关于体积计算的问题很模糊，直接导致了这一小节很多地方都很费解。直角坐标系下计算的二重积分还好说，极坐标系下二重积分的计算就真一片模糊了。5、曲面积分和曲线积分 (一) 对弧长的曲线积分1定义：，其中表示第个小弧段的弧长。2性质

12、：具有与定积分类似的性质。如线性性质，对积分路径的可加性等。3计算：(1) 若曲线的界数方程为，()且，在上连续，在上连续，则。(2) 若曲线的方程为且在连续，上连续，则。(3) 若曲线的极坐标方程为()，且在上连续，在上连续，则。(4) 若空间曲线的方程为，在上连续在上连续，则。(二) 对坐标的曲线积分1定义：其物理意义是变务沿有向弧段所作的功，即2性质：除了与弧长的曲线积分相同的性质外，应注意方向性3计算：(1) 若曲线的参数方程为，且曲线的起点和终点所对应的的值为和，又，在或上连续，在上连续，则(2) 若曲线的直角坐标方程为，且曲线的起点和终点所对应的的值为和，又在或上连续，则(3) 若

13、空间曲线的参数方程为，且曲线的起点和终点所对应的的值为和，又，在或上连续，则(三) 格林公式，曲线积分与路径无关的条件1格林公式设和及一阶导数在闭区域上连续，则有其中分段光滑曲线是区域的正向边界。2四个等价命题若，在单连通区域内有一阶连续偏导数，则在内下列四个命题相互等价：(1) 曲线积分与路径无关，其中是中分段光滑曲线；(2) 沿中任一分段光滑闭曲线有。(3) 对内的任一点有。(4) 在内存在一函数使，则有3两种曲线积分之间的关系其中，是上任一点方向上的切向量的方向余弦。(四) 对面积的曲面积分1定义：，其中()是曲面块上的第个块的面积。物理意义是密度的曲面块的质量当时为面积。2计算若曲面可

14、用单值函数表示设为在平面上的投影区域，则若曲面的方程为单值函数若，设和为在平面和平面上的投影，则曲面积分可类似地化成重积分：或 (五) 对坐标的曲面积分1定义：其中表示的第子块在平面上的投影，含义类似。物理意义：设流体密度为1，流速为 ，则单位时间内流进有向曲面指定一侧的流量为2计算若曲面的方程为，则(当为曲面的上、下侧时分别取正、负号)类似地，若曲面的方程为则 (当为曲面的前、后侧时分别取正、负号)若曲面的方程为则 (当为曲面的右、左侧时分别取正、负号)3两类曲面积分的关系其中，是有向曲面上点处的法向量的方向余弦。(六) 高斯公式设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，函数、在上是有一阶连续偏

15、导数，则其中中的整个边界的外侧。(一) 第一类曲线积分的计算应掌握弧长微分的基本公式所有形式的计算公式均可由此推出，第一类曲面积分也有类的公式。(二) 第二类曲线积分与积分曲线的方向有关第二类曲面积分与曲面空间有关(三) 第一类曲面积分的计算时，应注意“一投、二代、三换”以及利用积分区域的对线性和被积函数的第二类曲面积分的计算应注意“一投、二代、三定号”。(四) 利用第二类曲线积分求平面图形面积是格林公式的一个简单应用可利下面各式计算面积：。(五) 利用格林公式时，要注意条件：1曲线是闭曲线，录不封闭则应添加曲线使其封闭；2函数和在封闭曲线围成的区域内应具有一阶连续偏导数；3曲线积分的方向是正

16、向，即逆时针方向。利用高斯公式时也应注意类似问题。(六) 有关重心公式线度的空间曲线的重心公式， 面度为的空间曲面的重心坐标，。 六、公式一、 （系数不为0的情况）二、重要公式（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11）三、下列常用等价无穷小关系（）四、导数的四则运算法则五、基本导数公式 六、高阶导数的运算法则（1） （2）（3） （4）七、基本初等函数的n阶导数公式（1） （2） (3)(4)(5) (6) (7) 八、微分公式与微分运算法则 九、微分运算法则十、基本积分公式 十一、下列常用凑微分公式积分型换元公式十二、补充下面几个积分公式十三、分部积分法公式形如，令，形如令，形如令，形如，令，形如，令，形如，令均可。十四、第二换元积分法中的三角换元公式(1) (2) (3) 【特殊角的三角函数值】 （1） （2） （3） （4） （5）（1） （2） （3） （4） （5）（1） （2） （3） （4）不存在 （5）（1）不存在 （2） （3）（4）（5）不存在十五、三角函数公式1.两角和公式2.二倍角公式3.半角公式4.和差化积公式5.积化和差公式6.万能公式7.平方关系8.倒数关系9.商数关系十六、几种常见的微分方