参数分离虽巧分类讨论不笨

1、参数分离虽巧分类讨论不笨Newly compiled on November 23,2020参数分离虽巧，分类讨论不笨一遇到对于某个变量恒成立，求参数取值范围的问题，同学们 总是想到参数分离法，即将参数移到一边，变量移到另一边，然后 应用这样的结论：a > / (祖必< /)恒成立O。/ (1)皿(如< / (刈皿)，转化为求函数在某个区间的最值问题。这方法虽巧，它直接明了，击中要 害，但对于复杂的函数求最值，就遇到了困难，那我们就应该转换 思路，用另一种方法分类讨论法来解决，它也不笨。下面举几 道高考题说明。例1、(2006年全国卷II )设函数x) = a+l)ln(x+

2、l),若对所 有的工之0都有了(力之火成立，求。的取值范围。分析：有大部分同学立刻想到分离参数，即转化为心(x + l)ln(nl)恒成立,应用函数的导数求最小值。但遇到极值点求 x不出陷入困境，解不下去。如果移项转化为了(X)-双之o恒成立，再 应用导数，对。进行讨论就简单了。解：令F(x) = f (x)-ar = (x+l)ln(x+l)-ar ,则尸(x) = ln(x+l)+l-a(1 ) 若a 贝lj ,xNO ,ln(x+l) + lNl.Ina+lHl-a 之01|旦成立，所以尸(X)在0,+8)上是增函数，即F(x)>F(0)=>/(x)-o¥>/

3、(0)-0=>/(x)>oy(2) 若，>1则由尸(x)>0=>x>eal -1;F (x) <0 =>-1 <x<eal -1 ,故当GO时尸(x)之尸(0)不恒成立即了之公不恒成立。 综合(1)、(2),所以。的取值范围是。工1。例2、(2007年全国卷i理)设函数x) =，-(1) 求证之2； (2)若对所有的XN0都有求 。的取值范围。分析：(1)略(2)由于x = 0成立，当“0时f (x)>axO a< " '), X然后对3求导，再求最值，这是最容易想到的方法，但解方 X程有困难；如果移项对

4、。进行讨论，就豁然开朗了。解：(2)令f(%) = f(x) - or 则 F (x) = /1 x)-a = ex +ex-avx>0,/.ex + e-x>2当时尸(6之0即尸(x)在0,”)上为增函数，故尸(力之尸(0)又尸(0) = 0所以“X)之如恒成立；当a > 2时尸(力在0,+8)上有增有减，尸(x)之尸(0)不恒成立即 f(x)之权不成立。综合以上可得：。的取值范围是。K2。例3、(2010年新课标全国卷)设函数x) = x("T-6(1)。=；,求”X)的单调区间；(2)当G0时“X)之o,求。的取值范围。分析：(1)略(2) x=0时显然成立，

5、当“0时,、er-lf(x)>0 <=> a < 对右边求导，求极值但遇到了困难，如果应用分类讨论就迎刃 而解了。解：当 xNO 时f(x)之 0一 arNO ,令尸(x) = er-1一双则 Fx) = ex-a , ,/x > 0 /. ex > 1当时尸之。即尸(x)在0,+8)上是增函数,则尸(x)之尸(0) 又尸(0) = 0即/之0也即之0恒成立。 当 a>l 时由 F (x)>0>x>ln«F (x)<0>0<x<In«tflgp 尸(x)在 0,+8)上有增有减，尸(x)NO

6、不恒成立,7(x)之0也就不恒成 立。综上。的取值范围是总结：在解决实际问题时，我们总喜欢找点技巧很快解决，但 有时事与愿违寸步难行，由此还是规劝同学要从最基本常用的 方法考虑，不能总怕烦，有时可能并不烦，还有意想不到的效 果呢！下面给出两道供大家练习：1、已知函数/(x) = F +幺T (。£火且。为常数)若对所有的工之0都有/(力之/(-封，求。的取值范围。2、已知函数/(x) = x2-21nx ,若/(x)之2bx-士在x£(0,l内恒 入成立，求b的取值范围。答案：1、a>-l 2、-1<Z?<1f t?hix b107.(全国I理21)已知函

7、数1- x+l+x,曲线> = /(用在点(L"l)处的 切线方程为x+2y-3=°。(I )求、的值；力,、 hix kf (x) >1.(II)如果当且"1时， x-1 X,求k的取值范围。,X + 1 .a(Inx) /于_ x2_解：(I)(x+炉 J,由于直线x+2y 3 = °的斜率为-2,且过点(I人,解得，=1, b = l一 .小)=(II )由(I )知nx 1F x+1 x,所以/«-(111X x-1LQlnx+ lg )-X'X(k - DY -1)人 I = (& - 1)(1 +1) +

8、 2x考虑函数/心)= 21nx+x (x>。)，则x2/13一打.+ 1)-(1(i)设2”由犬 知，当"1时，。)<0。而她=°故当 1£(0,1)时 g)>0 可得 1一口一”)>。；当 x (1,十8)时，h (x) <0,可得 1一%2 h (x) >0hix kliix k从而当 x>0,且/I 时，f (x)-(工一1”)>0,即 f (x) >1一1 十 x.1(ii)设 Ovkvl.由于当 x£ (1, 1)时,(k-1) (x2+l) +2x>0,故/(x) >0,h

9、(1) =0,故当 x£ (1,11k )时，h (x) >0,1可得 Bh (x) vO,与题设矛盾。(iii)设 kM.此时“(x) >0,而 h (1) =0,故当 xw (1, +8)时,h 1(X)>0,可得匚F h (x) VO,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为(-8, 09.(2009山东卷文)(本小题满分12分)已知函数/。) = ：。丫3+区2 +工+3,其中4工0(1)当。，满足什么条件吐了(X)取得极值(2)已知。0,且在区间(0J上单调递增，试用。表示出b的取值范围.解：由已知得 f *(-) = ax2 + 2bx+l/(1)=。,得双2

10、+2/?x+l = 0,f(x)要取得极值，方程ax2 +2bx+l = 0必须有解,所以 = 4/ 一4。0,即/。，此时方程双2 + 2瓜+1 = 0的根为_ -2b-44 -4a _-b->jb2 -a_ -2b + J4b2 -4a _-b + >Jb2 -a% =2=%'所以 / '(X)= -占)(x - 七)当。>0时，X(-8,X1)X1(X1,X2)X2仅2,+ 8)f'(x)一00+f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以/(x)在X1,X2处分别取得极大值和极小值.当。<0时，X9X2)X2(X2,X1)X1仅1,+ 8)

11、f'(x)0+0f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在X L X2处分别取得极大值和极小值.综上，当。为满足人?>。时，/(X)取得极值.(2)要使/(x)在区间(0,1上单调递增，需使尸(x)=/+ 2/+120在(0,1上恒成乂.即6之一一一；,工£(0恒成立，所以人之(一竽一；)诙2 2x2 zx设 g(x) = *_3gO) _ _5+：=(，乙2 zx2 2x2x3或1=-3(舍去)，>Jay/a当g时当0,方时且，(、)03)=一十三单调增函数;当.好时g，M0,g叱号W单调减函数,所以当X =时,g(x)取得最大，最大值为当0<。<

12、1时21，此时葭(1)20在区间(°，“恒成立，所以g(x)= 33在区 yja2 zx间(0J上单调递增，当片1时g(x)最大，最大值为g(l) = -早，所以油-?综上当时,心一而；当0<。"1时”之-【命题立意】：本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数 的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不 等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论 的思想解答问题.10.设函数/(x) = (13一(1-4)2 +4OX + 24。,其中常数 a>l(【)讨论f(x)的单调性；(II)若

13、当疮。时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调 性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导 数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解：(I) fx) = x2 - 2(1 + a)x + 4a = (x- 2)(x- 2a)由。>1知，当x<2时，r(x)>0,故在区间(-8,2)是增函数；当2 Vx<2。时，r(x)<0,故在区间(2,2a)是减函数；当时，r(x)>0,故在区间(2凡+8)是增函数。综上，当。>1时，在区间(-8,

14、2)和(2凡+8)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。(II)由(I)知，当xNO时，“X)在工=2或x = 0处取得最小值。由假设知>1 >1，4< f(2a) > 0,即 一一。(。+ 3)( - 6) > 0,解得 l<a<6"3 > 0,24a > 0.故的取值范围是(1, 6)ex/W = -87.(安徽理16)设 1 +内，其中。为正实数_ 4(I )当。一5时，求"冷的极值点；(II)若"刈为H上的单调函数，求。的取值范围。本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解

15、二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 1 +ax2 - axJ (x) = ex.解：对求导得(1 + QX-)-A31a = fx） = 0,则 4- - 8x + 3 = 0,解得x = _, x, = _.当3,若2-2综合，可知+00+/极大值极小值/31所以,5是极小值点，2 - 5是极大值点.（II）若"劝为R上的单调函数，则尸（刈在R上不变号，结合与条 件 a>0, ax2 -2ax + l>0在R上恒成立，因此A = 4M-40 = 44（。-1）"0,由此并结合。>o知 0<a<l.X88.（北京理18

16、）已知函数“冷=0一6”1求的单调区间；j G、fM < -若对v"£（°, +8）,都有 e,求人的取值范围。 , -解：（i/°）一渣k ）e,令/（乃=。得x=±a当4>°时，"冷在（口厂灯和&）上递增，在（一上灯上递减；当& <°时，"冷在（口的和（一七2）上递减，在出一幻上递增出 1 1f（k + l） = e k >_/（x） <-（2）当% >0时，-；所以不可能对也£（°, +8）都有 e ；当&<0时有

17、（D知/（#在电一）上的最大值为,所以对Vxw（0 +8）都有“丫）, «k<0 j （八 、f （x） K 即e e 2,故对也£（°, +8）都有 -时，上的取值范围为1 - 2-rL112.（陕西理21）设函数/（X）定义在。x°）上，导函数 一 x, g（x）=/a）+ra） （1）求g（x）的单调区间和最小值；g（2）讨论且。）与x的大小关系；丫 >0g（x）-g（x0）<-（3）是否存在%> °,使得x对任意工>°成立若存在，求出/的取值范围；若不存在，请说明理由.【分析】（1）先求出原函数/

18、（）,再求得g（“），然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常 采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论.【解】（，为常数），又所以 lnl + c = 0 gp c = 01Xlr1rz、 1 g（x） = lnx+-gx） = , n - = 0. /（x） = lnx；x . x- 令g（x） = 0 即 x- 解得x = l 1当X£（0,l）时，g'（x）<0, g（x）是减函数，故区间在（°）是函数g（x）的减区间；当X£（L”）时，gx）0 g（x）是增函数，故区间在（Lx&#