平面向量的概念及线性运算

1、平面向量的概念及线性运算知识点：1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量统称为向量；向 量的大小叫做向量的长度（或称模）平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±-| la|平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行或重合，则称这两个向量平行或共线0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a+ b= b+ a结合律：(a+

2、 b) + c=a+ (b+ c)减法求a与b的相反向量一b的和的 运算叫做a 一与b的差三角形法则a b= a+ ( b)数乘求实数入与向量a的积的运算(1)2 L I 桐；（1）2）入）a（2）当；0时，2a的方向与a （2）（卅诟二沟旧；的方向相同；当20时，治2a+ b）=2a+ 2的方向与a的方向相反；当入=0 时，a=03 .向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数入使得b=2,则向量b与非零向量a共线.选择题：给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a, b都是单位向量，则a=b；向量力8与BA相等则所有正确命题的序号是（）A B C D 解析 根据零向量的定义

3、可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量AB与BA互为相反向量，故错误.已知下列各式：AB+BC+CA；AB+ MiB + BO+OM:OA+ OB+BO+CO；ABAC+Bd CD, 其 中结果为零向量的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析由题知结果为零向量的是，故选B.设ao为单位向量，若a为平面内的某个向量，贝ua= ；若a与a。平行，则a二|a|ao ；若a与ao平行且间二1,则a=ao.上述命题中，假命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|ao的模相同，但方

4、向不一定相同，故是假命题；若a与ao平行，则a与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=|a|a%故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.设ao, bo分别是与a, b同向的单位向量，贝U下列结论中正确的是（）A. ao= boB. ao bo = 1C. |ao|+|bo|= 2D. |ao+ bo|= 2解析,是单位向量，忸。、1, |bo L 1设a是非零向量，入是非零实数，下列结论中正确的是（）A. a与2a的方向相反 B. a与fa的方向相同C. |- Aa|>|a| D. |- 2a|>|?| a解析 对于A,当A>0时，a与2的方向相同，当X0时，

5、a与2的方向相反，B正确；对于C, |一同一 21,由于I 2的大小不确定，故一副与|a|的大小关系不确定；对于D, fa是向量，而一脚表示长度， 两者不能比较大小.设a、b是两个非零向量（）A.若 |a+ bE |a| |b|,贝 Ua_LbC.若|a+ b匚|a| |b|,则存在实数 入使得b= 2D.若存在实数人使得b=2,则|a+ b|=|a|-|b|B.若 a± b,则 |a+ b|= |a| |b|解析 对于A,可得cos （a, b二 一 1,ab不成立；对于B,满足a_Lb时|a+ b|= |a| |b|不成立；对于C,可得cosva, b二- 1, 成立，而D显然不

6、一定成立.如图，已知a, AC= b, BD=3DC,用a, b表示AD,则AD等于（）A. a+ 3b13B.4a+ 4b31D 3a+ 4b解析 CB= AB AC= a b,又 BD = 3DC, CD = ACB7a b） , AD AC+ CD - b + 4 （a一 b） 4a + 4b如图，在正六边形ABCDEF中，BA+ CD + EF （）A. 0B.BEC.ADD.CF解析由题图知 BA+ CD + EF=BA+ AF + CB=CB + BF= Cf.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C,D是半圆弧的两个三等分点，Afe=a, A芒二b,则A0=()1Rqa一C. a+为

7、1D*2a+ b解析 连接CD, vC, D是半圆弧的三等分点，得CD/AB且CD=1 AB=ga,二AD = AC+ CD=b+g已知向量 AB= a+ 3b, BC = 5a+ 3b, CD = 3a + 3b,则()A. A, B, C三点共线B. A, B, D三点共线C. A, C, D三点共线D. B, C, D三点共线解析：vBD= BC+ CD= 2a + 6b = 2 (a+ 3b)= 2AB, / BD、AB 共线，又公共点 B, A A、B、D 三点共线设DABC所在平面内一点，BC= 3CD,则(-1 4一T 1 - 4 一A.AD= - 3AB+ 3ACB.AD= 3

8、AB 3AC)一 4一 1 一C.AD = 3AB+3AC一 4 一 1 一D.AD = 3AB3AC解析 V3CD, A AC- AB=3 (ADAC)，即 |14ACAB=3AD , A AD =一捷+fAC.设D, E, F分别为 ABC的三边BC, CA, AB的中点，贝U EB+ FC等于()A.BCc.aDd.1bC解析 EB+ FC= 2 (AB+CB) +2 (AC+ BC) =3 (AB+AC) =Ad在么ABC中，AB= c, AC=b,若点D满足BD= 2DC,则AD等于()A2 F 1c5 2u21A12A - 3b+3cB,§cCpb3cD - 3b+3c解

9、析BD= 2DC , ADAB= BD=2DC = 2 (AC- Ad),i 3AD = 2AC + AB,二 AD = §AC + §AB= §b+ 3C.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，0为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则0A+ OB+0C+ 0D 等于（）A.OMB. 20MC. 30MD. 40M解析 0A+ OB+OC+ 0D=（0A+ 0C） + （OB+OD） =20M + 20M=40M已知点0, A, B不在同一条直线上，点A 点P在线段AB±C.点P在线段AB的延长线上解析 20P=20A+ BA, 2AP=BA,P为该

10、平面上一点，且20P=20A+ BA,则（B.点P在线段AB的反向延长线上D 点P不在直线AB上点P在线段AB的反向延长线上，故选B.在公ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD=2DB , CD=3CA+ ;CB,贝u入等于（代 2 解析 AD= 2DB,即 CD c.CA=2 （CBCD） , 在ZsABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC= 3CD,点0在线段CD上（与点C, D不重合），若AO=XAB+ (1 x) AC,贝Ux的取值范围是()1cD. 1 3, 0111cA. 0, 2B. 0, 3C. 2, 0解析 设 CO= yBC, A0= AC+ cb = Ab +AC+

11、y(AC AB)=- yAB+ (1+ y)AC.1BC=3CD,点O在线段CD上(与点C, D不重合)，y 0, 3,T AO= xAB+ (1 x)AC, x= y, x 3, 0 .B, C三点共线，则点P已知a, b是不共线的两个向量，AB=xa+ b, AC = a + yb (x, y R),若A, (x,y）的轨迹是（）A 直线B 双曲线C 圆D 椭圆x二入xy= 1,故选 B.1=ZB, D三点共线，则实数p的值为（解析 若A, B, C三点共线， AB= AC,即xa+ b =设 a, b 不共线，AB= 2a + pb, BC= a+ b, CD = a一 2b,若 A,A

12、2C. 1D. 2解析 T BC= a+ b, CD= a 2b, E3D=E3C+ CD= 2a b.又TA, B, D三点共线， AB, BD共线.设 AB=?BD, 2a + pb= ?(2a- b), 2 = 2 入 p=一入=1, p= - 1.已知平面内一点P及公ABC,若PA+ PB+ PC=AB,则点P与公ABC的位置关系是（）A.点P在线段AB上B .点P在线段BC上C.点P在线段AC±D .点P在么ABC外部加军析 由 PA+ PB+ PC=AB 得 PA+ PC=ABPB=AP,即 PC=APPA=2AP,所以点 P 在线段 AC上.已知点0ABC外接圆的圆心，

13、且OA+ OB+ OC= 0,则A ABC的内角A等于（）A. 30°B . 60°C. 90°D . 120°解析 由OA+ OB+ Oc=0,知点OABC的重心，又TO为/ABC外接圆的圆心， ABC为等边三角形，A= 60°.填空题: 设D, E分别是 ABC的边AB, BC上的点，AD = *AB, BE = |BC .若DE=屁+尿(刀，尼为实数)，则刀+ 21的值为# 1 1 2 1 2 解析 DE = D B + BE = |AB + 3BC = |A B+ §(AC AB) = 1 6A B + 3A C,元二沁+扼，

14、.山一 6, n2,故刀+NL如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点。AB+AD=恳，贝U2解析ABCD为平行四边形，AB+AD=AC=2AO,已知AB+AD=瓜0,故入二2已知口 ABCD的对角线AC和BD相交于O,且OA=a, OB= b,则DC =, BC =用a, b表示).解析如图，DC2AB= OB OA= b a, BC = OC OB= OA Ob=已知a与b是两个不共线向量，且向量a+ 2b与一(b 3a)共线，则2后一 k,解析由已知得a+ 2=- k(b- 3a),3k=1. 解得已知。为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA, OB, OC, OD满足等

15、式OA+OC=OB+OD,则四边形ABCD的形状为解析由0A+ oC= OB+OD得OAO8WD oc, BA= CD, 四边形ABCD为平行四边形.若点。是A ABC所在平面内的一点，且满足QB OC|=|oB+ OC 2OA|,则么ABC的形状为解析：0B+ 0C 20A=(OB 0A) + (O C 0A)= A B + A C, OB OC=CB=AB AC,AB+ AC匚AB AC|,故A, B, C为矩形的三个顶点， ABC为直角三角形.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2= 16, AB+AC匚|AB Ac|,则|AM匚解析 由 AB+ AC| = AB ACI 得，

16、AB ± AC,则 AM 为 RtAABC 斜边 BC 上的中线，/ |AM|二 2|BC 匚 2,贝U x=; y=在 A ABC 中，点 M, N 满足 AM = 2MC , BN = NC 若 MN = xAB+ yAC解析 MN = MC + CN=3AC+显=3AC+!(ABAC)=2AB6AC,1 1 = 2, y=-6.解答题：在A ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB二2GE,设 AB= a, AC= b,试用 a, b 表示 AD, AG.解 AD = 2 (AB + AC)= 2a + 2b.AG=AB+ BG = AB+|BE=AB

17、+ $BA+ BC) = 3AB+ 3(AC AB) = 3AB+ £AC=£a+3b.设两个非零向量ei和e2不共线.(1)如果 AB= ei e2, BC = 3ei + 2ee, CD = 一 8ei 2e2,求证：A、C、D 三点共线；如果 AB= ei + e2, BC = 2ei 3ee, CD = 2ei 一 ke2,且 A、C、D 三点共线，求 k 的值.(1)证明 AB二 ei 一 e2, BC= 3ei + 2e2, CD= 一 8ei 2, 1 1-AC= AB+ BC 4ei + 62= 2 ( 8ei 2e2) = 2CD, AC 与 CD 共线.

18、又tAC与CD有公共点C,A、C、D三点共线.解 AC= AB+ BC= (ei + e2)+ (2a 3e2)= 3er2e2, v A、C、D 三点共线, 八C与CD共线，从而存在实数 入使得AC=；CD,34k= 4.3二 2入即 3ei 2e2= ?(2ei ke2),得一2-入，解得：专项能力提升设a, b不共线，AB= 2a + pb, BC= a+ b, CD=a 2b,若A, B, D三点共线，则实数p的值是()A2B 1C. 1D. 2解析 v BC= a+ b, CD= a 2b, / Bd=EAC+ CD= 2a b.又vA, B, D三点共线，AB, BD共线.设 AB

19、=？BD,二 2a + pb= ?(2a- b),二 2 = 2 入 p=一入 二=1, p= - 1.如图，已知AB是圆0的直径，点C, D是半圆弧的两个三等分点，AB= a, AC=b,则AD等于（1 1 1 A. a- qbB.qa- b C. a+ 2b解析连接CD,由点C, D是半圆弧的三等分点，得 CDAB且CD = 1AB=1a,J. AD= AC+ CD = b + 2a.设 G ABC 的重心，且 sinA GA+ sinB GB + sinC GC = 0,贝 U B 的大小为()A. 45°B. 60°C. 30°D. 15°解析 v G 是 A ABC 的重心，二 GA+ GB+ GC= 0, GA=(GB+ GC),将其代入 sinA GA+ sinB GB+ sinCGC = 0,得(sinB sinA)Gfe+ (sinC一 sinA)GC= 0.又 GB, GC 不共线,J sinB 一 sinA= 0, sinC一sinA= 0,则sinB= sinA= sinC.根据正弦定理知b= a= c, AB