高等数学之中值定理-ppt课件

1、一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理罗罗尔尔（R Ro ol ll le e）定定理理 如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ,ba上上连连续续, ,在在开开区区间间),(ba内内可可导导, ,且且在在区区间间端端点点的的函函数数值值相相等等，即即)()(bfaf , ,那那末末在在),(ba内内至至少少有有一一点点)(ba , ,使使得得函函数数)(xf在在该该点点的的导导数数等等于于零零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上上可可导导在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( ,

2、 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释: :变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),

3、(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()( fxf, 0)()( fxf, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2一切条件一切条件满足罗尔定理的满足罗尔定理的不存在外不存在外上除上除在在f . 0)( xf

4、但在内找不到一点能使但在内找不到一点能使; 0)0(,1 , 0(,1 fxxy.1 , 0, xxy又例如又例如,例例1 1.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),

5、(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结结论

6、论亦亦可可写写成成ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减减去去弦弦曲曲线线., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线ba作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在

7、在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. .,),()(内内可可导导在在在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则则有有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称有限增量定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中

8、值公式又称有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论.)(,)(上上是是一一个个常常数数在在区区间间那那末末上上的的导导数数恒恒为为零零在在区区间间如如果果函函数数IxfIxf例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证证明明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条

9、条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少有一点有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( F

10、fbFaFbfaf成立成立. .几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使得使得内至少存

11、在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设, 1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01

12、)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.思考题解答思考题解答 1, 310,)(21xxxxf不满足在闭区间上连续的条件；不满足在闭区间上连续的条件

13、；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内可微的条件；不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理，则定理，则=_=_ _ _. .2 2、 设设)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_个根，它们分别在区间个根，它们分别在区间_上上. .3 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、 微分中

14、值定理精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系. .5 5、 如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _，那，那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数. .练练 习习 题题二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间 . .三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 证明下列不等式：证明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、时时当当1 x，exex . .六六、证证明明方方程程015 xx只只有有一一个个正正根根 . .七、设函数七、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数，阶导数，且且)0()0()0()1( nfff试用柯西中值定理试用柯西中值定理证明：证明：!)()()(nxfxxfnn ， （10 ）. .八、设八、设)(xf在在 ba,