whx周期序列离散傅里叶级数及傅里叶变换

1、 了解傅里叶变换的几种形式 了解时域与频域信号特性的对偶关系 了解周期序列的傅里叶级数及傅里叶变换之间的关系 了解离散时间信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 时间函数 频率函数连续非周期 非周期连续傅里叶变换（FT） 周期连续 离散非周期傅里叶级数（FS）离散非周期 周期连续序列的傅里叶变换周期离散 离散周期离散傅里叶变换连续时间、连续频率傅里叶变换(FT)时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。()( )j tX jx t edt 1( )()2j tx tX jed 时域连续函数造成频域是非周期的谱，时域周期函数造成频域的离散。000/20/

2、201()( )TjktTX jkx t edtT00( )()jktkx tX jke 时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续()( )jj nnX ex n e1( )()2jj nx nX eed 一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散周期序列的傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的210( )( )NjnkNnX kx n e2101( )( )NjnkNkx nX k eN时间函数时间函数频率函数频率函数连续和非周期非周期和连续(FT)连续和周期(T0)非周期和离散(0=2/T0) (FS)离散(T)和非周期周期(s=2/T)和连续 (DFS)离散(T

3、)和周期(T0) 周期(s=2/T)和离散 (0=2/T0) (DFT) 2.3.1 周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入ktjkekXtx0)()(0对上式进行抽样，得： 导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的傅氏级数开始的： knkNjknTjkekXekXnTx200)()()(0NT20)(nTx)(0kX因 是离散的，所以 应是周期的。)(0kX，代入而且，其周期为 ，因此 应是N点的周期序列。0/2 NT 又由于 所以求和可以在一个周期内进行，即 即，当在k=0,1,., N-1求和与在k=N,.,2N-1求和所得的结果是一致的。knNjrnjnkNjnrNkNjee

4、ee222)(21020)()()()()()(NknkNjekXnxkXkXnxnTx则有，；，考虑到：1020NknkNjekXnTx( )() x nx nrNrN周期序列：为任意整数 为周期000 ( )() ( )( )aajktakx tx tkTTx tX k e连续周期函数：为周期0002 /jktTke 基频：次谐波分量：0 ( )( )jknkNx nX k e为周期的周期序列：002 /jknNke基频：次谐波分量：nNjene/21)(knNjkene/2)(周期为N的正弦序列其基频成分为： K次谐波序列为：knNjnNkNjee/2)(/2 但离散级数所有谐波成分中只

5、有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处， 即 因此 )()(nenekNk注意与连续周期序列注意与连续周期序列傅傅氏级数的区别氏级数的区别 周期序列不能进行傅里叶变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，不满足绝对可和条件。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数J加权的复指序列的线性组合。10/2)(1)(NKknNjekXNnx二. 的k次谐波系数 的求法 1.预备知识)

6、(nx)(kXrmmNrNeNnrnNj，其他为任意整数0,102)(11122)1(2222102时mNrNeeeeeerNjNrNjNrNjrNjrNjNnrnNj注意：其他注意：其他r时分子总是为零时分子总是为零t 的表达式 将式 的两端乘 ，然后从 n=0到N-1求和，则：)(kXnrNje2102)(NnnrNjenx102)()(NknkNjekXnx1010)(2)(NnNknrkNjekX22111()000211()00( )( )( )( )NNNjnrjk r nNNnnkNNjk r nNknx n eX k eX keNX r102)(1)(,NnnrNjenxNrX

7、因此3.离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入，则：NjNeW210102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnx正变换：反变换：周期序列的DFS正变换和反变换：21100( ) ( )( )( )NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W2110011( )( )( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN2jNNWe其中： 1)周期序列可展开为 N 次谐波的线性组合 2）谐波系数 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级

8、数 3） 为周期序列，周期为N。)(kX)(kX DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， 的傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数，强度是2，即0( )jtax te00()( )2()jtj taaXjFT x teedt 对于时域离散系统中 ，暂时假定其FT的形式与上式一样，也是在=0处的单位冲激函数，强度为2，即00()2(2)jnjrX eDTFT

9、er 的周期性引起的。 的频谱如图2-3所示。 图2-3 的傅里叶变换 这是因为积分区间(-，)只包括一个单位冲激函数。以上利用冲激函数表示序列 的傅里叶变换，对于一般的周期序列 ，可以用DFS表示为N次谐波叠加的形式，那么利用傅里叶变换可以将按各次谐波表示如下 njnjrnjjederdeeX0)2(221)(21010)22()(2)()(NkrjrkNNkXnxFTeX 式中k =0，1，2，N-1，若让k 在之间变化，上式可简化为 上式就是利用冲激函数，以及周期序列的离散傅里叶级数表示周期序列的傅里叶变换的表达式。 22()( ) ()jKX eX kkNN 102)()(NnknNj

10、enxkX 例 2.3.1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓得到的序列(如图2-4(a)所示)，求序列的DFS与FT。 解： (1)求DFS273840044442224888( )( )111()1()jknknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkX kX n eeeeeeeeeeee 其幅度特性 如图2-4(b)所示。38sin2sin8jkkek (2)求FTkkjjkkkeeX)4()8/sin()2/sin(4)(83图 2-4 序列 x(n)的幅频特性 注意序列x(n)幅度特性 和幅频特性 | |的相似性，它们都可以表示周期序列的频谱分布，但周期

11、序列的| |使用冲激函数表示的。 )(jeX)(jeX 我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述()( )1( )()2j taaj taaXjx t edtx tXjedt 这里t与的域均在之间。 从模拟信号幅度取值考虑， 在第一章中遇到两种信号， 即连续信号和采样信号， 它们之间的关系如下： ( )() ()aanxtx nTtnT1()()aasnxjxjjkT X(e j)与Xa(j)之间有什么关系， 数字频率与模拟频率(f)之间有什么关系， 这在模拟信号数字处理中， 是很重要的问题。 为分析上面提出的问题， 观察1()()2j nTaax nTXjed(21)/(2

12、1)/1()()2rTj nTaarTrx nTXjed ()( )1( )()2jj nnjj nX ex n ex nX eed 令 ， 代入上式后， 再将用代替2rT /2/12()()212()()2n Tj nTjrnaaTrn Tj nTaaTrxnTXjr eedTxnTXjr edT 112()()212()()j naarjarxnTXjjr edTTTX eXjjrTTT图 模拟频率与数字频率之间的定标关系0.5 100.510.5 100.510.5 100.51 fs2sffsff 2s2sf2sss00022 例 2.4.1设xa(t)=cos(2f0t)， f0=5

13、0 Hz以采样频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样得到采样信号 和时域离散信号x(n)，求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。 解： ( )ax t0002200()( )cos212 (2)(2)aaj tjf tjf tj tXjFT x tf tedteeedtff ( )ax t Xa(j)是=2f0处的单位冲激函数， 强度为， 如图2.4.2(a)所示。 以fs=200 Hz对xa(t)进行采样得到采样信号 ， 其 与xa(t)的关系式为 ( )ax t0( )cos(2) ()anxtf nTtnT00()( )1() (2)(2)aaasksskXjFT xtXjjkTkfkfT 将采样信号转换成序列x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2f0