高等数学第四节 反常积分ppt课件

1、例例 1求由曲线求由曲线 y = e-x， y 轴及轴及 x 轴所围成开口轴所围成开口曲边梯形的面积曲边梯形的面积. 解这是一个开口曲边梯形，解这是一个开口曲边梯形， 为求其面积，任取为求其面积，任取 b 0, + )， 在有限区间在有限区间 0, b 上，上， 以曲线以曲线 y = e- x为曲边的曲边梯形面积为为曲边的曲边梯形面积为.e11ede00bbxbxx by = e-x yxO(0,1) 开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积 xAbaxbdelim . 1e11lim bby = e-xyxbO(0,1)即即当当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就时，阴影部分曲边梯形面积的

2、极限就是开口曲边梯形面积，是开口曲边梯形面积，定义定义 1设函数设函数 f (x) 在在 a, + )上延续，上延续， 取实取实数数 b a，假设极限假设极限 babxxfd)(lim 那么称此极限为函数那么称此极限为函数 f (x) 在无穷区间在无穷区间a, + ) 上的反常积分，上的反常积分，.d)(limd)( babaxxfxxf这时也称反常积分收敛，这时也称反常积分收敛，,d)( axxf记作记作即即存在，存在，否那么称反常积分发散否那么称反常积分发散. .定义定义 2设函数设函数 f (x) 在在 (- , b 上延续，上延续， 取 实取 实数数 a b， 假设极限假设极限 baa

3、xxfd)(lim 那么称此极限值为函数那么称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间在无穷区间(- , b 上的反常积分，上的反常积分，xxfxxfbbaad)(limd)( 这时也称反常积分收敛，这时也称反常积分收敛，,d)( bxxf记作记作即即存在，存在，否那么称反常积分发散否那么称反常积分发散. .定义定义 3设函数设函数 f (x) 在在 (- , + ) 内延续，内延续，且且对恣意实数对恣意实数 c， 假设反常积分假设反常积分xxfxxfccd )(d)( 与与 那么称上面两个反常函数积分之和为那么称上面两个反常函数积分之和为 f (x) 在在无穷区间无穷区间 (- , + ) 内

4、的反常积分，内的反常积分，,d)(d)(d)( ccxxfxxfxxf这时也称反常积分收敛，这时也称反常积分收敛，,d)( xxf记作记作即即都收敛，都收敛，否那么称反常积分发散否那么称反常积分发散.假设假设 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数，并记的一个原函数，并记),(lim)(xFFx ).(lim)(xFFx 那么定义那么定义 1，2，3 中的反常积分可表示为中的反常积分可表示为 axxfd)( axF)(，)()(aFF bxxfd)(bxF )(，)()( FbF xxfd)( )(xF. )()( FF例例 2求求.d1102xx 解解xxd1102 0arctanx.20

5、2 .dcos0的的收收敛敛性性xx 例例 3判别判别解解.sindcos00 xxx由于当由于当 x + 时，时，sin x 没有极限，所以反常积分没有极限，所以反常积分发散发散 .例例 4计算计算.de0 xxx 解用分部积分法，得解用分部积分法，得 0dexxxxxde0 00deexxxx. 1e0 xxxxxxx elimelim其其中中, 0e1lim xx. 0e0 xx即即例例 5判别判别.lnde 的收敛性的收敛性xxx解解 elnlndxx elndxxx elnlnx故该积分发散故该积分发散.例例 6证明反常积分证明反常积分 1,d1xxp 当当 p 1 时，时，收敛；当

6、收敛；当 p 1 时，发散时，发散 .证证 p = 1 时，那么时，那么 11lndxxx所以该反常积分发散所以该反常积分发散. 11111dppxpxx . 1, 1,11ppp当当当当当当 p 1 时，时，综合上述，综合上述，该反常积分收敛该反常积分收敛. 当当 p 1 时，时，该反常积分发散该反常积分发散. p 1 时，那么时，那么定义定义 4设函数设函数 f (x) 在区间在区间 (a, b 上延续，上延续，取取 e 0 ， 假设极限假设极限xxfbad )(lim0 那么称此极限值为函数那么称此极限值为函数 f (x) 在区间在区间 (a, b 上的反常积分，上的反常积分，.d )(

7、limd )(0 xxfxxfbaba 这时也称反常积分收敛，这时也称反常积分收敛，否那么称反常积分发散否那么称反常积分发散. .,)(lim xfax且且,d )(xxfba 记作记作即即存在，存在，定义定义 5设函数设函数 f (x) 在区间在区间 a, b) 上延续，上延续，取取 e 0 ， 假设极限假设极限.d)(lim0 xxfba 那么称此极限值为函数那么称此极限值为函数 f (x) 在区间在区间 a, b) 上的反常积分上的反常积分.xxfxxfbabad)(limd)(0 这时也称反常积分收敛，这时也称反常积分收敛，否那么称反常积分发散否那么称反常积分发散. .,)(lim x

8、fbx且且，xxfbad )( 记记作作即即存在，存在，定义定义 6设函数设函数 f (x) 在在 a, b上除点上除点 c (a, b) 外延续，外延续，,)(lim xfcx且且假设下面两个反常积分假设下面两个反常积分xxfxxfbccad)(d)( 与与 那么称这两个反常积分之和为函数那么称这两个反常积分之和为函数 f (x) 在在区间区间 a, b 上的反常积分，上的反常积分，.d)(d)(d)(xxfxxfxxfbccaba 这时也称反常积分收敛，这时也称反常积分收敛，否那么，称反常积分发散否那么，称反常积分发散. .,d )(xxfba 记作记作即即都收敛，都收敛，假设假设 F(x

9、) 是是 f (x) 的一个原函数，的一个原函数，并并记记)(lim)(xFaFax ).(lim)(xFbFbx )(lim)(xFcFcx ).(lim)(xFcFcx 或或那么定义那么定义 4，5，6 中的反常积分可表示为中的反常积分可表示为xxfbad)( ).()()(aFbFxFba xxfxxfxxfbccabad)(d)(d)( bccaxFxF )()().()()()( cFbFaFcFxxfbad)( )()()( aFbFxFba例例 7判别判别.1d10 收敛性收敛性xx解解故积分的收敛故积分的收敛. 101dxx. 21210 x例例 8讨论反常积分讨论反常积分.d10 的的收收敛敛性性pxx解当解当 p = 1 时，时，那么那么.lnd