复变函数4-习题课

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1一、收敛半径与一、收敛半径与敛散性敛散性.第四、五章第四、五章 级数与留数级数与留数二、解析函数的泰勒展开二、解析函数的泰勒展开三、洛朗展式三、洛朗展式四、判别奇点类型四、判别奇点类型五、求各奇点处留数五、求各奇点处留数六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛半径收敛半径R R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质解析解析在在0)(zzf

2、为复常数为复常数nz)(zfznn为函数为函数 1nnz收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3留数留数计算方法计算方法可去奇点可去奇点孤立奇点孤立奇点极点极点本性奇点本性奇点函数的零点与函数的零点与极点的关系极点的关系留数定理留数定理围线积分围线积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4一、收敛半径与敛散性一、收敛半径与敛散性.解解 541321 1iiininn因为因为 614121,51311 i . 1收收敛敛故故 nnni收敛收敛收敛收

3、敛 1nnni例例1 1 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性.1. 敛散性敛散性（转化为实级数的判别）（转化为实级数的判别）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5.)32(11 nni解解 ,)32(1nni 设设innnn321limlim 1 因为因为131 , 1 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知 1)32(1nni绝对收敛绝对收敛.例例2 2 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6zezcos 0nnnzc1设函数设函数的泰勒展开式为的泰勒展开式为，1（B）2 （C） （D） 0nnnzc

4、 R的收敛半径的收敛半径( )那么幂级数那么幂级数 （A）2.收敛半径收敛半径C练习练习(比值、根值、简便方法比值、根值、简便方法：|z- |)2 2设函数设函数圆环内的洛朗展开式有圆环内的洛朗展开式有 m个，个， 那么那么m = ( )（A）1)4)(1(1)( zzzzf在以原点为中心在以原点为中心的的（B）2（D）4（C）3C机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7 , 2, 1,4, 2 , 1 , 0,)1(3nncnnnn若若则双边幂级数则双边幂级数 nnnzc的收敛域为的收敛域为( )43 z （B）3141 z（A） z41（C） z31 （D）例例3A机

5、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8,! 21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式)1( z)1( z)( z)( z,) 1() 1(111)3(02 nnnnnzzzzz二、解析函数的泰勒展开二、解析函数的泰勒展开,)!2()1(! 4! 21cos)5(242 nzzzznn)( z机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9解解)(21cos izizzzeeeze 因为因为21)1()1(ziziee

6、00!)1 (!)1 (21nnnnnnnzinzinnnnziin)1 ()1(!1210 )( z例例6 6 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.zezfzcos)( 0 znnininnzzeenze 044!)2(21cos 所所以以由于由于,214iei ;214iei .4cos!)2(0nnnznn )( z机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10例例7 7. 1 )1(1 3内内的的泰泰勒勒展展开开式式在在求求函函数数 zz分析：分析：利用逐项求导、逐项积分法利用逐项求导、逐项积分法.解解 )1(21)1(1 13zz因因为为)1( z所以所以 0321)

7、1(1nnzz22)1(21 nnznn.)1)(2(210mmzmm )1( z机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11例例8 8. 0 )1)(3(785)( 2234的的泰泰勒勒展展开开式式在在点点求求 zzzzzzzzf分析分析: 利用部分分式与几何级数结合法利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数即把函数分成部分分式后分成部分分式后, 应用等比级数求和公式应用等比级数求和公式.解解2)1(1322)( zzzzf1313131 zznnnz 0131)3( z)(1111zz nnnz 0) 1()1( z机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束

8、结束 12 1112)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1(0 )1( z故故2)1(1322)( zzzzf,) 1()1 (1112 nnnznz)1( z两端求导得两端求导得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13nnnnnnznzz)1()1(3122001 zzzznnn213129232221 nnnzn) 1() 1(2 nnnnznz 2132)1()1(921312)1( z机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 14, 0 内内在在 z nzznzzzez!1! 2111 2212所所以以.!1! 31! 2122

9、nznzzz 0! nnznze因为因为例例9 9. 0 12的的去去心心邻邻域域的的洛洛朗朗级级数数在在求求 zezz解解,!101 nnzzne三、洛朗展式三、洛朗展式(1. 利用已知函数展开式；利用已知函数展开式；2.分式：注意分式：注意|g(z)|是否小于是否小于1)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15例例1010. )2)(1)( 展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在下下列列圆圆环环域域内内将将 zizzf, 21)1( z.2)2( z解解, 21 )1(内内在在 z有有. 12, 1 zzi )2)(1)(zizzf zizi21121机动机动 目录目录

10、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16 21211121zzizi 00112)(21nnnnnnzzii.221)(210110 nnnnnnzizii, 2 )2(内内在在 z12, 1 zzi 21121)( zizizf故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17 zzzizi2111121 00112)(21nnnnnnzzii .2)(2101 nnnnzii机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18.,)( 判判别别类类型型并并在在扩扩充充复复平平面面上上的的奇奇点点求求下下列列函函数数zf例例1 11 1;)2(;sin)1(

11、1tan3zezzz 解解:0)()1(内内的的洛洛朗朗展展式式为为在在由由于于 zzf zzzzzzzzzzf!7! 5! 31sin)(75333 ! 9!7! 5! 31642zzz.)(,)(0的的本本性性奇奇点点是是的的可可去去奇奇点点是是得得zfzzfz 四、判别奇点类型四、判别奇点类型机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19;)2(1tanze解解,1tanzw 令令, 01cos z由由,1tan 的一级极点的一级极点为为zw 又又且且为为本本性性奇奇点点仅仅有有唯唯一一的的奇奇点点而而, zew zkzz1tanlim), 1, 0(211 kkzk得

12、得.)(wezf 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20), 1, 0(211 kkzk所以所以.)(的本性奇点的本性奇点都是都是zf因因为为时时当当, zzzzezf1tanlim)(lim .)(的的可可去去奇奇点点是是故故知知zfz ,1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21.)1(1)(033的的六六级级极极点点是是所所以以 zezzfz的六级零点，的六级零点，是是因为因为)1()(1033 zezzfz)1()(133 zezzf ! 3! 21296zzz,1! 2)(12333 zzz练习：练习：0 z)1(1)(33 z

13、ezzf是函数是函数的那种类型奇点的那种类型奇点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22例例1212 求函数求函数 的有限奇点的有限奇点, 并并确定类型确定类型.322)1()1(sin)5()( zzzzzzf解解110 z,z,z是奇点是奇点. zzzzzzzfsin)1()1(51)(32因因为为),(1zgz 是单极点；是单极点；所以所以0 z1 z是二级极点是二级极点;1 z是三级极点是三级极点.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23五、五、 求各奇点处留数求各奇点处留数留数的计算方法留数的计算方法(1) 如果如果0z为为)(zf的可

14、去奇点的可去奇点, . 0),(Res0 zzf则则定理定理成洛朗级数求成洛朗级数求.1 c(2) 如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点, )(zf(3) 如果如果0z为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf)(zf展开展开则需将则需将如果如果 为为 的的 级极点级极点, 0z)(zfn).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzznzzfnnnzz 那末那末机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 24推论推论1 1推论推论2 2 如果如果,0)(,0)(,0)(000 zzz 设设,)()()(zzzf )(z 及及)(z 在在0z都解

15、析，都解析，那末那末0z为为的一级极点的一级极点,)(zf.)()(),(Res000zzzzf 且有且有).()(lim),(Res000zfzzzzfzz 如果如果 为为 的一级极点的一级极点, 那末那末0z)(zf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 25例例1313 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数.,11sin)1( z,1sin)2(2zz,sin1)3(zz解解(1)在在 内内, 10z,)1( ! 311111sin3 zzz11 ,)1sin(1Res Cz所以所以. 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束

16、结束 26,! 5! 3sin53 zzzz因因为为内内，所所以以在在 z0 5322! 51! 3111sinzzzzzz 3! 51! 31zzz120 ,1sinRes Czz故故.61 解解zz1sin)2(2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 27zzsin1)3(解解), 2, 1, 0( nnz为奇点为奇点,0 n当当 时时 为一级极点，为一级极点， nzznznzsin1)(lim 因为因为)sin()1(limnzznznnz ,1) 1(nn ,1)1(,sin1Resnnzzn 所所以以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28 zzzzzzzsin1ddlim0 ,sin1Res20zzzzz20sincossinlim . 0 ,0是是二二级级极极点点因因为为 z机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29例例1414 计算积分计算积分.d)()sin(28zizzizz 为一级极点，为一级极点， 为七级极点为七级极点.0 ziz )(lim0),(Res0zzfzfz 80)()sin(limizizz ;sini iizizizzf )(1)()sin