高等数学同济版泰勒公式ppt课件

1、二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( Taylor )公式 第三章 1. 求求 n 次近似多项式次近似多项式)(xpn, )()(00 xfxpn, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(0202012. 余项及误差估计余项及误差估计:)()()(xpxfxRnn(称为余项) | )()(| )(|xpxfxRnn(称为误差) s.t.一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立如何提高精度

2、 ?如何估计误差 ?公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .泰勒泰勒Taylor中值定理中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx 泰勒英）泰勒英） (1685 1731) 佩亚诺Peano余项 麦克劳林Maclaurin公式麦克劳林麦克劳林 （英）（英） (1698 1746) 佩亚诺佩亚诺 （意大利）（意大利

3、） (1858 1932)二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xco

4、s1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n) 1()1ln()()5(xxxf知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2,

5、 1(k三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 （例（例1） 2. 利用泰勒公式求极限例利用泰勒公式求极限例2）3. 利用泰勒公式证明不等式例利用泰勒公式证明不等式例3）知例例1. 计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于, 30ee欲使) 1 (nR!) 1(3n610由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因而e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为例例

6、2. 求求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法则不方便 !2x用泰勒公式将分子展到项,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(例例3.

7、证明证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式,xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(2) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.作业作业 P145 5 7 8 10 (1) (2)思考