一种非简谐的微振动模型

1、一种非简谐的微振动模型收稿日期：2005-10-11*安徽省自然科学基金资助项目（050460201）；安徽省学术技术带头人后备人选科学研究资助项目作者介绍：倪致祥（1955-），男，上海市人，阜阳师范学院物理系教授，主要从事理论物理、数学物理方面的教学与科研倪致祥，马 涛( 阜阳师范学院 物理系，安徽 阜阳 236032)摘 要 ：研究了一类特殊的非简谐运动对称双弹性振子的横振动，得到了在微振动条件下的严格解，发现其运动周期与振幅的大小成反比，其波形对简谐波的形变系数较小，且与振幅的大小无关.关键词：对称双弹性振子；微小横振动；周期；形变中图分类号：O32 文献标识码：A 文章编号：0508

2、53 微振动理论在声学、分子谱、机械振动和耦合电路等物理领域有着广泛的应用1.一般来说，系统相对于稳定平衡位置的偏离足够小时，运动是简谐的简谐运动是最简单、最常见，最基本的周期运动，它的运动微分方程是线性的.然而，我们发现对于对称双弹性振子的横振动，在微振动的条件下，系统处于一种非简谐的周期运动状态，它的运动微分方程是非线性的.本文对这种非简谐的微振动现象作了较深入的研究，得到了运动微分方程的严格解，并由此进一步求出了运动周期与振幅之间的关系，及其波形相对于简谐运动的形变规律.1. 数学模型及简化对称双弹性振子的物理模型可以用一个在光滑水平面上运动的质量为m的质点来描述，它与两个弹性系数均为k

3、，原长均为a的弹簧相连. 在平衡时这两个弹簧成一条直线，此时弹簧为原长，质点的运动被约束在垂直与弹簧的方向，以质点的平衡位置为原点O，垂直与弹簧的方向为x轴建立坐标系（如图1所示），系统的动能为 图1 （1）势能为 （2）系统的拉格朗日函数为 （3）代入拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程 （4）为了简单起见，假定在初始时刻该弹性振子静止放置在离平衡位置为h的地方，即问题的初始条件为 （5）当a ® 0时，方程（4）成为 （6）上式等同于一个振动频率为的简谐振子的运动方程，其运动周期为T = 2 p / w0 .以w0为参考频率，a为参考长度，定义无量纲的变量 t = w0 t，y

4、= x / a，方程（4）和条件（5）可以化为无量纲形式 （7）其中b = h / a为无量纲振幅.在微振动情况下，b ® 0，则方程（7）为 （8）这是一个非线性的微分方程，它给出了一个非简谐振子微振动的数学模型.2. 问题的解及其物理意义21 问题的解按文献2，雅可比椭圆余弦函数cn(u, k)满足方程 （9）作变量变换，上式成为 （10）令 ，方程（10）恰好成为我们所要求解的问题（8），这说明(8)式的严格解为雅可比椭圆余弦函数 （11）22 运动的周期雅可比椭圆函数cn(u, k)的标准周期为 4K 3，其中 （12）为第一类完全椭圆积分. 当k2 = 1/2时，可以算出K

5、 = 1.85407.利用上述结果，考虑到自变量，我们得到微振动条件下对称双弹性振子的无量纲周期为 （13）它与无量纲振幅b成反比.23 运动的波形由方程（8）的严格解（11），容易画出在不同振幅下（b = 0.001，b = 0.01，b = 0.1）无量纲运动的波形为 图2 无量纲运动的波形由图2容易看出，不同振幅下无量纲运动的波形彼此相似.换句话说，除了一个比例因子外，波形与振幅的大小无关，即这种非简谐的微振动在不同振幅下的运动波形具有标度变换的不变性. 这一点也可以直接从严格解的形式（11）中得到证明.另一方面，不难看出所有无量纲运动的波形均介于余弦波和三角波之间，可以看成是一个形变了

6、的余弦波. 为了定量研究形变的规律，我们把（11）式展开为傅立叶级数. 按文献3，雅可比椭圆函数cn(u, k)满足如下关系 （14）这说明（11）式是半波对称的偶函数. 由文献4，对周期为T的半波对称偶函数f (x)有 （15a） （15b）因此 （16a） （16b）考虑到公式（13），上式可化为 （17a） （17b）由公式（17b）可见，傅立叶系数与振幅成正比，而比例系数的大小与振幅无关，这就证明了不同振幅下无量纲运动的波形彼此相似.具体的数值结果如下：系数数值a1 / b4.77503´10-1a3 / b2.15247´10-2a5 / b9.30244

7、0;10-4a7 / b4.01995´10-5a9 / b1.73718´10-6a11 / b7.50702´10-8 表1 无量纲运动的傅立叶系数从上表的数据中可以看出，该傅立叶级数收敛速度很快，因此波形对简谐运动的形变主要由系数a3决定.为了定量地描述形变情况，我们定义形变系数 （18）显然，对于简谐余弦波，形变系数 h = 0，即不发生形变.对于我们所研究的对称双弹性振子的微小横振动，容易算出其形变系数为h = 0.0450777.作为对比，我们指出同样是半波对称偶函数的三角波 （19）其傅立叶级数为 （20）形变系数为 h = 1/9 .3 结论通过本

8、文的研究，我们得到如下结果：（1）在微振动条件下，对称双弹性振子的微小横振动是一种非简谐的周期运动，在适当的初始条件下，其严格解为一个半波对称的偶函数雅可比椭圆余弦函数；（2）与通常的微振动（简谐运动）不同，对称双弹性振子微振动的运动周期不是常数，而与振幅的大小成反比；（3）该运动的波形彼此相似，与振幅无关. 具体形状介于余弦波和三角波之间，可以看成是一个形变了的余弦波，其形变系数为一个较小的正常数.参 考 文 献 ：1 Herbert Goldstein. Classical Mechanics(2nd edition)M. Addison-Wesley Publishing Company

9、, 1980. 243.2 刘式适，刘式达. 物理学中的非线性方程M. 北京：北京大学出版社，2000. 38.3 数学手册编写组. 数学手册M. 北京：高等教育出版社，1979. 640647.4 郑君里，应启珩，杨为理. 信号与系统（上册）M. 第2版. 北京：高等教育出版社，2000. 95.A model for the small oscillation of non-harmonic oscillatorsNi Zhi-xiang，Ma Tao（Department of Physics, Fuyang Teachers College，Fuyang 236032）Abstract：In this paper, we discuss a kind of special non-harmonic motion, i.e.,the transversal vibration of the symmetric double spring oscillators, and obtain the exact solutions under the condition of small amplitudes. We find that the periods is inversely proportional to the amplitu