湖北省洪湖市曹市镇庆丰中学邓志超（教学论文）

1、三角形的边与角一章中，关系角之间的计算规律微探湖北省洪湖市曹市镇庆丰中学邓志超在教学三角形的边与角一章时，有几类与三角形的边与角有关的题型，这些题目都有比较明显规律可循，特别是在学生做选择填空题时，更可以大大提高解答的速度，在解答题中，也可为学生指明分析的方向，并可以作为判断解题的结果正确与否的依据。对于三角形的角之间的关系，最根本的依据是三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180º；三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；与之有关的即特殊的三角形直角三角形中两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形。以此为基础的相关题目中，能找出规律的最典型的题目如

2、下：一、三角形中，过同一顶点的高与角平分线夹角的计算。题目一：（2010年春 相城区期末）如图1-1，ABC中，AD是BC边上的高，AE是三角形BAC的角平分线.（1）若B=40°，C=70°，则DAE为多少度？（2）若B=，C=，且>，请用和表示出DAE.题目二：（2014年秋 中江县期中）如图1-2，ABC中，AD是BC边上的高，AE是三角形BAC的角平分线.（1）若B=40°，ACB=110°，则DAE为多少度？（2）若B=，ACB=，且>，请用和表示出DAE.图1-2图1-1在题目一中，第（1）题可利用三角形的内角和等于180

3、6;，在已知B=40°，C=70°，可先求BAC=70°，再利用AE是BAC的角平分线，可求EAC=35°，在RtADC中，利用直角三角形中两个锐角互余且C=70°，可求出DAC20°，从而可求DAE=15 °本题利用了三角形内角和定理、角平分线定理同理，第（2）题可以按同样的方法得出：DAE（）.题目二也可利用同样的方法得出：DAE（）.由解答过程可知总体的规律：在三角形中，过同一顶点的角平分线与高的夹角，等于过另两个顶点的内角差的一半。二、三角形外角知识运用中的角的计算。（1）翻折后所构成的夹角和问题。（2012 北辰区

4、一模）如图2，ABC中，A=50°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠AEF，得DEF，求图中1+2的度数.图2因为翻折前后，图形的形状和大小均未改变，所以AD，先连接AD得到两个三角形：AED和AFD，可利用三角形内角和定理的推论得出结论：1+22A100°. 不难看出，如果将A=50°换成A=，则1+22，即三角形的一角沿某条直线翻折后，原来的两边分成的两条线段构成的夹角之和，等于这个角翻折前的两倍.（2）等腰三角形中等角的运用。（2006 江阴市自主招生）如图3-1，在ABC中，ABAC，BAD20°，且AEAD，求CDE的度数.图3-1图3-

5、2在小学阶段，学生已明白等腰三角形的两个底角相等，因而在本题的计算过程中，已能加以运用，所以，如图42中，学生已能找到相关的等式：BC，23，再利用三角形内角和定理的推论可得出：31+C （）；1+2B+4（）.由这几式之间的关系可得1+1+CC+4，整理可得421，即2120°，故110°，正好是BAD度数的一半。不过，若题目中条件不变，若点D在BC的延长线或反向延长线上，如图3-3和图3-4，结论是否仍然成立呢？经过同样方法的推理，可以发现，图3-3中，BAD与CDE同样满足这一条件，即BAD2CDE。不过，当点D在BC的延长线上时，解答如下：如图3-5，在ABC中，5

6、180°23 在CDE中，41+E1+（1+2）21+2 在ACD中，6180°24180°2 （21+2）180°2122 在ECD中，DCE180°1（1+2）180°2123 5180°2（180°212）41+22180° 由+可得 5+621，即BAD2CDE.图3-5图3-4图3-3因而，不管BAD的大小如何变化，学生都能一口气回答出CDE的度数，即在等腰ABC中，ABAC，若点D为边BC所在直线上的一点，点E为射线AC上一点，且当ADAE时，BAD2CDE.三、“8字型”的两个三角形之间内角

7、和的关系计算及运用。如图4-1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形图4-1的图形称之为“8字形”图4-2图4-1利用三角形内角和定理不难得出，A+DC+B，虽然看起来这个结论很简单，但在后续的学习中，“8字型”的图形会经常得到运用，特别是在比较复杂的几何图形中，包括与平面直角坐标系结合的相关题目中。这里只举一个与八年级上册有关的一个题目：如图4-2，在图4-1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试解答下列问题：（1）在图4-2中，若DAO=50°，OCB=40°，P=35°，试求D的度数；（2）在图

8、4-2中，若设D=，B=，其它条件不变，试求P的度数其解答过程如下：解：（1）由题可知，12DAO=25°，34OCB=20°， 在ADM和CPM中，（“8字型”） 1+D+AMD=3+P+CMP， AMD =CMP，（对顶角相等）1+D =3+P D =3+P120°+35°25°30°；（2）AP、CP是DAB、BCD的平分线，1=2，3=4，在ADM和CPM中，（“8字型”）AMD=CMP，（对顶角相等）1+D+AMD =3+P+CMP，1+D=3+P，31=DP；同理，在APN和CBN中，（“8字型”）2+P=4+B，42=P

9、B；D-P=P-B，P=（D+B）；即P=（+）结论：在“8字型”的两个三角形中，除对顶角外的另两角和相等。四、三角形内角和定理在凹四边形外角计算中的运用。在初中阶段研究四边形，若没特别说明，均是凸四边形，但也有一个特例，它就是与三角形内角和定理有关的一种四边形，学生们喜欢称其为“飞镖形”。题目一：（2001 呼和浩特）如图5-1，在ABC中，A50°，D是ABC内的一点，且120°，230°.求BDC的度数.图5-4图5-3图5-2图5-1如图5-2，延长BD交AC于点E，则可利用三角形内角和定理的推论得出BDCDEC+21+A+220°+50

10、6;+30°100°如果在图5-1中，擦去线段BC，就成了图5-3，也就是学生们称之为“飞镖形”的图形，在求其外角BDC的度数时，学生即可一口气回答出结果了。其变式题略举一例：（2010 梅州模拟）如图5-4，求A+B+C+D+E的度数和.“飞镖形”凹角的计算规律：“飞镖形”的凹角的度数等于与它不相邻的三个内角之和。五、与三角形的角平分线间的夹角的计算。1、三角形的内角平分构成的夹角计算。图6（人教版数学教材<2013年审订>八年级上册P17第9题）如图6，12，34，A100°.求x的值.本题中，利用三角形的内角和得：1+2+3+4+A180

11、6;，变形得22+2480°，2+440°，故x140.若原题中其它条件不变，令A，那么x也可用含的代数式表示出来，不难得出x°90°+.2、三角形的一个内角平分与一个外角平分线所构成的夹角计算。（2013春 吉州区期末）如图7-1，在ABC中，内角平分线AP和外角平分线CP相交于点P，若BAC50°，求P的度数.由图7-2可知，3+4A+1+2，34，12，24A+22，那么4A+2，由三角形内角和定理的推论可得4P+2，PA25°.由此可知，若A，则BAC的平分线与ACB的外角平分线的夹角P.图7-2图7-1其变式题略举一例：（2

12、014春 张家港初一期末）如图7-3所示，ABC中，A=96°（1）BA1平分ABC，CA1平分ACD，请你求A1的度数；（2）BA2平分A1BC，CA2平分A1CD，请你求A2的度数；（3）依此类推，直接写出An与A的关系式；（4）如图7-4，小明同学用下面的方法画出了角：作两条互相垂直的直线MN、PQ，垂足为O，作PON的角平分线OE，点A、B分别是OE、PQ上任意一点，再作ABP的平分线BD，BD的反向延长线交OAB的平分线于点C，那么C就是所求的角，求的度数图7-3图7-43、三角形的两个外角平分线所构成的夹角计算。（菁优网）如图8-1，在ABC中，A，ABC的外角平分线与A

13、CB的外角平分线交于点O，求O与BAC的关系. 如图8-2，1+2A+6，4+5A+3，1+2+4+5A+3+A+6，即22+252A+3 +6，3 +6180°A，22+25180°+A，即2+590°+A，O180°（90°+A）90°A90°.图8-2图8-1从以上三道例题不难看出，三角形的内、外角平分线的夹角有如下规律：当一内角的度数为时：另两内角的平分所构成的夹角度数为90°+；另一内角与第三个角的外角平分线的夹角度数为 ；另两外角的平分线所构成的夹角度数为90°.当然，与三角形的角有关的计算还有许多