高等数学第八节常系数齐次线性微分方程ppt课件

1、第八节第八节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程)(),(10常数 qpyqypy:)(为可改写用算子1dxdD 02qypDyyD或02yqpDD)()(2)(3,xrey 设,xrrey 则,xrery2 :)( 得代入 102xrxrxreqreper)(0 xre注意)(402qprr,)()(的特征方程叫做代数方程14)()()(的联系或与注意314301P)(,524221qppr特征方程的根.)( 的特征根叫做 1:分三种情况讨论,).为两个不相同的实根212041rrqp,)(,的解都是则12121xrxreyey.)(常数且xrreyy2121.)(,的通解是齐次方

2、程所以12121xrxrececy:,).为一对共轭复根212042rrqp)(,021 irir.)(,)()(的解都是齐次方程则121xixieyey xixeey 1)sin(cosxixex xixeey 2)sin(cosxixex ,cosxeyyyx 2213令,sinxeiyyyx 2214.)(,的解也是则143yy,cot常数因为 xyy 434231ycycy所以.)( 的通解是 1.,).为二重实根2043212prrqp,)(,xrey111的一个解只得到这时)sincos(xcxcex 21的另一解可以求出即设用常数变易法)()(112xrexCy xrey11xr

3、xey12.)()(的通解是所以11212211xrexccycycy:小结,.0012 qprryqypy的特征方程写出方程,.212rr 和求出特征根:,.写出微分方程的通解根据根的不同情形3 ir21,一对共轭复根21rr ,两个不相等的实根21rr 两个相等的实根xrxrececy2121xrexccy121)()sincos(xcxceyx 21:推广阶常系数齐次方程n0111ypypypynnnn)()(的特征方程为0111nnnnprprpr. ),(复特征根重单个根它有 n:,可以写出微分方程的解根据特征方程的根r单实根xrce:给出一项一对单重复根)sincos(:xcxce

4、x 21给出两项 ir21,rk重实根)(:121kkxrxcxccek项给出重复根一对k ir21,xxcxccekkx cos)(121sin)(xxdxddkk 121:项k2多项式的项数重数 021 yyy例:特征方程解,0122 rr,是二重实根1r.)(是原方程之通解所以xexccy210522 )()()(tststs例:特征方程解,0522 rr,是一对共轭复根ir21.)sincos()(是原方程之通解所以tctcetst222105234 yyy)(例:特征方程解,052234rrr05222)(rrr,021 rrir2143,:特征根021exccy)()sincos(xcxcex2243)sincos(xcxcexccx224321)(通解048 yy)(例:特征方程解,018r:特征根,1121rr4443 sincos,iri2222424265 sincos,iri434387 sincos,iri2222xxececy21xcxcex22224322sincosxcxcesincos650 xcxcex22228722sincos0254 yyy)(例:特征方程解,01224 rr,)(01