工程力学第六章答案梁的变形

1、第五章梁的变形测试练习1.判断改错题5-1-1 梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角亦为零. （）5-1-2两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的 截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。（）5-1-3悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在AB段上作等效平移，则A截面的 转角及挠度都不变。（）5-1-4图示均质等直杆（总重量为W,放置在水平刚性平面上，若A端有一集中力P作用， 使AC部分被提起，CB部分仍与刚性平面贴合，则在截面C上剪力和弯矩均为零。（）题5-1-3图'PA、；：二-.1/ / / / /CB题5-1-4图

2、5-1-5挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。（）5-1-6等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。（） 5-1-7两简支梁的抗刚度日及跨长2a均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等 而转角是相等的。（）5-1-8简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角，若在跨中截面C又加上一 个集中力偶M作用，则梁的截面C的挠度要改变，而转角不变。（）9nI-s- -a-T-_a_4_a_题5-1-7图题5-1-8图5-1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时,梁同一截面的应力及变形均相同。（）5-1-10图示变截

3、面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。2.填空题题5-1-9图题5-1-10图5-2- 1挠曲线近似微分方程y (x)M(x)ET的近似性表现在5-2-2题5-2-2图2aP2-, P1已知图示二梁的抗弯度日相同，若使二者自由端的挠度相等，则口P25-2-3应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。5-2-4在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。5-2-5用积分法求图示的外伸梁(BD为拉杆)的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边 界条件是 ,连续条件是 。5-2-6用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是, 连续条件是。5-2-7图示

4、结构为 次超静定梁。题5-2-5图题5-2-6图题5-2-7图5-2-8纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M的关系为,其变形曲线为 曲线。5-2-9两根日值相同、跨度之比为1: 2的简支梁，当承受相同的均布荷载q作用时，它 们的挠度之比为 。5-2-10当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x的 次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x的 次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x的一次方程。5-2-11图示外伸梁，若AB段作用有均布荷载，BC段上无荷载，则AB段挠曲线方程是x次方程；BC段挠曲线方程是x的次方程。题5-2-11图5-2- 12减小梁变形的主要途径有:5-2- 13PX2 ,c

5、 、已知梁的挠度曲线万程为y（x） （31 x）,则该梁的弯矩方程为6EI5-2- 145-2- 15梁的变形中，挠度和截面弯矩M的关系是 为使图示AB段的挠曲线为一直线，则*=，挠度和截面剪力Q的关系是5-2- 165-2- 17要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A端1/3处，则M：M二图示静定梁，其BD上无荷载作用，若已知B截面的挠度yB,则C截面的挠度yc=d截面的转角e d=M11题5-2-15图_1/3 . _31/2题5-2-16图B：一c - a a题5-2-17图3.选择题5-3-1简支梁长为1跨度中点作用有集中力P,则梁的最大挠度f=（）（曰=常量）5-3-2Pl 348EI

6、B.Pl448EI_ 5P 5PlC,384EID."3EI悬臂梁长为l梁上作用有均布荷载则自由端截面的挠度为。A4 八.6EI 3B.生6EIc丈8EI 3D38EI5-3-3两梁尺寸及材料均相同而受力如图示，则两梁的A.B.C.D.弯矩相同，挠曲线形状不相同 弯矩相同，挠曲线形状相同 弯矩不相同，挠曲线形状不相同 弯矩不相同，挠曲线形状相同5-3-4图示（a）、（b）两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图（a）梁的外力偶矩作用在C 截面，图（b）梁的外力偶矩作用在B支座的右作侧，则两梁AB段的内力和弯曲变形的比较是Ao内力相同，变形不相同B.内力及变形均相同C.内力及变形均不相同D

7、.内力不相同，变形相同题5-3-4图M0=Pl题5-3-3图5-3-5当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x=0,8 A=0； x=0, yA=0外，另两个条件是()。A. (yc)左=(yc)右,(8 c)左=(8 c)右B. (yc)左=(yc)右,yB=0C. yc=0, yB=0D. yB=0, 0 c=05-3-6 图示简支梁在分布荷载q (x) =f (x)作用下，梁的挠度曲线方程为AC0, D0C C0, D0B. C0,D0D C0,D0EIy(x) M (x)dxdx Cx D,其中，积分常量()。5-3-7挠曲线方程中的积分常梁主要反映了A.对

8、近似微分方程误差的修正B.剪力对变形的影响C.约束条件对变形的影响D.梁的轴向位移对变形的影响5-3-8图示悬臂梁在B、C两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等，转向相反, 使梁产生弯曲变形。B截面的变形为()。A. y 0,0B. y 0,0M0 Mq !BfCAD y 0,C. y 0,5-3-9图示简支梁受集中力作用，其最大挠度f发生在（）。A.集中力作用处 B。跨中截面C.转角为零处 d转角最大处5-3-10两简支梁日及l均相同，作用荷载如图所示。跨中截面C分别产生挠度yc和转角ec,则两梁c点的挠度及两梁c点的转角有（）。A. 0C相等，yc不相等Bo 0C不相等，yc相等C

9、. 0 c和都不相等d 0 c和yc都相等q*q A-，"B c :Bl 一题5-3-10图4.计算题5-4- 1试画出图示各梁挠曲线的大致形状。IPP |P|.a - -aia (d)# 11 I I - P l/2-l/2葭(e)题5-4-1图1_l/21/2 .(f)5-4-2 一简支梁承受图示分布荷载q=Kx2（ K为已知），试求此梁的挠曲线方程（设日=量）。5-4-3已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为EiyO3ql216日皿23ql216ql 3X112C1x1D1(0 X112)里乂3x2(X2 -(4 C2X2D2122422X12X2X2l)试求方程中的积分常量。5

10、-4-4试用叠加法求图示梁B点的挠度和转角。（日二常量）y题5-4-2图题5-4-3图|J72172_题5-4-4图5-4-5外伸梁受图示荷载作用，试求C截面的挠度和A截面的转角。（日=常量。）5-4-6矩形截面梁AB的抗弯刚度为曰，受力如图示。试问B端支座向上抬高A为多少时， 梁的A截面的弯矩和C截面的弯矩绝对值相等。（材料的抗拉与抗压性能相同）5-4-7图示弯曲的钢板梁AB,截面为矩形，宽度为b,高度为hl,钢板放在刚硬地面上时 原有曲率半径为p ,在两端受力P作用使其平直，则将有均布压力作用于刚硬地面GC上。 已知刚梁E （弹性模量），试求所需的P力及其在压平时梁内的最大正应力。题5-4

11、-5图题5-4-6图题5-4-7图5-4-8长度为l、抗弯刚度为曰的悬臂梁AB,受均布荷载q作用而弯曲时，与半径为r 的刚性圆柱面接触，如图所示。试求当梁上某一段AC与刚性圆柱面在C点接触（假设C点 与梁左端A的距离为x）时，B点的挠度。5-4-9单位长度重量为q、抗弯刚度为曰的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的 一端伸出水平面一小段CD,如图所示。若伸出长度为a,试求刚条翘起而不与水平面接触的 CD段的长度bo5-4-10超静定梁如图所示，AB段内作用有均布荷载q,当C支座向下沉陷qi496EI时,试求梁的反力。题5-4-8图题5-4-9图题5-4-10图5-4-11矩形截面悬臂梁如图

12、所示，梁长为l,在沿其截面高度h承受非均匀加热，设梁顶 部温度改变为t1,底部温度改变为t2,且t2>t1。温度沿截面高度呈线形改变。材料的线膨 胀系数为a,弹性模量为E,由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形，当梁的悬臂端施加偶矩 M时，能使梁展直。问应施加多大的外力偶矩？t1t2B5-4-12悬臂梁AB和CD的自由端处用拉杆BC相连，受力如图所示，若AB梁和CD梁的抗弯 刚度日相等，试求在下列两种情况下C点的挠度.（1）当BC杆为刚性杆，即EA= 8时；当BC杆长为2，EII时。CLLjIC Ei_iHD题5-4-12图5-4-13 AB与BC两梁较接于B如图所示。已知两梁的抗弯度相等，P

13、=40kNm,试求B 点的约束力。5-4-14悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。已知E及未受力前AB梁B点与CD梁中点之间 的间隙A （垂直距离），如图所示，当受P力后AB梁在B点的挠度大于A ,试求各梁的支座 反力。5-4-15具有初始挠度的AB梁如图所示，梁的日和l均为已知。当梁上作用有三角形分布 荷载时（q0已知），梁便呈直线形状。试求梁的初始挠曲线方程。>Trrm4m _ 2m.J2m.题5-4-15图题5-4-13图5-4-16试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。EI=常量5-4-17两端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩M ,如图所示。欲使在固定端A的反 力偶矩MA为零，则力偶矩

14、M应作用在梁上何位置？（即x =?）- -l/2l/2%5-4-16图题5-4-17图5-4-14I题测试练习解答5-4-9解图1 .判断改错题5-1-1 X。挠度和转角不仅与弯矩有关，而且与边界位移条件也有关，例如，当悬臂梁自 由端作用有集中力P时，自由端的M=0,但挠度和转角都是最大值。5-1-2 X。凡弹性变形均与材料的弹性模量值有关。5-1-3 Vo外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段的内力及变形。5-1-4 X。在C截面上弯矩为零而剪力不为力零。5-1-5 X。可以用于变截面梁，只是分母中的Iz不同。5-1-6根据 y"(x)Mix),可知曲率工最大值应在M最大

15、的截面处(日=常量EI时)。5-1-7 Vo若将2q分解成正对称和反对称两组，就可明显看出，在正对称的q作用下C 点有挠度，转角等于零。5-1-8 X。在C截面加上一力偶矩后C截面的挠度不变，而转角改变。5-1-9 X。应力不同，变形相同。因为变形只与Iz有关，而T形截面无论丁是,还是，其 惯性矩Iz是相等的。而应力不仅与Iz有关而且还与ymx (上下边缘到中性轴的距离)有关， 丁这种方法的最大拉应力比,这种方法的最大拉应力要大。5-1-10 X弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。2 .填空题(2a)33a5-2-1忽略男力Q的影响；1 (y ) 15-2-2 8。因鱼干

16、，所以且 3EI a3F25-2-3小变形及材料为线弹性5-2- 4 y (x)(x)5-2-5 x 0,yA0 x l,yBIbd； a yA 0, yB 0;5-2- 6 (1 ) A ( 2 ) A，(y1)Ay2 ) A5-2-7 二次5-2-8- M；圆弧线EI4_45q(l)5q(2l)5-2-91： 16。因 )/4 1/16384EI 384EI5-2-10 4; 3; 25-2-11 4; 15-2-12合理安排受力，减小M ；减小l ；加大日5-2-13 M (x) P(l x)5-2- 14y (x)M(x)EIy (x)Q(x)EI5-2- 155-2- 161/25-

17、2- 17VcYb/2a3 .选择题5-3-1 A 5-3-2 C 5- 3-35-3-45-3-5 B5-3-6 D 5-3-7 C 5- 3-85-3-95-3- 10 B4计算题5-4-2梁的挠曲线方程为(1) 求分布荷载的合力t0q(x)dxKl 3求合力作用点到点的距离:t0q(x)dx x3l4(2)求反力:RaKl3(3)列 M (x)Ra12Rb3PKl 3Kx3， M (x)一4 4) 代入y(2中并积分 由边界条件确定C90EI所以y(x) -(5l3x2 x5 4l5)360EI5-4-3(1)边界条件：'x1 0, y11 0,解出 C10x10, y10,解出

18、 D10(2)连续光滑条件：l ,X x2 2,(y1)cl /、x x2 一, (y1)C2Z 1 X'.一一(y2)C, 斛出。20(V2)c解出D20ql48eiql35-4-4(1)只有 q 作用时，(B)q q, (yB)q6EI(2)只有F=ql作用时:p(2)2( B)pc)p2ei ，ip93(yB ) P (yC) P ( C ) P 2 3EI(3 )然后两者叠加：P(；)22EIl_2B ( B )q ( B ) P7ql324EIyB ( B )q ( B ) P11ql448EIyC M0( B)Mo ()(2 )只有q作用时，(yc)q(3)叠加：A)qZ1

19、2 tql )86EIl(.)2ql ) l 83EI/l4 q(R8EI (-)Ayc(A)Mo ( A)q(yC )M0( yC )q7ql348EI 45ql ( 384EI '5-4-5(1)只有 Mo gq|2 作用时，(a)m0 碧(),5-4-6 (1)将B约束解除，用反力B代替。P ,、RbI ,解出 Rb()31l(2 )由A C两截面的弯拒绝对值相等可列万程一RBlP22，一一 P(3 )在P和Rb 一作用下，求B点的挠度。 3吗：它“3EI 2EI 2 3EIPl3- -» -上(负号表示向上)144EI5-4-7这是一个求变形和应力的综合题。(1) 求

20、压力P:依题意，当两端加上力P后使其平直且在CC面上产生均布压力q,因此可以将其简化为两端钱支的简支梁，其反力均为(2)(3)5-4-8P, CC面上的均布压力q2PT简支梁在均布压力q作用下中点的挠度等于一1,2M max ql ,8maxM maxWz24Eh512当q=0时，AB梁上没有外力，梁轴线平直,5,9384EIA端曲率为零。当荷载q由0增加，到1211.q0时，梁A端的弯矩为 -q0l2, A端曲率， -,即有2a rM(x)EI122qolEIq。2EIrl2当q q。时，-段根与刚性面接触，C点端曲率为1”（x） r EI解得x l，匣qr（2）B点的挠度包括三部分，即yb

21、（yB） 1 （yB）2 （yB）3皿为C点的挠度（yB）11r 2r（1*）2（yB）2为C点的转角引起B点的挠度（yB）2 1（l组 /2且r qr qr（yB）3为CD段当作悬臂梁在q作用下B点的挠度(yB)3 8EqL(lx)4 条 以上三种挠度叠加，即为点B的挠度yB （旦 l2）2r qr5-4-9由于AB段平直，所以B点的弯矩、转角及挠度均等于零。B点和C点与刚性平面接 触，简化为较支座，则BCD端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载q（自重）但要满足0的条件，如图(a)所示。求e B时,可取BC为简支梁，而CD上的均布力向C点平移得一集中力qa和一力偶矩M012-qa ,如图

22、(b)所不。根据8=0的条件求解b,即2解出B ( B )q ( B)Moqb32EI1 12 h(-qa ) b2 06EIBHTTTTTrn'口 D5-4-10这是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题。将C约束解除，用约束力 ql4RC代替，成为基本结构。变形协调条件是yc(向上)。96EI在q和 R共同作用下求出yc-q,并将其代入变形协调方程，解出48EI 24EI1115RCql(),然后根据平衡万程求出R、R即RA ql( ), RB -ql().,。122485-4-11梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形，由于t2>t1,所以轴线以上伸长 少，而轴线

23、以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B点有向上的挠度，设为(AB)t。在 梁的自由端上作用力偶矩M后，能使变形展直，B点又回到原水平位置，设M作用下B点 的挠度为(b)m0。由(A b) t= ( b)m0 ,变形条件可以解出M值。其中，、2- 2，、一a(t2 t1)lM 0l-a(t2 t1)EI(B)t , ( b)m0代入变形条件中解得M0 o2h0 2EIh5-4-12(1)当杆BC的EA= 时，杆不变形，将BC杆切短，用 代替其约束，取基本结构。变形协调条件为yB=yc( J ),解出RBC5P，贝1 yC32yBRbcI35Pl 33EI96 EI EA(2)当EA 时，杆BC有伸长变形, l2这时的变形协调条件为同样将BC杆切段，用Rc代替，取基本结构。yCyBl BC , l BC-EARbcI32EI_ 3/c 5P25Pl,斛出 Rbc , Nc 56336EI5-4-13这是一个二次超静定问题。若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力，将该问题 简化为B校只有一个垂直约束力为未知数的结构。在B较处切断，用约束力RB代替，取出 基本结构，并根据B点的变形协调条件建立补充方程(yB)