复变函数的极限

1、复变函数的极限于秀芝(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国 )摘要：这是一篇讨论复变函数极限的论文，把我们所熟悉的数学分析中实变函数极限的定义、定理、性质，推广到复变函数中，并加以证明。但是实变函数极限的定义、定理、性质，并不完全适用于复变函数。例如：复变函数的极限没有保序性、正性，复变函数没有左、右极限等等。同时，复变函数极限的定义与数学分析中的二元函数极限的定义相似，故它又具有二元函数的某些性质。本篇论文由四个方面组成。首先，我们讨论的是复变函数在某个定点时极限的定义，即描述性极限的定义和表达式极限的定义。其次，我们讨论的是复变函数极限的定理，如Heine定理、Cauchy 准则

2、、复合函数极限的定理等等，并给出了详细的证明。再次，我们讨论的是复变函数极限的性质，即唯一性、绝对值的极限、局部有界性、四则运算法则等等，同时，我们也给了详细的证明。最后，我们讨论的是复变函数在无穷远点的极限。在这方面，我们将极限从有限的定点逐渐引入到无穷远点，进而给出了函数在无穷远点处极限的定义、运算法则、定理，并给予了相应的应用。关键词：Heine 定理 Cauchy 准则 极限 复数列 Complex variable function limitYu Xiuzhi(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 1

3、21000 China)Abstract：This is a discussion about complex variable function limit paper. It promotes the definition, theorem, nature of the real variable function limit to the complex variable function limit and performs to prove it .But the definition, the theorem, the nature of the real variable fun

4、ction limit arent completely suitable for the complex variablefunction.For example, complex variable function limit doesnt have order nature,positive nature , and complex variable function doesnt have left limit and right limit , and so on . Simultaneously,the definition of the complex variable func

5、tion limit and the definition of the dual function limit of mathematica lanalysis is similar.So it also has some natures of dual function limit.This paper has four aspects.First,We discuss the defination of the complex variable function in some apex time , namely the definition of description limit

6、and the definition of expression limit.Next,we discuss the theorem of the complex variable function limit.For example ,Heine theorem, Cauchy criterion,the theorem of composite function limit,and so on. And it has produced the detailed proof. Once more,we discuss the nature of the complex variable fu

7、nction limit. Namely unique nature , absolute value limit nature ,partially having nature, mathematical operations principle nature ,and so on . At the same time, we have also gave the detailed proof. Finally ,we discuss the complex variable function limit in the infinite point. In this aspect, we g

8、radually introduce the limit from the limited fixed point to the infinite point, and then we have produced the definition and the theorem of limit in the infinite point . And we have gave the corresponding application.Key words: Heine theorem Cauchy criterion Limit Duplicate sequence一、复变函数极限的定义1定义定义

9、：设在点的去心邻域内有定义，当z趋于时 ，的极限为, 或是,指的是可以任意接近，只要我们选的点z足够地接近，而不等于它。定义：，表明对每一个正实数，都存在一个正实数，使得当：0< <时，有|<.2几何意义从几何意义上来说，这个定义指的是：的每一个邻域|,有的一个去心邻域0<<,使得其中的每一个z的像位于的邻域中。注意：即使我们要考虑去心邻域0<<的所有的点，也并不要求它们的像要添满整个邻域<中。例如：如果为常数，那么z的像，总是整个邻域的中心点，一旦被找到，那么它还可以由更小的正实数代替，比如说。定义要求定义在的去心邻域内，当是的定义域内的一个内

10、点时，这样的去心邻域当然总是存在的，我们可以通过如下的方式来把极限的定义拓宽到当是边界点的时候，只要让不等式中的z同时在区域内，而且在去心邻域内。例1 我们将要证明:如果=在开圆内，那么 。证明：点1位于的定义域的边界上，观察到当在区域时，有 = = 因此，对于这样的z和任意的正实数，我们可以得到，当时 ，有 因此，当是等于或者小于的正实数时，在中的任意点都满足定义中的条件，如下图所示：如果是的定义域的内点，定义中的极限存在，定义中的第二个不等式应该对去心邻域内的所有的点z都成立。所以，符号表示z允许以任意的方式趋近于，而不是以某一特定的方向趋近于。下面的例子要强调这一点 。 例2 如果，则极

11、限不存在。 证明：<反证法> 如果极限存在，则可以使点以任意的方式趋于原点，而极限值是唯一的，但是是实数轴上的非零点，则此时且当是虚轴上的非零点,则此时。于是，让Z沿实数轴趋于原点时，我们发现极限值为1；另一方向，让Z沿虚轴趋于原点时，我们发现极限值为-1。但是，由复变函数极限值的唯一性知，函数的极限是不存在的。（该函数沿实数轴和虚轴趋于原点的图象，为下图所示）二、复变函数的定理 定理1 设，那么,当且仅当且。 证明：（充分性）假如且成立，那么的极限存在。设极限值为，即 。由知道，对任意的正实数，都存在正实数，使得当时，有: （1） 对上述的，由知，存在>0，使得当 时，有:

12、 （2）令取和中较小的数，由= +和 = = 由（1）（2）所述， 有 成立，只要 即可.这就是说，函数的极限存在。（必要性）假使函数的极限存在 ，即 =.由此，对于每一个正实数，都存在一个正实数，使得 < （3）成立，只需 （4）但是 并且 因此，由不等式（3）（4）可知， 成立，只需 .这样就得到了 ， .例3 求数列 = 的极限。解： = = = = 0定理2（复合函数的极限） 设 ，且存在的一个空心邻域有定义，当在此邻域内时，有 ,则 .证明：对于任给的0 ，由 可知，存在，使得：当 时，恒有 。再由的假设，知存在，使得当时，恒有。因此就有.根据复变函数极限的定义有 .定理3（H

13、eine定理） 设函数在点的一个空心邻域内有定义，则 的充分必要条件是：对任何复数列，且恒有 . 证明：（必要性）因为，故对于任意的，都存在，使得当 时，有。又因为，故对于上述，存在N ，使得当 时，就有 。由已知又有，故当 时，有。于是，当时，就有 。故得。（充分性）：<反证法>若，则由极限的否定表述知，存在，使得对任何 ，都存在，使得 当 时,有 。依次取 ， 则有数列，使得当时，有。这表明满足条件，且,()，但 ，与充分性的假设矛盾。从而有=。推论： 设和为异于，但又趋于的数列，满足： ，则不存在。定理4（Cauchy准则） 复变函数在点处有极限的充分必要条件是：对任何给定的

14、 ，都存在，使得<， ，： ，。证明：（必要性）设=，于是，对于任给的，都存在，使得，当时，就有 。于是，当，时，有 <+= 。（充分性）设是满足条件()，且（）的任一复数列，对于任给的，按假设存在，使得当及时，就有 。对于上述的 ，因为（），故有，使得当时，就有。又因为（），故当，时，就有，于是当，时，有 。由Cauchy 收敛准则知收敛。再由Heine定理知，在点的极限存在。三、复变函数极限的性质1（唯一性） 当一个函数在一个点存在极限，那么函数的极限值是唯一的。证明：设，那么，对于任意的正实数，存在正实数和使得：当时，有。当时，有。因此，如果，其中为和 当中较小的一个，那么，

15、我们有= | + =2。由于可以选得任意小，所以，。即，即。故极限是唯一的。例4 设= +，试证明：当时，的极限不存在。证明：设，则=。于是 = += = 。当=时，即沿第一象限的角平分线趋于零时，有。当=时，即沿这条直线趋于零时，有。 由于以不同的方式趋于零时，不趋于同一个值，因此，由复变函数极限值的唯一性知，该复变函数的极限不存在。例5 设= ，试证明：当时，的极限不存在。证明：设，则 = ，当z沿直线趋向于零时，有。显然，当取不同值时，趋于不同的值。所以，由复变函数极限值的唯一性知，不存在。例6 设=（），试证：当时，的极限不存在。证明：设，则 = = 。于是， 当z 沿着正实数趋向于时

16、，=，此时，我们得到：。当z沿这条直线趋于时，=，此时，我们得到：。而由复变函数极限值的唯一性知，该极限不存在。2（绝对值的极限） 如果，则。证明：由于，则有，使得，有而 故。3（局部有界性） 如果，则复变函数在点的某一空心邻域内有界。证明：已知，则由复变函数极限的定义有，存在， ，有 <1-11故有 +1。即在点的某一空心邻域内有界。4（四则运算法则） 设，且 ，那么 （1） （2） （3）并且如果 ，有 （4）证明：（1）、（2）。令 ，则 根据二元实变函数极限的运算法则，有而 于是， = = 证明（3）：令 = ， = 且， ， ，那么，根据已知条件和定理1有，当趋于时，相应的函数

17、u, v, U, V 的极限均存在，并且分别为，和。 所以，乘积 = 。当趋于时，其极限的实部和虚部的分量分别为和（）。 因此，由定理1，当趋于时 ，有极限 且它等于 ，即该等式成立。证明（4）：已知 = 由运算法则（3）有 又，故 有。例7 求多项式的极限。解：由极限的定义知 ，且 ，这里和是任意的复数，并且由四则运算法则和数学归纳法知， （ ）所以，多项式 当趋于时的极限是多项式在该点的取值，即。例 8 计算下列极限 （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ；解： = = = = = = - = （令） = 0四、复变函数在无穷远点处的极限1把无穷远点引入复平面，并且使用与之相关的极限

18、，在很多时候是很方便的，这样的平面被成为扩充复平面，要观察无穷远点，可以把复平面想象为以原点为中心的球面，沿赤道的投影平面上的每个点都对应球面上一个点。点由通过点和北极的直线与球面的交所确定，我们以同样的方式可以知道除北极点外，球面上的每一点都对应平面上的一个点，让球面上的北极点对应无穷远点，这样，我们就可以使扩充的复平面和球面上的点之间建立一一的对应关系，这样的球面被成为黎曼球面，对应的部分则被成为球极投影。 可以看到复平面上，以原点为中心的单位圆的外部与上半球面除去赤道和北极点的部分外均相对应，并且对每一个正实数，在复平面上的圆周外的点，都对应于离北极点很近的点，因此，我们把集合叫做的一个

19、邻域。 约定：当说一个点，我们指的是有限的平面。 现在可以很容易地给出下述式子的含义， ，其中或者取，或者是它们都取。2、定义。（1）称复变函数在无穷远点附近有定义，如果存在，使得的定义域包含所有满足的点。 （2）设函数在无穷远点附近有定义，如果对任意给定的，都存在，使得，。则称时以为极限，记为。3运算法则设 ，。则 （1） ； （2） ； （3） ； （4） （）；此时的，可以同时为，或者其中之一为无穷。要求：+= ，+c（），= ，·=，,（，但可为），；其中·,可以应用下面即将谈到的洛必达法则进行计算。4. 定理及应用。 定理5：如果和分别是和平面上的点，那么（1）, 当且仅当。 （2），当且仅当 。 （3），当且仅当 。 证明：(1) 由知，对于每一个正实数，都存在一个正实数，使得当时，