第14章结构动力学

1、第十四章 结构动力学14-1 概 述14-2 结构振动的自由度14-3 单自由度结构的自由振动14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动14-6 多自由度结构的自由振动14-8 振型分解法14-9 无限自由度结构的振动14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动14-10 计算频率的近似法14-1 概 述 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，要考虑惯性力的影响。间而变化，要考虑惯性力的影响。动力荷载的种类动力荷载的种类(1) 周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如

2、按正弦周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦 (或余弦或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为规律变化的称为简谐周期荷载，也称为 振动荷载振动荷载。(2) 冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行 消失的荷载。消失的荷载。(3) 突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。14-1 概 述(4) 快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。(5) 随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。随机荷载：变化规律不

3、能用确定的函数关系表示的荷载。 如风的脉动作用、地震等。如风的脉动作用、地震等。结构振动的形式结构振动的形式(1) 自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动 过程中不再受外部干扰力作用。过程中不再受外部干扰力作用。(2) 强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。14-2 结构振动的自由度结构振动的结构振动的自由度自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位：结构在弹性变形过程中确定全部质点位 置所需的独立参数的数目。置所需的独立参数的数目。 图图a所示简支梁跨中固定一个所示简支梁跨中固定一个重

4、量较大的物体，如果梁本身的重量较大的物体，如果梁本身的自重较小可略去，把重物简化为自重较小可略去，把重物简化为一个集中质点，得到图一个集中质点，得到图b所示的计所示的计算简图。算简图。梁在振动中的自由度梁在振动中的自由度=1单自由度结构单自由度结构具有一个自由度的结构。具有一个自由度的结构。多自由度结构多自由度结构自由度大于自由度大于1的结构。的结构。14-2 结构振动的自由度图图a所示结构有三个集中质点。所示结构有三个集中质点。自由度自由度=1图图b所示简支梁上有三个集中质量。所示简支梁上有三个集中质量。自由度自由度=3图图c所示刚架有一个集中质点。所示刚架有一个集中质点。自由度自由度=2自

5、由度的数目不完全取决于质点的数目自由度的数目不完全取决于质点的数目14-2 结构振动的自由度 图图d所示刚架上有四个集中质点，所示刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆便可限制全部质但只需要加三根链杆便可限制全部质点的位置。如图点的位置。如图e。自由度自由度=3 图图f所示梁，其分布质量集度为所示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多个可看作有无穷多个mdx的集中质量，是的集中质量，是无限自由度结构。无限自由度结构。自由度的数目与结构是否静定或超静定无关自由度的数目与结构是否静定或超静定无关 图图a所示机器的块式基础，当机所示机器的块式基础，当机器运转时，若只考虑基础的垂直振器运转时，若只考

6、虑基础的垂直振动，可用弹簧表示地基的弹性，用动，可用弹簧表示地基的弹性，用一个集中质量代表基础的质量。使一个集中质量代表基础的质量。使结构转化为图示的单自由度结构。结构转化为图示的单自由度结构。14-2 结构振动的自由度 图图b所示的水塔，顶部水池较重，所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，略去次要因素后，塔身重量较轻，略去次要因素后，可简化为图示的直立悬臂梁在顶端可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。支承集中质量的单自由度结构。实际结构针对具体问题可以进行简化实际结构针对具体问题可以进行简化14-3 单自由度结构的自由振动 如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点如图

7、所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点m拉离原拉离原有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是自由振动自由振动。14-3 单自由度结构的自由振动 图图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平衡位置为计算位移衡位置为计算位移y的原点，规定位移的原点，规定位移y和质点所受的力都已和质点所受的力都已向下为正向下为正。(1) 列动力平衡方程（刚度法）列动力平衡方程（刚度法）弹簧拉力

8、弹簧拉力(恢复力恢复力) Fe=k11y惯性力惯性力 ymF I质点处于动力平衡状态质点处于动力平衡状态0eI FF命命mk112可得可得011ykym 单自由度结构单自由度结构自由振动微分方程自由振动微分方程则有则有02yy (a)1、不考虑阻尼时的自由振动、不考虑阻尼时的自由振动取振动任一时刻的质点为隔离体如图取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。14-3 单自由度结构的自由振动(2) 列位移方程（柔度法）如图列位移方程（柔度法）如图c。 质点质点m振动时，把惯性力振动时，把惯性力FI看作是静力荷看作是静力荷载作用在体系上，则质点处的位移为载作用在体系上，则质点处的位移为1111IymFy

9、对单自由度结构有对单自由度结构有11111k方程为一常系数线性齐次微分方程，其通解为方程为一常系数线性齐次微分方程，其通解为可得与可得与(1)相同的结果相同的结果011ykym tAtAtysincos)(21振动的初始条件为振动的初始条件为000yyyyt ，则有则有0201yAyA，可得可得tytyysincos00(b)14-3 单自由度结构的自由振动式中式中y0初位移，初位移， 初速度。初速度。0y 结构的自由振动由两部分组成：结构的自由振动由两部分组成：一部分是初位移一部分是初位移y0引起的，为余弦规律；引起的，为余弦规律；一部分是初速度一部分是初速度 引起的，为正弦规律。如图引起的

10、，为正弦规律。如图a、b。0y 14-3 单自由度结构的自由振动令令cos0ay,sin0ay 则有则有/tan00yy,2220yya式式(b)可写为可写为)sin(tay(c)简谐振动如图简谐振动如图ca为振幅，表示质点的最大位移；为振幅，表示质点的最大位移； 为初相角。为初相角。周期周期2TTf1工程频率工程频率T2角频率或频率角频率或频率14-3 单自由度结构的自由振动可得可得st1111111gmggmmk(d)g重力加速度；重力加速度；st重量重量mg所产生静力位移。所产生静力位移。式式(d)表明：表明：随随st的增大而减小，即把质点放在结构最大位的增大而减小，即把质点放在结构最大

11、位 移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。例例14-1 当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁 的自振周期。的自振周期。14-3 单自由度结构的自由振动解：由式解：由式(d)可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有EIFlEIFlEIFl192，7687，48333231代入式代入式(d)可得可得333231192，7768，48mlEImlEImlEI据此有据此有2:51. 1:1:321说明：随着结构刚度的增大，说明：随着结构刚度的增大

12、， 其自振频率也相应地增高。其自振频率也相应地增高。14-3 单自由度结构的自由振动2、考虑阻尼作用时的自由振动、考虑阻尼作用时的自由振动阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等；阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等； 物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。 粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向 相反。相反。yFR称为阻尼系数称为阻尼系数考虑阻尼力时，质点考虑阻尼力时，质点m的受力图如图所示的受力图如图所示由动力平衡得由动力平衡得0eRIFFF即即011ykyym 令令mk112m

13、k214-3 单自由度结构的自由振动线性常系数齐次微分方程线性常系数齐次微分方程则有则有022yyky (f)设其解为设其解为rtCey代入式代入式(f)得特征方程得特征方程0222krr两个根为两个根为222, 1kkr讨论讨论(1) k大阻尼情况：大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，式是两个负实数，式(f)的通解为的通解为)sinhcosh(222221tkCtkCeykt 是非周期函数，不会产生振动，结构偏离平衡位置后将缓是非周期函数，不会产生振动，结构偏离平衡位置后将缓慢回复到原有位置。慢回复到原有位置。(3) k=临界阻尼情况：临界阻尼情况：r1=r2=-k，式，式(f)的通解为的通

14、解为)(21tCCeykt非周期函数，不发生振动。非周期函数，不发生振动。此时阻尼比此时阻尼比=1，k=m，可得临界阻尼系数，可得临界阻尼系数m2cr故有故有cr阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动强迫振动强迫振动结构在外来干扰力作用下产生的振动。结构在外来干扰力作用下产生的振动。如图所示，干扰力如图所示，干扰力F(t)直接作用在质点直接作用在质点m上，可得上，可得0)(eRItFFFF即即)(11tFykyym 或或)(122tFmyyy (h)微分方程微分方程(h)的解有两部分：一是相应齐次方程的通解的解有

15、两部分：一是相应齐次方程的通解 y0，)sincos(210tBtBeyt二是与干扰力二是与干扰力F(t)相应的特解相应的特解y当干扰力为简谐荷载时：当干扰力为简谐荷载时：tFtFsin)(为干扰力的频率为干扰力的频率F 为干扰力的最大值为干扰力的最大值14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动振动方程振动方程(h)成为成为tmFyyysin22 (i)设式设式(i)的一个特解为的一个特解为tCtCycossin21代入式代入式(i)解出解出4)(24)()(2222222222222221mFCmFC将将y0与特解合并，由初始条件与特解合并，由初始条件00,0yyyyt 可得可得(j)

16、cos2sin)(4)(sin)(2cos24)(sincos222222222222222222000ttmFttmFetyytyeytt14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 由式由式(j)可知，振动由三部分组成：可知，振动由三部分组成：(1) 由初始条件决定的自由振动；由初始条件决定的自由振动；(2) 伴随干扰力的作用发生的振动频率为伴随干扰力的作用发生的振动频率为，称为伴生自由振动；，称为伴生自由振动；(3) 按干扰力频率按干扰力频率振动，称为振动，称为纯强迫振动纯强迫振动或或稳态强迫振动稳态强迫振动如图。如图。 前两部分振动很快衰减掉，前两部分振动很快衰减掉，最后只剩下纯强

17、迫振动。最后只剩下纯强迫振动。过渡阶段过渡阶段振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段；振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段；平稳阶段平稳阶段纯强迫振动阶段。纯强迫振动阶段。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动1、不考虑阻尼的纯强迫振动、不考虑阻尼的纯强迫振动此时此时=0，由式，由式(j)的第三项可知纯强迫振动方程为的第三项可知纯强迫振动方程为tmFysin)(22最大动力位移即最大动力位移即振幅振幅为为2222211)(mFmFA111121mmk因因st112211yFAyst=F11：F作为静力荷载引起的静力位移作为静力荷载引起的静力位移st2211yA位移动力系数位

18、移动力系数，最大动力位移与，最大动力位移与 静力位移之比值。静力位移之比值。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当当时：时：为负，动力位移与动力荷载反向。为负，动力位移与动力荷载反向。 对单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，对单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数位移动力系数与与内力动力系数内力动力系数是相同的，统称为是相同的，统称为动力系数动力系数。2211 随随/ 而变化，当干扰力频率而变化，当干扰力频率接近于结构的自振频率接近于结构的自振频率时，动力系数迅速增大；时，动力系数迅速增大； =时，理论上时，理论上无穷大，此时内无穷大，此时内力和位移都

19、将无限大力和位移都将无限大共振共振。工程设计中应尽量避免发生共振工程设计中应尽量避免发生共振14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动2、考虑阻尼的纯强迫振动、考虑阻尼的纯强迫振动将式将式(j)的第三项写为的第三项写为)sin(tAy振幅振幅mFA2222224)(1相位差相位差2212tan振幅振幅A可写为可写为styA动力系数动力系数2222224)1 (114-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动动力系数动力系数与与/及及的关系如的关系如图所示。图所示。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动讨论讨论(1) 时，时，很小，质量近似于不动或作振幅很微小的颤动。很小，质量

20、近似于不动或作振幅很微小的颤动。 结构的结构的Fe、FR可以忽略，位移与荷载的相位差为可以忽略，位移与荷载的相位差为180。(3) 时，时，增加很快，增加很快，受阻尼的影响很大受阻尼的影响很大 。当阻尼较小。当阻尼较小 时，时，值很大，共振现象仍很危险。值很大，共振现象仍很危险。工程设计中一般常取工程设计中一般常取)3 . 125. 1 (14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例例14-2 如图发电机的重量如图发电机的重量G=35kN，梁的，梁的I=8.810-5m4，E=210GPa，发电机转动时离心力的垂直分力幅值，发电机转动时离心力的垂直分力幅值F=10kN。不考。不考虑阻尼，

21、试求当发电机转数为虑阻尼，试求当发电机转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠时，梁的最大弯矩和挠度（不计梁的自重）。度（不计梁的自重）。解：在解：在G作用下，梁中点的最大静位移为作用下，梁中点的最大静位移为m1053. 24833stEIGl自振频率为自振频率为1sts3 .62g干扰力频率为干扰力频率为1s3 .52602n求得动力系数求得动力系数4 . 31122梁中点的最大弯矩梁中点的最大弯矩mkN69FstGmaxMMM梁中点最大挠度梁中点最大挠度mm98. 4Fststmaxyy14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 图图a所示简支梁，干扰力不作用在质点上。所示简支

22、梁，干扰力不作用在质点上。建立质点建立质点m的振动方程。的振动方程。 F=1作用在点作用在点1时使点时使点1产生的位产生的位移为移为11，如图，如图b。 F=1作用在点作用在点2时使点时使点1产生的位产生的位移为移为12，如图，如图c。作用在质点作用在质点m上的惯性力为上的惯性力为ymF I 在惯性力在惯性力FI和干扰力和干扰力F(t)共同作共同作用下，任一时刻质点用下，任一时刻质点m处的位移为处的位移为)()()(121112I11tFymtFFy 即即)(111211tFykym 14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动瞬时冲量：荷载瞬时冲量：荷载F(t)在极短的时间在极短的时间t

23、0内给与振动物体的冲量内给与振动物体的冲量瞬时冲量作用下的振动问题瞬时冲量作用下的振动问题 图图a所示荷载大小为所示荷载大小为F，作用时间为，作用时间为t ，其冲量其冲量I=Ft ，即图中阴影部分的面积。，即图中阴影部分的面积。瞬时冲量作用下质点的动量增值为瞬时冲量作用下质点的动量增值为0ym由由0ymI可得可得mIy 0 当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下将产生自由振动。将初始条件代入式将产生自由振动。将初始条件代入式(g)可得瞬时冲量可得瞬时冲量I作用下作用下质点质点m的位移方程为的位移方程为temItyeyttsin)sin(

24、014-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 若瞬时冲量不是在若瞬时冲量不是在t=0而是在而是在t=时加于质点时加于质点上，其位移方程为上，其位移方程为)()(sin)(ttemIyt 图图b所示一般形式的干扰力所示一般形式的干扰力F(t)可认为是一系列微小冲量可认为是一系列微小冲量F()d连续连续作用的结果，应此有作用的结果，应此有teFmyttd)(sin)(1)(0(k)不考虑阻尼不考虑阻尼=0，=则有则有tFmytd)(sin)(10(m)式式(k)及式及式(m)称为称为杜哈梅积分杜哈梅积分14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 若在若在t=0质点原来还具有初始位移和初

25、始速质点原来还具有初始位移和初始速度，则质点位移为度，则质点位移为teFmtyytyeytttd)(sin)(1)sincos()(0000若不考虑阻尼则有若不考虑阻尼则有tFmtytyytd)(sin)(1sincos000(n)14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（1）突加荷载。变化规律如图）突加荷载。变化规律如图a所示。所示。设：加载前结构处于静止状态，将设：加载前结构处于静止状态，将 F()=F代入式代入式(k)求得求得tteyytsincos1st其振动曲线如图其振动曲线如图b。)1 (stdeyy时最大动位移时最大动位移yd为为t动力系数为动力系数为1 e不考虑阻尼不考

26、虑阻尼tyycos1ststd2yy 14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（2）短期荷载。变化规律如图所示。）短期荷载。变化规律如图所示。当当t=0时，时，有突加荷载加入并一直作用在结构上；有突加荷载加入并一直作用在结构上；当当t=t0时，时，有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。利用（利用（1）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解：）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解：tyyttcos1,0st0)2(sin2sin2cos)(cos)(cos1 cos1,00st0st0stst0tttytttyttytyytt自由振动自由振

27、动当当t0T/2时，最大位移发生在前一阶段。时，最大位移发生在前一阶段。2短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动14-6 多自由度结构的自由振动1、振动微分方程的建立、振动微分方程的建立刚度法刚度法 图图a所示无重量简支梁，所示无重量简支梁，略去梁的轴向变形和质点的转略去梁的轴向变形和质点的转动，为动，为n个自由度的结构。个自由度的结构。加入附加链杆阻止所有质点的位移，如图加入附加链杆阻止所有质点的位移，如图b。各质点的惯性力为各质点的惯性力为)21(niymii， 各链杆的反力为各链杆的反力为)21(niy

28、mii， 14-6 多自由度结构的自由振动令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。各链杆上所需施加的力为各链杆上所需施加的力为)21(RniFi，不计阻尼，各链杆上的总反力应等于零。不计阻尼，各链杆上的总反力应等于零。0RiiiFym 以质点以质点mi为例有为例有niniiiiiiykykykykF2211Rkii、kij为刚度系数其物理意义见图为刚度系数其物理意义见图d、e。可得可得i质点的动力平衡方程为质点的动力平衡方程为02211niniiiiiiiykykykykym 14-6 多自由度结构的自由振动对每个质点都列出一个动力平衡方程，

29、于是可得对每个质点都列出一个动力平衡方程，于是可得0002211222212122121211111nnnnnnnnnnnykykykymykykykymykykykym 写成矩阵形式为写成矩阵形式为00000212122221112112121 nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm多自由度结构无阻尼自由振动微分方程多自由度结构无阻尼自由振动微分方程14-6 多自由度结构的自由振动简写为简写为0YKYM 式中：式中：M为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵；为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵； K 为刚度矩阵，是对称矩阵；为刚度矩阵，是对称矩阵； 为加速度列向量；为加

30、速度列向量；Y为位移列向量。为位移列向量。Y 柔度法柔度法将各质点的惯性力看作是静荷载如图将各质点的惯性力看作是静荷载如图a。结构上任一质点结构上任一质点mi处的位移应为处的位移应为)()()()()(222111nninjjijiiiiiiiymymymymymy 14-6 多自由度结构的自由振动ii、ij为柔度系数其物理意义见图为柔度系数其物理意义见图b、c。由此，可以建立由此，可以建立n个位移方程个位移方程00022211122222112121221211111nnnnnnnnnnnnnymymymyymymymyymymymy 多自由度结构无阻尼自由振动微分方程多自由度结构无阻尼自由

31、振动微分方程14-6 多自由度结构的自由振动写成矩阵形式为写成矩阵形式为00000212121222211121121 nnnnnnnnnyyymmmyyy简写为简写为0YMY 为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。可推得可推得K1柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。2、按柔度法求解、按柔度法求解14-6 多自由度结构的自由振动设位移方程的特解为设位移方程的特解为), 2 , 1()sin(nitAyii代入位移方程可得代入位移方程可得010101222211122222211211221212111nnnnnnnnnnnnAmAmAmAmAmAm

32、AmAmAm振幅方程振幅方程14-6 多自由度结构的自由振动写成矩阵形式写成矩阵形式012AIM式中式中T21nAAAA振幅列向量振幅列向量单位矩阵单位矩阵要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。0111222211122222112112122111nnnnnnnnnmAmAmmmAmmmm频率方程频率方程或写为或写为14-6 多自由度结构的自由振动012IM 将行列式展开将行列式展开含含 的的n次代数方程，从而可得到次代数方程，从而可得到n个自个自振频率振频率1，2，n，将频率从小到大排列，分别称为第，将频率从小到大排列，

33、分别称为第一，第二，一，第二， ，第，第n频率。频率。将任一将任一k代入特解得代入特解得), 2 , 1()sin()()(nitAykkkiki此时各质点按同一频率此时各质点按同一频率k作同步简谐振动，各质点位移的比值为作同步简谐振动，各质点位移的比值为)()(2)(1)()(2)(1:knkkknkkAAAyyy任何时刻结构的振动都保持同一形状。任何时刻结构的振动都保持同一形状。主振动主振动多自由度结构按任一自振频率多自由度结构按任一自振频率k进行的简谐振动。进行的简谐振动。主振型主振型相应的特定振动形式，简称振型。相应的特定振动形式，简称振型。14-6 多自由度结构的自由振动), 2 ,

34、 1(010101)(2)(222)(111)(2)(22222)(1121)(1)(2212)(12111nkAmAmAmAmAmAmAmAmAmknknnnknknknnnkkkknnnkkk将将k代回振幅方程得代回振幅方程得可写为可写为), 2 , 1(01)(2nkAIMkk 系数行列式为零，系数行列式为零，n个方程中只有个方程中只有(n-1)个是独立的，不个是独立的，不能确定各质点的幅值，但可确定其比值即振型。能确定各质点的幅值，但可确定其比值即振型。14-6 多自由度结构的自由振动T)()(2)(1)(knkkkAAAA振型向量振型向量设设 ，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标

35、准化振型。，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。1)(1kA主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解：主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解：), 2 , 1()sin()sin()sin()sin(1)()(22)2(11)1(nitAtAtAtAynkkkkinnniiiikkiA、)(各主振动分量的振幅、初相角各主振动分量的振幅、初相角由初始条件确定。由初始条件确定。自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关；自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关； 反映了结构本身固有的动力特性。反映了结构本身固有的动力特性。14-6 多自由度结构的自由振动两个自由度结构的振幅

36、方程为两个自由度结构的振幅方程为0101222221121221212111AmAmAmAm频率方程为频率方程为011222211212122111mAmmm令令210)()(2121222112221112mmmm解得解得2)(4)()(2)(4)()(2121222112222111222111221212221122221112221111mmmmmmmmmmmm14-6 多自由度结构的自由振动可得两个自振频率可得两个自振频率221111求第一阵型求第一阵型将将=1代入振幅方程可得代入振幅方程可得21211121)1(1)1(211mmAA求第二阵型求第二阵型将将=2代入振幅方程可得代入

37、振幅方程可得21211122)2(1)2(221mmAA14-6 多自由度结构的自由振动例例14-3 试求图试求图a所示等截面简支梁的自振频率并确定主振型。所示等截面简支梁的自振频率并确定主振型。解：自由度解：自由度=2，由图，由图b、c可得可得EIlEIl486724343211232211求得求得EImlEIml486486153231得到得到3322331105.22486169. 5154861mlEImlEImlEImlEI14-6 多自由度结构的自由振动第一阵型第一阵型12121111)1(1)1(21mmAA第二阵型第二阵型12121112)2(1)2(22mmAA如图如图d，振

38、型是正对称的。，振型是正对称的。如图如图e，振型是反对称的。，振型是反对称的。结构的刚度和质量分布是对称的，结构的刚度和质量分布是对称的，则其主振型是正对称的或反对称的。则其主振型是正对称的或反对称的。取一半结构计算。取一半结构计算。14-6 多自由度结构的自由振动例例14-4 图图a所示刚架各杆所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结都为常数，假设其质量集中于各结 点处，点处，m2=1.5m1。试确定其自振频率和相应的振型。试确定其自振频率和相应的振型。解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的 假定，判定不可能发生正对

39、称形式的振动，其振型只能是假定，判定不可能发生正对称形式的振动，其振型只能是 反对称的。可取图反对称的。可取图b所示一半结构计算。所示一半结构计算。超静定结构超静定结构14-6 多自由度结构的自由振动作超静定结构在作超静定结构在F1=1和和F2=1作用下的弯矩图，如图作用下的弯矩图，如图a、b。取静定的基本结构作取静定的基本结构作 图，如图图，如图c、d。21MM 、EIhEIhEIh48274823483932112322311计算得计算得14-6 多自由度结构的自由振动EIhmEIhm3123110751. 0,4561. 1有有可得可得3122311165. 31,83. 01hmEIh

40、mEI第一阵型第一阵型673. 01第二阵型第二阵型874. 02反对称反对称振动，振动，质点同质点同向振动向振动反对称反对称振动，振动，质点反质点反向振动向振动14-6 多自由度结构的自由振动3、按刚度法求解、按刚度法求解利用柔度矩阵与刚度矩阵互为逆阵的关系，通过变换可得利用柔度矩阵与刚度矩阵互为逆阵的关系，通过变换可得02AMK振幅方程振幅方程02MK频率方程频率方程由频率方程可解出由频率方程可解出n个自振频率，代回振幅方程得个自振频率，代回振幅方程得), 2 , 1(0)(2nkAMKkk确定相应的确定相应的n个主振型个主振型14-6 多自由度结构的自由振动两个自由度的结构频率方程为两个

41、自由度的结构频率方程为0222221121211mkkkmk展开展开0)()()(212221121222112221kkkmkmkmm解得解得212122211222211122211122, 1)(42121mmkkkmkmkmkmk两个主振型为两个主振型为1211122)2(1)2(221211121)1 (1)1 (21kkmAAkkmAA例例14-5 图图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的 质量集中在各层的横梁上。试确定其自振频率和主振型。质量集中在各层的横梁上。试确定其自振频率和主振型。14-6 多自由度结构的自由振动解：刚架

42、振动时各横梁只能水平移动，自由度解：刚架振动时各横梁只能水平移动，自由度=3，结构的刚度，结构的刚度 系数如图系数如图b、c、d。14-6 多自由度结构的自由振动建立刚度矩阵为建立刚度矩阵为110132026243lEIK质量矩阵为质量矩阵为10005 . 10002mM14-6 多自由度结构的自由振动有有11015 .EIMK2324EIml由频率方程得由频率方程得011015 . 1320226展开展开082718323解得解得834. 3,774. 1,392. 0321自振频率自振频率324mlEI333231592. 9,525. 6,067. 3mlEIm

43、lEImlEI14-6 多自由度结构的自由振动确定主振型确定主振型将将k=1即即k=1=0.392代入振幅方程有代入振幅方程有00011015 . 1320226)(3)(2)(1kkkAAA1)1(1A设设标准化的第一振型为标准化的第一振型为290. 4608. 21)1(3)1(2)1(1)1(AAAA同理可求得同理可求得584. 1226. 11)2(3)2(2)2(1)2(AAAA294. 0834. 01)3(3)3(2)3(1)3(AAAA14-6 多自由度结构的自由振动第一、二、三振型分别如图第一、二、三振型分别如图a、b、c。14-6 多自由度结构的自由振动4、主振型的正交性、

44、主振型的正交性n个自由度的结构有个自由度的结构有n个自振频率及个自振频率及n个主振型，个主振型，每一频率及相应的主振型均满足振幅方程即：每一频率及相应的主振型均满足振幅方程即：分别设分别设k=i，k=j，可得，可得0)()(2kkAMK)(2)(iiiMAKA两边左乘以两边左乘以T)( jA两边左乘以两边左乘以T)(iA)(2)(jjjMAKA则有则有)(T)(2)(T)(ijiijMAAKAA(1)(T)(2)(T)(jijjiMAAKAA(2)K、M均为对称矩阵，将式均为对称矩阵，将式(2)两边转置有两边转置有)(T)(2)(T)(ijjijMAAKAA(3)14-6 多自由度结构的自由振

45、动将式将式(1)减去式减去式(3)得得0)(T)(22ijjiMAA当当ij时，时，i j，应有，应有0)(T)(ijMAA对于质量矩阵对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。，不同频率的两个主振型是彼此正交的。将此关系代入式将此关系代入式(1)得得0)(T)(ijKAA对于刚度矩阵对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型是彼此正交的。，不同频率的两个主振型是彼此正交的。 主振型的正交性是结构本身固有的特性，可以用来简主振型的正交性是结构本身固有的特性，可以用来简化结构的动力计算，可用以检验所得主振型是否正确。化结构的动力计算，可用以检验所得主振型是否正确。14-7 多自由度结构在简谐荷

46、载作用下的强迫振动平稳阶段的纯强迫振动平稳阶段的纯强迫振动 图图(a)所示无重量简支梁，所示无重量简支梁，用柔度法建立振动微分方程。用柔度法建立振动微分方程。任一质点任一质点mi的位移的位移yi为为PI2I21I1ininiiiyFFFy式中式中ttFyikjjijisinsinP1PkjjijiF1P各动力荷载幅值在质点各动力荷载幅值在质点mi处引起的静力位移处引起的静力位移iiymF I对对n个质点有个质点有tymymymytymymymytymymymynnnnnnnnnnnnnnsinsinsinP222111P22222211212P11221211111 14-7 多自由度结构在简

47、谐荷载作用下的强迫振动写成矩阵形式写成矩阵形式tYMYsinP 式中式中TP2P1PPn荷载幅值引起的静力位移向量荷载幅值引起的静力位移向量纯强迫振动的解答为纯强迫振动的解答为), 2 , 1(sin0nityyii，0iy为质点为质点mi的振幅。的振幅。tyyiisin20 代入位移方程可得代入位移方程可得0101012P02022201112P202022222011212P10102212012111nnnnnnnnnnnnnymymymymymymymymym振幅方程振幅方程14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动或写为或写为011P202YIM式中式中I是单位矩阵，是单位矩阵

48、，Y0是振幅向量。求解此方程即得各质点是振幅向量。求解此方程即得各质点在纯强迫振动中的振幅，从而得各质点的惯性力为在纯强迫振动中的振幅，从而得各质点的惯性力为tFtymymFiiiiiisinsin0I02I 020IiiiymF惯性力的最大值惯性力的最大值结论：位移、惯性力、干扰力将同时达到最大值。结论：位移、惯性力、干扰力将同时达到最大值。 计算最大动力位移和内计算最大动力位移和内力时，可将惯性力、干扰力时，可将惯性力、干扰力的幅值作为静力荷载加力的幅值作为静力荷载加于结构上计算，如图于结构上计算，如图b。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动将振幅方程改写为将振幅方程改写为01

49、0101P0I202I201I1P20I202I222201I21P10I102I1201I2111nnnnnnnnnnnFmFFFFmFFFFm可写为可写为01P0I12FM最大惯性力向量最大惯性力向量当当=k (k=1,2,n)，振幅、惯性力、内力值均为无限大，振幅、惯性力、内力值均为无限大共振共振14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例例14-6 图图a为一等截面刚架，已知为一等截面刚架，已知m1=1kN， m2=0.5kN，F=5kN，每分钟振动，每分钟振动300次，次，l=4m， EI=5103kNm2。试作刚架的最大动力弯矩图。试作刚架的最大动力弯矩图。解：此对称刚架承受

50、反对称荷载，可取图解：此对称刚架承受反对称荷载，可取图b所示半刚架计算。所示半刚架计算。三个自由度：三个自由度：m1的水平位移的水平位移m2的水平位移的水平位移m3的竖向位移的竖向位移14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动0I1Fm1的最大惯性力的最大惯性力0I30I2FF 、m2沿水平、竖向最大惯性力沿水平、竖向最大惯性力则有则有010101P303I233302I3201I31P203I2302I222201I21P103I1302I1201I2111FmFFFFmFFFFm(1)14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动求系数和自由项，作相应弯矩图如图求系数和自由项，作相

51、应弯矩图如图cf。由图乘法得由图乘法得3P33P23P1323313312333322311m1,m32,m20m00. 1,m59. 0,m00.20m17. 0,m00.32,m33.13FEIFEIFEIEIEIEIEIEIEI14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动集中质量的数值为集中质量的数值为/mskN051. 0,/mskN102. 02221mm振动荷载的频率为振动荷载的频率为1 -s10s603002代入式代入式(1)得得016.9900. 150. 003200. 133.6700.2002050. 000.2034.3603I02I01I03I02I01I03I0

52、2I01IFFFFFFFFFFFF解得解得FFFFFF023. 0,764. 0,971. 003I02I01I由叠加法由叠加法P303I202I101IMMFMFMFM最大动力弯矩图如图最大动力弯矩图如图g。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 图图a所示所示n个自由度个自由度的结构，当干扰力均作的结构，当干扰力均作用在质点处时，可得动用在质点处时，可得动力平衡方程为力平衡方程为)()()(n221122222121221121211111tFykykykymtFykykykymtFykykykymnnnnnnnnnnn 写成矩阵形式写成矩阵形式)(tFYKYM 若干扰力为同步简

53、谐荷载若干扰力为同步简谐荷载tFtFsin)(式中式中F=( F1 F2 Fn )T，为荷载幅值列向量。，为荷载幅值列向量。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动在平稳阶段各质点均按频率在平稳阶段各质点均按频率作同步简谐振动。作同步简谐振动。tYYsin0代入动力平衡方程整理得代入动力平衡方程整理得FYMK02)(求得各质点振幅值求得各质点振幅值各质点的惯性力为各质点的惯性力为tFtMYYMFsinsin0I02I 可得可得FFIKM20I21)(求得惯性力幅值求得惯性力幅值 位移、惯性力、干扰力同时达到最大值，将位移、惯性力、干扰力同时达到最大值，将FI、F(t)最大最大值作为静力

54、荷载作用于结构，计算最大动力位移和内力。值作为静力荷载作用于结构，计算最大动力位移和内力。14-8 振型分解法多自由度结构无阻尼强迫振动微分方程为多自由度结构无阻尼强迫振动微分方程为)(tFKYYM 只有集中质量的结构，只有集中质量的结构，M为对角阵，为对角阵，K不是对角阵不是对角阵方程藕联方程藕联各质点的位移向量各质点的位移向量T21nyyyY几何坐标几何坐标坐标变换坐标变换结构标准化的主振型向量表示为结构标准化的主振型向量表示为)()2()1(,n设设)()2(2)1(1nnY位移向量按主振型分解位移向量按主振型分解展开展开nnnnnnnnnnnnnnnyyy21)()2()1()(2)2

55、(2)1(2)(1)2(1)1(1)()(2)(1)2()2(2)2(12)1()1(2)1(112114-8 振型分解法简写为简写为Y 把几何坐标把几何坐标Y变换成数目相同的另一组新坐标变换成数目相同的另一组新坐标T21n正则坐标正则坐标)()2()1(n主振型矩阵，几何坐标与正则坐标主振型矩阵，几何坐标与正则坐标 之间的转换矩阵之间的转换矩阵令令)(T)(iiiMM 第第i个主振型的广义质量个主振型的广义质量MMMMMn0021T广义质量矩阵，对角矩阵广义质量矩阵，对角矩阵KKKKKn0021T14-8 振型分解法广义刚度矩阵，对角矩阵广义刚度矩阵，对角矩阵主对角线上的任一元素主对角线上的

56、任一元素)(T)(iiiKK 利用振型正交性可得利用振型正交性可得)(T)(2)(T)(ijiijMK令令i=j，可得，可得iiiMK2或或iiiMK与单自由度结构的频率公式相似与单自由度结构的频率公式相似14-8 振型分解法22221200n设设有有MK2)()()()()()()()(21T)(T)2(T)1(TtFtFtFtFtFtFtFtFnn广义荷载向量广义荷载向量)()(T)(tFtFii相应第相应第i个主振型的广义荷载个主振型的广义荷载振动方程变换为振动方程变换为)(tFKM 解除藕联，各自独立解除藕联，各自独立), 2 , 1()(nitFKMiiiii 14-8 振型分解法整

57、理得整理得), 2 , 1()(2niMtFiiiii 与单自由度结构无阻尼强迫振动方程形式相同。与单自由度结构无阻尼强迫振动方程形式相同。初位移、初速度为零时，由杜哈梅积分求得初位移、初速度为零时，由杜哈梅积分求得), 2 , 1()(sin)(1)(0nidtFMtitiiiin个自由度结构的计算简化为个自由度结构的计算简化为n个单自由度计算问题个单自由度计算问题振型分解法振型分解法（振型叠加法）：将位移（振型叠加法）：将位移Y分解为各主振型的叠加分解为各主振型的叠加14-8 振型分解法振型分解法计算步骤振型分解法计算步骤(1) 求自振频率和振型求自振频率和振型), 2 , 1(,)(ni

58、ii(2) 计算广义质量和广义荷载计算广义质量和广义荷载), 2 , 1()()(T)()(T)(nitFtFMMiiiii(3) 求解正则坐标的振动微分方程求解正则坐标的振动微分方程), 2 , 1()(2niMtFiiiii (4) 计算几何坐标计算几何坐标Y 求出各质点位移求出各质点位移计算其他动力反应。计算其他动力反应。与单自由度问题一样求解。与单自由度问题一样求解。14-8 振型分解法例例14-7 图图a所示结构在结点所示结构在结点2处受有突加荷载作用，试求两处受有突加荷载作用，试求两 结点的位移和梁的弯矩。结点的位移和梁的弯矩。)0()0(0)(tFttF解：解：(1) 结构的自振

59、频率和振型结构的自振频率和振型(图图b、c)323105.22,69. 5mlEImlEI11,11)2()1(2) 广义质量广义质量)(T)(iiiMM mmmM21100111mmmM2110011214-8 振型分解法广义荷载广义荷载)(T)(tFFii)()(011)(1tFtFtF)()(011)(1tFtFtF(3) 求正则坐标求正则坐标)cos1 (21)(sin)(1)(121101111tmdtFMtt)cos1 (21)(sin)(1)(222202222tmdtFMtt(4) 求位移求位移21211111yy14-8 振型分解法)cos1 (0667. 0)cos1 (2

60、)cos1 ()cos1 (221212221121211ttmFttmFy)cos1 (0667. 0)cos1 (22121211ttmFy两质点位移图形状如图两质点位移图形状如图d。14-8 振型分解法(5) 求弯矩求弯矩两质点的惯性力为两质点的惯性力为)cos(cos221111IttFymF )cos(cos221222IttFymF 由图由图e可求梁的动弯矩，如可求梁的动弯矩，如)cos1 (31)cos1 (69)(92)(212I1I1ttFllFtFlFtM14-9 无限自由度结构的振动 图图a所示具有均布质量的单跨梁，其振动时弹性曲线上所示具有均布质量的单跨梁，其振动时弹性