2021—2021高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何专题复习(附详细解析)

1、2021-2021年新课标全国卷I文科数学汇编立体几何一、选择题2021，6如图，在以下四个正方体中，代B为正方体的两个顶点， M N, Q为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直接 AB与平面MN不平行的是D2021 , 7如下列图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆与每个圆中两条相互垂直的28 n半径.假设该几何体的体积是丁，那么它的外表积是A. 17 n B18 n C20 n D28 n2021，11平面过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点/ 平面 CB1D1, A 平面 ABCD m ,门平面ABBiA n,那么m,n所成角的正弦值为A.322021 , 6?九章算术?是我国古

2、代容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣角，下周八尺，高五尺，问积与为米几何？ 其意思为：“在屋墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？ 1斛米的体积 约为1. 62立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有A. 14 斛 B . 22 斛 C . 36 斛 D . 66 斛2021 , 11圆柱被一个平面截去一局部后与半球半径为r 组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如下列图，假设该几何体的外表积为16+20n,那么r= BA. 1 B . 2 C . 4 D . 82021 , 112021

3、 , 82021 , 112021 , 72021,8如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，那么这个几何体是A.三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱2021 , 11某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为.A. 16+ 8 n B . 8 + 8 n C . 16+16 nD . 8 +16 n2021 , 7如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为A. 6B. 9C. 12D. 15A.6B. 4 3C. 4 6D. 6 32021 , 5圆柱的上、下底面的中心分别为 的正方形，该圆柱的外表积为A. 1

4、2 n B. 12 n C. 8O, Q,过直线OQ的平面截该圆柱所得的截面是面积为8lin D. 10 n2021 ,9某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图，圆柱外表上的点 M在正视图上的对应点为 A,圆柱外表上的点N在左视图上的对应点为B,那么在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A. 2、B.C. 3D.22021 , 10在长方形 ABCD-XBCD中，AB=BC=2 AC与平面BBCC所成的角为30°A. 8，那么该长方体的体积为B.C.D.8.二、填空题2021 , 16三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.假设平面SCA 平

5、面SCB , SA AC , SB BC ,三棱锥S ABC的体积为9,那么球O的外表积为 .2021 , 15H是球O的直径AB上一点，AH：HB= 1: 2,AB丄平面a , H为垂足，a截球O所得截面的面积为n,那么球O的外表积为.三、解答题2021 , 18如图，在四棱锥 P ABCD 中，AB / CD，且 BAP CDP 90 .(1)证明：平面 PAB 平面PAD ； (2 )假设PA PD AB DC , APD 90，且四棱锥P ABCD的体积为-，求该四棱锥的侧面积.3影为点D，D在平面PAB的正投影为点E 连结PE并延长交AB于点G .(1) 求证：G是AB的中点；(2)

6、 在题图中作出点 E在平面PAC的正投影F (说明作法与理由)，并求四面体PDEF的体积.2021 , 18如图四边形 ABCD菱形，G为AC与 BD交点,(I )证明：平面AECL平面BED(n )假设/ ABC120。，AEL EC 三棱锥 E- ACD的体积为63求该三棱锥的侧面积.CBE!平面 ABCD2021,19如图，三棱柱ABC AEG中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO 平面 BB1GC .(1) 证明：BC AB;(2) 假设 AC AB, CBB, 60 ,BC 1,求三棱柱 ABC AG 的高.2021 , 19如图，三棱柱 ABC ABC 中，CA= C

7、B AB= AA,/ BAA= 60°. 证明：ABL AC; (2)假设AB= CB= 2, AQ= J6，求三棱柱 ABC- ABC的体积.2021 ,19如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB(1) 证明：平面 BDC丄平面BDC(2) 平面BDC分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比.90 , AC=BC=AA, D是棱 AA的中点.22021 , 18如图，在平行四边形 ABCM中, AB=AC=3 / ACM=90，以AC为折痕将 ACM折起，使点 M到达(1)(2)证明：平面 ACE丄平面ABC2Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且 BP=DQ=

8、DA求三棱锥Q-ABP的体积。点D的位置，且AB丄DA一、选择题2021 , 6如图，在以下四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M N, Q为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直接AB与平面MNQT平行的是()解法选 A 由B, AB/ MQ那么直线 AB/平面 MNQ由C, AB/ MQ那么直线 AB/平面 MNQ由D, AB/ NQ 那么直线AB/平面MNQ故A不满足，选 A.2021 , 7如下列图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆与每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体28 n的体积是，那么它的外表积是().3A. 17 n B .18 n C .20 n D .28 n解

9、析：选A.由三视图可知，该几何体是一个球截去球的-，设球的半径为834 - 37 - 00贝R冗00 32得r 2 .该几何体的外表积等于球的外表积的8，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的所以该几何体的外表积为 S 7 4n 22 3 1 n 22 14 n 3n 17 n.应选A.842021 , 11平面 过正方体 ABCD ABCiU的顶点A,/平面CRU， 门平面ABCD平面ABB-A n，那么m,n所成角的正弦值为A.2解析：选A.解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如下列图.通过寻找线线平行构造出平面，即平面AEF ,即研究AE与AF所成角的正弦值，易知EAF §

10、,所以其正弦值为于.应选A.F解法二原理同解法一：过平面外一点 A作平面 ，并使 /平面CB1D1，不妨将点A变换成B，作 使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面A1BD，如下列图，即研究 AB与BD所成角的正弦值，易知ABD ，所以其正弦值为 应选A.322021 , 6?九章算术?是我国古代容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣角，下周八尺，高五尺，问积与为米几何？ 其意思为：“在屋墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四 分之一，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米 各位多少？ 1斛米的体积约为1. 62立方尺，圆周率约为3,估算出堆 放的米

11、有BA. 14 斛 B . 22 斛 C . 36 斛 D . 66 斛116解：设圆锥底面半径为 r，依题 2 3r 8 r ，所以米堆的体积43为1 1 3 少2 5320，故堆放的米约为43393201. 6222,应选 B.92021 , 11圆柱被一个平面截去一局部后与半球半径为r组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如下列图，假设该几何体的外表积为16+20n,那么r= BA. 1 B . 2 C . 4 D . 8解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r,其外表积为 2 n r +n r x 2叶 n r +2r x 2r =5

12、n r +4r =16+20n,解得r=2，应选B.2021 , 8如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，那么这个几何体是BA.三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱 解：几何体是一个横放着的三棱柱.应选B2021 , 11某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为A. 16+ 8n B8 + 8n( ).8 + 16n解析：选A.该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.16+ 8n.应选 A.1 2V半圆柱=nX2 X 4= 8 n, V长方体=4X 2X 2= 16 .所以所求体积为22021 ,7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画

13、出的是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为A.6B. 9C. 12D. 15解析由三视图可知，该几何体为 三棱锥A-BCD, 底边为6,高为 侧面A3DL底面AOL底面BCD 因此此几何体的体积为1 1 V - 6 3 3 9，应选择32底面 BCD为 3的等腰三角形，BCDD1,2021 , 88 .平面 截球O的球面所得圆的半径为距离为 2，那么此球的体积为A.6B.C. 4 6D.6.3解析如下列图，由OiA球心O到平面在Rt 00, A中，球的半径 R 0A所以此球的体积V 4 R34 33点评此题主要考察球面的性质与球的体积的计算.，应选择B.2021 , 8在一个几何体的三视图中

14、，正视图和俯视图如下列图，那么相应的侧视图可以为(D正褓图解析由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等 腰三角形与底边上的高构成的平面图形.应选D.2021 , 5圆柱的上、下底面的中心分别为O, Q,过直线0Q的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，该圆柱的外表积为B2021 , 9某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图， 圆柱外表上的点B圆柱外表上的点 M在正视图上的对应点为 A, N在左视图上的对应点为B,那么在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A. 2-B.C. 3D.2021 , 10在长方形ABCD-A1CD中

15、，AB=BC=2 AG与平面BBCC所成的角为30°,那么该长方体的体积为C8 / 17二、填空题2021 , 16三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.假设平面SCA 平面SCB，SA AC，SB BC，三棱锥S ABC的体积为9,那么球O的外表积为 .解析取SC的中点O,连接OA,OB，因为SA AC,SB BC，所以OA SC,OB SC ,因为平面 SAC平面 SBC, 所以OA平面 SBC11 11 313VASBCS SBC OA2r r r-r，所以r9 r 3,33 233所以球的外表积为4 r236设 OA r2021 , 15H是球O的直径

16、AB上一点，AH： HB= 1 : 2, AB丄平面 的面积为n,那么球O的外表积为.a , H为垂足,a截球O所得截面9答案：一 n2解析：如图,2 RR22设球O的半径为R,贝U AHh, OHh.又EH =n,A EHh 1.v在 Rt OEH中，R2=332R+12 , R2= / 17 . S球=4n 氏=士3 8 22021 , 16两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.假设圆锥底面面积3是这个球面面积的，那么这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.16解析设圆锥底面半径为r，球的半径为R，那么由n2 4 nR2，知r2 - R2.164根据

17、球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以与圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PB QB.设 PO x , QO y，那么 x y 2R .又厶 PO Bs BO Q，知 r2 O B2 xy . 即 xy r23R2.4由与X y可得x 3R,y R -那么这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为1故答案为丄.3三、解答题2021 , 18如图，在四棱锥 P ABCD 中，AB / CD，且 BAP CDP 90 .(1)证明：平面 PAB 平面PAD ； (2 )假设PA PD AB DC , APD 90，且四棱锥8P ABCD的体积为？，求该四棱锥的侧面积.3

18、解法(1). BAP cdp 90 , AB AP,CD DP又.AB / CD AB DP又AP 平面PAD , DP 平面PAD，且AP门DP P AB 平面PAD/ AB 平面PAB ,所以 平面PAB 平面PAD(2)由题意：设PA PD AB DC=a，因为 APD 90，所以PAD为等腰直角三角形即 AD= , 2a取AD中点E，连接PE，那么PE a , PE AD .2又因为平面PAB 平面PAD所以PE 平面ABCD因为AB 平面PAD , AB / CD所以 AB AD , CD AD又 AB DC =a所以四边形ABCD为矩形所以 Vpabcd 刑BPE aBafa 新

19、82021 , 18如下列图，正三棱锥 P ABC的侧面是直角三角形，PA 6，顶点P在平面ABC的正投影为点D，D在平面PAB的正投影为点E 连结PE并延长交AB于点G .(1) 求证：G是AB的中点；(2) 在题图中作出点 E在平面PAC的正投影F (说明作法与理由)，并求四面体 PDEF的体积.解析：(1)由题意可得 ABC为正三角形，故 PA PB PC 6 因为P在平面ABC的正投影为点 D，故PD 平面ABC 又AB 平面ABC，所以AB PD .因为D在平面PAB的正投影为点E，故DE 平面PAB .又AB 平面PAB，所以AB DE .因为 AB PD , AB DE , PD

20、 门 DE D , PD,DE 平面 PDG , 所以AB 平面PDG .又PG 平面PDG，所以AB PG .因为PA PB，所以G是AB的中点.(2)过E作EF / BP交PA于F ,那么F即为所要寻找的正投影.FPAEDGCB理由如下，因为 PB PA, PB/ EF，故EF PA同理EF PC , 又 PA RPC P , PA, PC 平面 PAC，所以 EF 平面 PAC , 故F即为点E在平面PAC的正投影.所以 Vdpef】Sa pef DE3pF EF DE .6在厶 PDG 中，PG 3、. 2 , DG,6 , PD 2,3，故由等面积法知 DE 2 .由勾股定理知PE

21、2、2，由 PEF为等腰直角三角形知 PF EF2，故 VD PEF2021 , 18如图四边形 ABCD菱形，G为AC与 BD交点，BE!平面ABCD(I )证明：平面AECL平面BED(n )假设/ ABC120。，AEL EC 三棱锥 E- ACD的体积为求该三棱锥的侧面积.解：(I ) / BEL平面 ABCD： BEL AC/ ABCD 菱形， BDL AC ACL平面BED又AC平面AEC 平面 AECL平面(n )设 AB=x 在菱形 ABCD，由/ AB(=120° 可得,ag=gc=23 x，GB=GD2.在Rt AEC中，可得BE=x .211、63.6Ve AC

22、DAC GD BEx32243在Rt EBG为直角三角形，可得由 BA=BD=B可得 AE= ED=EC=6 .解得x =2 . AEC勺面积为3,A EAD勺面积与 ECM面积均为.5 .所以三棱锥E-ACD勺侧面积为3+2 5 .12分18.解析 (1)因为BE 平面ABCD，所以BE AC . 又ABCD为菱形，所以 AC BD .又因为BD BE B , BD , BE 平面BED ,所以AC 平面BED 又AC 平面AEC，所以平面 AEC 平面BED .(2)在菱形 ABCD 中，取 AB BC CD AD 2x,又 ABC 120，所以 AG GC 3x, BG GD x.在厶

23、AEC 中， AEC 90，所以 EG -AC 3x ,2所以在 Rt EBG 中，BE .'EG2 BG2. 2x ,所以 VE ACD 1 1 2x 2x sin 120.2x3 233在 Rt EBA , Rt EBC , Rt EBD 中，可得 AE EC ED 6.所以二棱锥的侧面积 S侧22. 5663 2、-；5 .2 22021,19如图，三棱柱ABC AEG中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO(2)假设 AC AB, CBR 60 ,BC 1,求三棱柱 ABC ABG 的高.证明：(I )连接BC1，那么O为BC与BC的交点， ACL平面 BBCC.二

24、 AOL BC,2 分因为侧面BBGC为菱形， BG丄BC,-4分 BG丄平面 ABC，： AB 平面 ABC, 故BC丄AB6分(II)作 ODL BC 垂足为 D,连结 AD AOL BC,二 BC丄平面 AOD 又BC平面ABC二平面ABCL平面AOD交线为AD, 作OHL AD,垂足为H，二OHL平面ABC9分/CBB=60°,所以 CBB为等边三角形,又 BC=1,可得O=1 1t由于 ACL AB,： OA BQ - ,A AD .OD2 OA22 213 / 17由0HAD=ODOA可得OH=M，又O为BiC的中点，所以点Bi到平面ABC的距离为142，所以三棱柱ABC

25、-ABiCi的高高为77另解等体积法：I/ CBB=60°,所以 可得 B=12，由于 ACL AB,： OA 1 B1C2 2那么等腰三角形ABC的面积为1丄2、1222 V由 Vl-AB=V-BB1C得一7 d 3 1 ,解得 d 21，84 27所以三棱柱ABC-ABC的高高为返。7.12 分 CBB为等边三角形，又BC=1，1，二 AB=1，AC二2，9 分2 222 丄，设点B到平面ABC的距离为d，4812分2021，19如图，三棱柱 ABG ABG 中，CA= CB AB= AA，/ BAA= 60°.(1)证明：AEL AC; (2)假设 AB= CB= 2

26、，AQ= J6，求三棱柱 ABG- ABC 的体积.证明：1取AB的中点 O连结 OC OA，AB. 因为CA= CB所以OCL AB&由于 AB= AA，/ BAA= 60°，故厶AAB为等边三角形，所以OAL AB因为O6 OA= O,所以 ABL平面 OAC.又AC?平面OAC故ABL AQ.2解：由题设知 ABCW AAB都是边长为2的等边三角形，所以OC= OA= 3.又AQ= 花， 那么 AC = oC+ OA?，故 OAL OC因为O6 AB= O,所以OA丄平面 ABC OA为三棱柱 ABC-ABC的高.又厶 ABQ的面积 Saabc=3，故三棱柱 ABC- ABC 的体积 V= SabcX OA= 3.2021 , 19如图，三棱柱 ABC-ABC中，侧棱垂直底面，ACB901,AC=BC=AA, D是棱AA的中点.2(1) 证明：平面 BDC丄平面BDC(2) 平面BDC分此棱柱为两局部，解析(1)在RtDAC 中，AD求这两局部体积的比.AC ,得:ADC 45 ,同理:ADC145CDC190 ,得: DC1 DC .Ci由题设知BC丄 CC, BQ AC CCAC C ,所以BC平面ACCi A .又DC1平面ACCiAi，所以DC1 BC而DC门BCC ,所以DC1平面BDC .又DC1 平面BDC1，故平面BDC丄平面BDC1(