北京市2020年4月高考数学模拟试卷(答案解析)

1、北京市2020年4月高考数学模拟试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）姓名班级注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑2其他答案标号 回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、选择题：本题共要求的.第一部分10小题,每小题B. x|1 x4分，共x|1（选择题，共40分）40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目C.x|0 x 7D.x|0 x 7【解析】集合2M x

2、|x3xx|x(x 3)x|0x |13 .故选A.2.已知复数2iA.第一象限(1F ,则z在复平面内对应点所在象限为i）C.第三象限D.第四象限2i2i(1 i)32i 1 iZ在复平面内对应点为在第二象限故选B.3.曲线方程x2Ex0表示一个圆的充要条件为（A. E 15B.E 152C. E2 15D.E215【答案】C【解析】表示圆的充要条件是E21 2 4 4 0 ,即E2 15 .故选C.4 .已知f （x） =ax2+bx是定义在a 1, 2a上的偶函数，那么 a+b的值是1A . 一31C. 一21B.一31D.一2【答案】B【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称，且 f （

3、x）是定义在a-1, 2a上的偶函数，得 a-1= -2a,解得 a=1 ,又 f （ i） =f （x）,b=0, a+b=-.故选 B.335.不等式（a -2） x 2+2（ a -2）x -4V0,对一切xCR恒成立，则a的取值范围是（）A . （-8,2 B. （-2,2 C. （-2,2） D. （-8,2）【答案】B【解析】因为不等式 （a2） x2+2（a2）x -4V0,对一切xCR恒成立，则对二次项系数是否为零，分为两种情况来解得，求解得到 a的取值范围是（-2,2,故选B.2 n6 .若二项式（x ）的展开式，二项式系数之和为16,则展开式中x的系数为（）xA. 2B,

4、4C. 8D. 16【答案】C【解析】由展开式中二项式系数之和为16,即2n 16,得n 4.展开式中Tr 1 C4x4r（与r 2rC4x43r ,x令4 3r 1 ,得r 1 ,故x的系数为21C； 8 ,故选C.7 .从A, B, C, D, E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（）A. 24B. 48C. 72D. 120【答案】C【解析】A参加时参赛方案有 C3A2A； 48 （种），A不参加时参赛方案有 A4 24 （种），所以不同的参赛方案共72种，故选C.8.已知数列an满足an 1 an 2,且a1，a3

5、,a4成等比数列.若an的前n项和为Sn ,则Sn的最小值为（）A. T0B. 14C. -18D, W04【答案】D【解析】根据题意，可知an为等差数列，公差 d_ 22,由明，%e4成等比数列，可得 a3Ra4，(% 4)2 &(a 6),解得 ai 8.，&8n 2 n2 9n (n /81一.根据单调性,4可知当n 4或5时，Sn取到最小值，最小值为20.故选D. 1 9 .如图，已知电路中 4个开关闭合的概率都是 一，且是相互独立的,2T H则灯亮的概率为（iA .1163B. 16C.D.1316【答案】D【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一

6、个开，这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为111111111222222223 313 ,所以灯泡凫的概率为1 石，故本题选D .10.箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A表示 拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为（）A. 1B. 1C. 1D.-6355【答案】B【解析】分别设3双手套为：a1a2、b）b2、gc2, a1、bg分别代表左手手套,a2、b2、c2分别代表右手手套；从箱子里的 3双不同的手套中，随机拿出 2只，所有的基本事件是:n 6 6 36,共有36个基本事件；事件 A包含

7、：a1，d、b2, &、a，QC2, a1、a2, bi、bi, a2、a2,C1 、G,a2、b, C2、q, b、th, g、G, b2 一共12个基本事件，故事件 A的概率为151236第二部分（非选择题，共110分）、填空题：本题共 5个小题，每小题5分，共25分.r rr , rr J11 .向量a ,b的夹角为120,且a 1,b2,则a b等于【答案】r r r r1【解析】Q a b |a|b |cos120o 12()12|a b| J：2 2ab b2 ,12 2 ( 1) 22 J7故答案为512.以下说法正确的是 .(填写所有正确的序号)r r r .rr若两非零向量a

8、,b,若ab 0,则a,b的夹角为锐角；4 r r r r右a b ,则a b 0 ,反之也对；在 ABC中，若a b,则sin A sin B ,反之也对；在锐角 ABC中，若B 2A,则A-，-.6 4【答案】一 ， r rr r【解析】对于，a与b同向时，若a b 0,夹角为0，不是锐角，故错误；rr r r对于，右a 0时，则a b 0, a与b平行，故错误；对于，由正弦定理得，a b 2Rsin A 2Rsin B sin A sinB,故正确；0 A 2对于，由 0 2A ,可得一A 即A 一, 一,故正确，2646 40 3A 2故答案为.13.若函数f(x)的图象上存在不同的两

9、点 A(x1,y1)，B(x2, y2),其中x1，y1，X2, y2使得x1x2 y1y2 JX2y2 Jx； y2的最大值为0,则称函数f(x)是何西函数”.给出下列函数:1 f(x)lnx(0 x3)； f(x)x (x0)；x f(x)J2x28 ； f(x)hx 8.其中是柯西函数”的为.(填上所有正确答案的序号)【答案】uuvuuvuuv uuv uuv uuuvULU uuv设OA x1,y1 ,OB x2,y2 ,由向量的数量积的可得|OA OB| |OA|OB|,当且仅当向量OAOB共线（O,A,B三点共线）时等号成立.故|x1x2 y1y2 JX27 灰京的最大值为0时，当

10、且仅当O,A, B 三点共线时成立.所以函数f x是柯西函数”等价于函数f x的图象上存在不同的两点 A,B,使得O,A, B三点共线.对于，函数f x lnx（0 x 3）图象上不存在满足题意的点;1 , 一、对于，函数f x x （x 0）图象上存在满足题意的点； x对于，函数f x、/2x2 8图象上存在满足题意的点;对于，函数f x、/2x2 8图象不存在满足题意的点.故函数是柯西函数14 .已知函数f（x） e2x,则过原点且与曲线 y f x相切的直线方程为 .【答案】2 ex-y 0【解析】设切点坐标为t,e2t ,Qf xe2x, f x2e2x,f t2e2t,则曲线y f

11、x在点t,e2t2t 2t1处的切线万程为 y e 2e x t ,由于该直线过原点，则 e2t 2te2t,得t -,因此，则过原点且与曲线y f x相切的直线方程为 y 2ex ,故答案为2ex y 0 .15 .函数f x 4 2ax1（a 0且a 1）的图象恒过定点 P,则点P的坐标是.【答案】1,6【解析】令x - 1=0,解得：x=1 ,此时y=4+2=6 ,故函数恒过定点（1, 6）,四、解答题：本大题共 6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 .（本小题14分）如图，直四棱柱 ABCD AB1C1D1的底面是菱形，AA1=4, AB=2, /BAD=60

12、, E, M, N分别是BC, BB1,AiD的中点.(1)证明：MN /平面 CiDE ；(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)叵.5【解析】(1)连接ME, BiC1. _ ,Q M , E分别为BBi , BC中点ME为B1BC的中位线 ME/BC且ME 5B1C,又N为A1D中1点，且ADBCND/BC且ND -B1C ME/ND 四边形MNDE为平行四边形12=MN/DE,又 MN 平面 CiDE, DE 平面 CDE MN/平面 CDE(2)设ACI BD O, ACi B1D1 Oi由直四棱柱性质可知： OOi 平面ABCDQ四边形ABCD为 菱形 A

13、C BD则以。为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系:则：A 有0,0 , M 0,1,2 , A J3,0, 4,D (0, -1,0) N , 1,2 取 AB 中点 F ,连接 DF , 22则F ,1,0 Q四边形ABCD为菱形且2 2BAD 60oBAD为等边三角形DF AB 又 AA1 平面 ABCD, DF平面ABCDDFaA；df 平面 abba,即DFuuir平面AMA df为平面AMAi的一个法向量,uuur且DF.3 3 c一,一,02 2r设平面MAN的法向量nx,y,zuuuu _又 MA1, 3,uurMN”,0r uuuv n MA1r umui n MN3x

14、y 2z 03x2n .3,1, 1cosuur rDF,nuur DF UttFDF n315.15sinuur rDF,n画二面角5MA N的正弦值为17 .（本小题14分）已知an是各项均为正数的等比数列,a12, a32a216.（1）求an的通项公式;(2)设bn log2an,求数列bn的前n项和.【答案】(1) (1) a 22n 1； (2) Sn【解析】（1）因为数列 a是各项均为正数的等比数列，a3 =2a2 +16 , a1 2 ,所以令数列 an的公比为2-22q, a3=a1q=2q , a? = a1q = 2q ,所以2q =4q + 16,解得q 2（舍去）或4

15、,所以数列 an是首项为2、公比为4的等比数列，an 2 4n 1 22nl.（2）因为bnlog2 an,所以bn2n 1 ,bn+1= 2n+1, bn+1 -bn= 2 ,所以数列bn是首项为1、公差为2的等差数列，Sn n（2n 1 1）.n n2 218 .（本小题14分）2019年 非洲猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周期的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如图所示）270(1)根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏(达到养殖周期)时，生猪重量达不到 斤的概率(以频率代替概率)；(2)若假设该企业今年达到

16、养殖周期的生猪出栏量为5000头，生猪市场价格是 8元/斤，试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元;(3)若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到270斤及以上的生猪数为随机变量丫，试求 随机变量Y的分布列及方差【答案】(1)0.25 (2)1222.4万元(3)见解析【解析】(1)估计生猪重量达不到270斤的概率为(0.0005 0.002) 40 0.005 30 0.25.(2)生猪重量的平均数为180 0.02 220 0.08 260 0.2 300 0.32 340 0.24 380 0.1 420 0.04 305.6 (斤)所以估计该企业本养殖周期的销售收入是30

17、5.68 5000 1222.4 (万元).(3)由(1)可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为1 0.253由题意可得随机变量 Y的所有可能取值为0,1,2,则YB(2,-),4 P(Y 0) C0 (-)0 (1)2 , 4416P(Y 1)P(Y 2)C2 (3)1 (1)1 4423 21 0C2 (7) U) 44Y的分布列为38，916Y012P13916816，随机变量一3 13随机变量Y的方差D(Y) 2 - - 3 . 4 4 819.(本小题15分)已知函数f x aex lnx 1.(1)设x 2是f x的极值点.求a ,并求f x的单调区间;1(2)证明：

18、当a 时，f x 0.e1【答案】(1) a= ； f (x)在(0, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增.(2)证明见解析.2e1 .1【解析】(1) f(x)的定义域为0, f(x)=aex-由题设知，f (2) =0,所以a=.x2e21 x1x1.从而 f (x) =-rex lnx 1 , f (x) =-rex -.当 0x2 时，f (x) 2 时，f (x) 0. 2e2e x所以f (x)在(0, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增.xxx1eee 1(2)当 a2 时，f (x)一lnx 1 .设 g (x) =lnx 1 ,贝U g x 一 .当 0x1 时，g

19、(x)eeee x11时，g (x) 0,所以x=1是g (x)的最小值点.故当x0时，g (x) g(1) =0.因此，当a 一 e时，f x 0 .20.(本小题14分)1在平面直角坐标系中，A 2,0 , B 2,0 ,设直线AC、BC的斜率分别为k1、卜2且灯k2-,2(1)求点C的轨迹E的方程；(2)过F 也0作直线MN交轨迹E于M、N两点，若zMAB的面积是NAB面积的2倍，求直线MN的方程.【答案】(1)x- 1 (y 0) (2) x-4- yV20或 x14 yV204277【解析】(1)由题意，设C x,y，则.一,k2 y-,又由 kk2x 2 x 22yx2 4由点A,

20、B,C不共线，所以y0 ,所以点C的轨迹方程为1(y 0).my叵,联立方程组(2)设M为，必，N x2,y2 ,易知直线MN不与x轴重合，设直线 MN :xx2 x 7my2y22 J2my 2 0 ,易知y12、, 2mVl、20 由 SVMAB2SVNAB，故y1yi2y2yy24 m2y1m2 2y2y22y1所以直线MN的方程为14x Ty,14Ty21 .(本小题14分)对于正整数n ,如果k k*N 个整数a1，a2,ak满足1aia2ak n且 a1a2ak n ,则称数组a1,a2,，ak为n的一个 芷整数分拆”记a1,a2,，ak均为偶数的芷整数分拆”的个数为fn, ab a2,ak均为奇数的 芷整数分拆”的个数为gn.(I )写出整数4的所有 芷整数分拆(n)对于给定的整数n n 4 ,设a1,a2, ak是n的一个芷整数分拆”，且a12,求k的最大值;(m)对所有的正整数n ,证