学而思高中题库完整版导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义.学生版

1、板块一.与数的概念与几何意义日学音智用思森磕"IMIf知识内容i,函数的平均变化率：一般地，已知函数y f(x) , X0, X是其定义域内不同的两点，记 x X1 x。，y yi y。 f(xi) f(x。)f(x。x) f(x。)，则当x 0时，商坦一x) f(xo) ，称作函数y f(x)在区间xo,xox(或x。x,x。)的xx平均变化率.注：这里 x,y可为正值，也可为负值.但x 0, y可以为0.2.函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数y f (x)在x。附近有定义，当自变量在 x x。附近改变量为x时，函数值相应的改变y f(x。x) f(x。).如果当x趋近于0时，平

2、均变化率 二 止一x) f(xo)趋近于一个常数l (也就是说平均变化率 xx与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数)，那么常数l称为函数f(x)在点x0的 瞬时变化率.当x趋近于零时，f(x一x) f (x0)趋近于常数l”可以用符号“”记作： x当x 0时，及一x) f (x0) l"，或记作limf0x) f(x0) l"，符号“ ”读作 趋近于”. xx 0x函数在的瞬时变化率，通常称为“刈在乂 处的导数，并记作f (x0).这时又称f(x)在x x0处是可导的.于是上述变化过程，可以记作f (x0x) f(x°)f(x°x) f

3、(R)当 x 0 时, f (x0)或 lim f (xO).xx 0x3 .可导与导函数：如果f(x)在开区间(a, b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a,b)可导.这样，对开区间(a, b) 内每个值x,都对应一个确定的导数f(x) .于是，在区间(a,b)内，f (x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 y f(x)的导函数.记为f (x)或y (或yx ).导函数通常简称为导数.如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数.4 .导数的几何意义：设函数y f (x)的图象如图所示.AB为过点A(x°, f (x°)与B(x0x, f(x0

4、x)的一条割线.由此割线的斜率是/ 1(X0 x) f(x0),可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化 xx率.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终 位置为直线 AD ,这条直线 AD叫做此曲线过点 A的切线，即.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版lim Ux) f(X0)切线 AD 的斜率. x 0x由导数意义可知，曲线 y f (x)过点(%, f(%)的切线的斜率等于f(%).典例分析题型一：极限与导数【例1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为A. (0 ,180 ) B. (0 , 60 ),则的取值范围是(C. (60 ,90 )D.)(60180 )【例2】在正n

5、棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是例3 例4 例5 例6 例7 【例8】【例9】【例10】【例11】【例12】对于任意A . sin(sinC. sin(cosf (X)右网工coscosB.C.c 兀0 ,一2D.都有(cos(cos cos(sinfLf (X右 lim x 1 x 11)lxm1f(2设f(x)在X0可导,A. 2f X0川 f (x0 2 x)右 limX0x 03 xA. -3B. ff (X0)B.设f (x)在X处可导,A.A.f (x)2,已知函数B.(a则眄f(3B.D.2x)sin(sin sin(sincoscoscos(cos ) cos(sin

6、 )f x0x f X03 x 等于x0XC. 3f XD. 4f X0f (X0)等于(C. 3b为非零常数，则b)f (x)h) f(3)2hB.2则当h无限趋近于f(x)lxm0D. 2C.lxm0f (x a x) f (x b x)(a b)f (x)XD. f (x)C.3D. 1).0 时，f(a h) f 2hf(1 2X) f的值为X1已知f (x) 一，Xf(2 lim x 0X) f (2)的值是(X.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版3日学音智旧思若疏【例13】【例14】【例15】【例16】【例17】【例18】A.1B. 22右 f (x 1) f (1) 2x

7、 x ,则 f C. 1D.2已知函数“刈在乂 x0处可导，则lim f竺 x 02A. f (xo)B. f(x0)C. f(x。)2计算nim92n 2nlim -2n 2n 3将直线 : nx y n 0、卜：x ny n 0 ( n记为& ,则lim Snlimn132B.13n32C. 2【例19】如图,在半径为【例20】【例21】【例22】【例23】【例24】【例25】2X)X-2f (x0)()D. 2f (Xo)f(Xo)N , n>2) x轴、y轴围成的封闭图形的面积D.不存在r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆,正六边形，如此无限继续下去.设Sn为前n

8、个圆的面积之和，则又在此内切圆内作内接lim S ()n2,A.lxm11x2 3x 2若nim n(.2limnlimx 0lxm12C. 4 <22D. 671r(x 力cos x>x J 兀2x2 4x 32x(x 2)x 1x2 3x 41 ,则常数a n).板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版5日学音智用思森磕【例26】limx 24-2"" xA.B.C.D. 1【例27】x x lim x 1 xxT【例28】设函数f (x) a1sin x a2 sin2x Lan sin nx ,其中n N ,已知对一切【例29】【例30】有 f(x)

9、< sin x 和 Hm0sin x1 ,求证：ai如图，函数f(x)的图象是折线段 ABC,其中A;函数"刈在* 1处的导数f(f(0)如图，函数f(x)的图象是折线段 ABC,其中A,则 f (f (0)7m0f(1 x) f(1)xC的坐标分别为(0B, C的坐标分别为04 , 2,0,6,4,.(用数字作答)2【例32】函数A. 1f(x)2 x2x1在闭区间B. 21,1xx内的平均变化率为C. 3 2 xD.D.【例33】求函数1在Xo到Xox之间的平均变化率.【例34】若函数f(x)则当x1时，函数的瞬时变化率为(【例35】A. 1求函数f(x)B.C. 2D.2

10、1附近的平均变化率，在x1处的瞬时变化率与导数.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版7日学音智羽思若康【例36】求函数f(x) x3 2x在x1附近的平均变化率,在 x 1处的瞬时变化率与导数.【例37】已知某物体的运动方程是9t1t3 ,则当t93s时的瞬时速度是【例38】已知某物体的运动方程是2t2t3 2t2, M t3时的瞬时速度是【例39】已知物体的运动方程是st23,则物体在时刻t t4时的速度【例40】物体运动方程为A. 21/ s -t4B.【例41】一质点做直线运动，由始点起经过则速度为零的时刻是（A. 4s末B.)8s末【例42】如果某物体做运动方程为 末的瞬时速度为

11、（）A.0.88m/ss 2(1【例43】2时瞬时速度为（C. 6ts后的距离为sC. 0s与8s末34tt2）的直线运动（s的单位为B. 0.88 m/sC.4.8 m/sD. 8D. 0s, 4s, 8s末m, t的单位为s）,那么其在1.2sD. 4.8 m/s求y 6在x %处的导数.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版913学音智 阴思程康题型二：导数的几何意义【例44】 已知曲线y x 1上一点A 2,5 ,用斜率定义求: x2 过点A的切线的斜率； 过点A的切线方程.【例45】 已知曲线y Q 1上一点A（1,2）,用斜率定义求: x过点A的切线的斜率；过点A的切线方程.【

12、例46】 函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）【例47】【例48】【例49】【例50】【例51】【例52】【例53】【例54】【例55】【例56】【例57】【例58】f(2) f(2)求函数曲线yA. y求曲线函数yA- yf (X)aax 一 x(a1在点B.在点X1在点 x4x已知曲线y曲线yA. 30过点（1曲线y若曲线(1B. 0D. 00）的图象上过点A （af (3)f(3) f(2)f (3) f (2) f (2)P（ 1, 1）处的切线方程是（C. y x1）的切线1i方程，与过点（2,2处的切线方程为（1）的切线方程.)D.0）的切线C. y 4(x 1)2

13、的一条切线的斜率为1 ,则切点的横坐标为22x 4在点（1,3）处的切线的倾斜角为（B. 45C. 60D. 1201）作曲线yA.萼设曲线A. 2设曲线A. 1若曲线x3的切线，则切线方程为在点(121）处的切线方程为B.x3在x源61在点（3ax2在点(1B. 1f (2)f12的方程.D. y2x 4X0处的切线互相垂直，则 X0等于（C. 232）处的切线与直线ax yD.0垂直，则a （a）处的切线与直线C.2xD.0平行，则a （x4的一条切线l与直线y4x8平行,l的方程为.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版11日学音智阴思森磕【例59】若曲线y x4的一条切线l与直线x

14、 4y 8 0垂直，则l的方程为（）A. 4x y 3 0B. x 4y 5 0 C. 4x y 3 0 D. x 4y 3 0【例60】设P为曲线C : y坐标的取值范围是x2x 1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1 , 3则点P纵【例61】设P为曲线C : yx2 2x 3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为O,一，4【例62】【例63】【例64】【例65】【例66】【例67】【例68】【例69】【例70】【例71】则点P横坐标的取值范围为（A.1曲线y设函数在点（1A. 4函数A. 1x2xy 2f(x)曲线yA.娓B.1,0C. 0,1D.在点10g(x)1,1处的

15、切线方程为（B. x y 2 0x2 ,曲线yf（1）处切线的斜率为（B.14是偶函数.若曲线1处的切线的斜率为C. x 4y 5 0D.x 4yg(x)在点(1)C. 2y f x在点sinx的图象上一点g（1）处的切线方程为yD.-21, f 1处的切线的斜率为处的切线的斜率为（C.运2D.2xln(2 x1）上的点到直线B, 2752x3 0的最短距离是（C, 35D. 01，则曲线y f（x）1,则该曲线在点在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C: y 点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为x3 10x 3上，且在第二象限内，已知曲线抛物线y x2A.函数bxc在点（1,2）处的切线与

16、其平行线bx y c0间的距离为0是曲线x3 bx c的一条切线，则（-）33B. 0C. 1D. 22/y x (xa1 16 ,则 a10）的图像在点aa3a5的值是a2处的切线与x轴交点的横坐标为ak 1 ,其中k N已知点P在曲线A.0,4B.上上x j)e 14 2为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版13日学音智羽思森榛【例72】D. y 2x 2曲线ye在点(1, 1)处的切线方程为()A. y 2x 1B. y 2x 1C. y 2x 3.板块一.导数的概念与几何意义羽思森榛【例73】若曲线y11x2在点a , a工处的切线

17、与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a ()A. 64B. 32C. 16D. 8【例74】函数f (x)Inx的图象在点e, f(e)处的切线方程是【例75】设曲线xn 1 n N*在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn ,则 Xi XzL xn 等于A.B.n 1D. 1【例76】直线y kx 1与曲线y lnx相切，则k (A. 0 B.1 C. 1 D.1【例77】已知直线y x 1与曲线y ln x a相切，则a的值为(A. 1B. 2C. 1D.2ax2 -x 9都相切，则a等于(4C.工或卷D464【例78】 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C： y x3 10x

18、 3上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点P处的切线的斜率为2 ,则点P的坐标为 .【例79】若存在过点(1,0)的直线与曲线y x3和yA.1或型B.1或21644x 8 ,又P点的横坐标为5,则【例80】已知函数g(x) f(x) 1x2的图象在P点处的切线方程为y5f (5) f (5) 【例81】 设曲线y 1 c0sx在点上，1处的切线与直线x ay 1 0平行，则实数a等于()sin x2A.1B. 1C.2D. 2【例82】 已知函数f(x) logaX和g(x) 2loga(2x t 2)(a 0, a 1, t R)的图象在x 2处的切线互相 平行，则t .【例83】曲线yX

19、32x24x2在点(1,3)处的切线方程是.曲线yx32x24x2过点(1,3)的切线方程是 .【例84】已知曲线y 1x3-,则过点P(2,4)的切线方程是33【例85】已知曲线s : y 3x x3及点P(2 ,2),则过点P可向s引切线的条数为.题库.学生版日学宫智【例86】 曲线y 1和y x2在它们的交点处的两条切线与X轴所围成的三角形的面积是 X1x,【例87】 曲线y e2在点(4, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A. 9e2B. 4e2C. 2e2D. e22【例88】曲线y x3在点(a, a3)(a0)处的切线与x轴、直线x a所围成的三角形的面积为6,则【例

20、89】曲线y1 3-x3X在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(【例90】A. 1B. 2C. 1D. |求曲线y 2x2 1的斜率等于4的切线方程.【例91 若曲线f(x) ax3 lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是 【例92】 曲线y cosx在点P -, 处的切线方程是42【例93】 函数y cos2x在点0处的切线方程是()4A. 4x 2y 兀 0 B. 4x 2y 兀 0 C. 4x 2y 兀 0 D. 4x 2y 兀 0【例94】已知函数f(x)在R上满足f x 2f2 x x28x 8,则曲线y fx在点1,f 1处的切线方程是()A. y 2x 1B.yxC.y

21、 3x 2D. y 2x3【例95】已知曲线C： y 3x4 2x3 9x2 4 ,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程.【例96】 已知抛物线y ax2 bx c通过点P(1,1),且在点Q(2 , 1)处与直线y x 3相切，求实数a、 b、c的值.【例97】曲线y x(x 1)(2 x)有两条平行于直线y x的切线，求此二切线之间的距离.【例98】 已知曲线f (x) x3 2x2 1,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程.【例99】 已知曲线y x3 x 2在点Po处的切线1i平行直线4x y 1 0 ,且点己在第三象限, 求Po的坐标；若直线l 1i ,且l也过切点P

22、。，求直线l的方程.【例 100】已知函数 f (x) x3 (1 a)x2 a(a 2)x b (a, b R).若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3,求a, b的值.【例101】已知函数f(x) ex a ex (a R )的导函数是f (x),且f (x)是奇函数，若曲线y f (x)的一条切线的斜率是-,则切点的横坐标为()2A. In 2B. In 2In 2C.2D.ln2【例102】已知函数f(x) x3 bx2 cx d的图象过点 P(0,2),且在点M(1,f(1)处的切线方程为 6x y 7 0.求函数y f(x)的解析式.【例103】已知直线li为曲线y

23、x2 x 2在点(1,0)处的切线，12为该曲线的另一条切线，且11 12, 求直线12的方程；求由直线11、12和x轴所围成的三角形的面积.【例104】设函数f(x) ax b,曲线y f (x)在点(2 , f(2)处的切线方程为7x 4y 12 0 . x求y f(x)的解析式；证明：曲线y f(x)上任一点处的切线与直线x 0和直线y x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.1【例105】设函数f(x) ax (a , b Z),曲线y f(x)在点(2 , f (2)处的切线万程为y 3 .x b求y f(x)的解析式；证明：曲线y f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；证明：曲线y f(x)上任一点的切线与直线 x 1和直线y x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.【例106】已知抛物线Ci： yx22x和C2： yx2a ,如果直线1同时是Ci和C2的切线，称1是Ci和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.则a取什么值时，Ci和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.若Ci和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.【例107】设t 0,点P(t,0)是函数f (x) x3 ax与g