数理统计试卷及答案

1、安徽大学2011 2012学年第一学期数理统计考试试卷（B卷）（闭卷时间120分钟）一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、设总体XN（1, 9），（Xi, X2, ,X9）是X的样本，则（X -1（A）N（0, 1） ；（ B）1X -1（C）N（0, 1） ；（ D）9 N(0,X 1 N(0,1)；院/系年级专业姓名学号题号-一-二二三四五总分得分得分数理统计（B卷）第1页共7页n_2、设XX2,Xn为取自总体XN（U2）的样本，X为样本均值，S； Jv（Xj-X）2， n y则服从自由度为n -1的t分布的统计量为（)0(A)n(X )(B)衬 n -1(X 門Sn(c)

2、n '1(X -(D)、n(X - ')数理统计（B卷）第#页共7页数理统计（B卷）第#页共7页( ).(A)? =0 n ；（C）是二2的无偏估计;n p T（D） （A）、（B）、（C）都对.二、填空题（本大题共5小题，每小题2分,6、设总体X和丫相互独立，且都服从正态分布共10分）得分N(0, 32)，而(X,X2 -；X9 和(YW ,Y9)3、若总体XN（；2），其中匚2已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1-：减小，则的置信区间（）（A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能.4、在假设检验中，分别用：，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，

3、则当样本容 量n定时，下列说法中正确的是（）.（A）：减小时：也减小；（B）：增大时：也增大；（C）:,:其中一个减小，另一个会增大；（D） （A）和（B）同时成立.5、在多元线性回归分析中，设 f?是卩的最小二乘估计，？ = Y - Xi?是残差向量，则(B) Cov(?) = ；2ln - X (XX)4 X ； 是分別来自X和和的样本，则_；：2服从的分布是一.7、设说与§2都是总体未知参数日的估计，且筑比§2有效，则说与区的期望与方差满足 8设总体XN（f；2），-2已知，n为样本容量，总体均值的置信水平为1 -：的置信区间为（X 扎X +肋，贝U k的值为.9、

4、设Xi,X2,.,Xn为取自总体XN（4；2）的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于!2检验的拒绝域为726（n1），则相应的备择假设Hi为;10、 多元线性回归模型Y= X B *中，B的最小二乘估计是!? = .三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）1 -Xe廿 x * 011、已知总体X的概率密度函数为f（x）-' x 0,其中未知参数二0 , 0 其它（X1,X2/ ,Xn）为取自总体的一个样本，求 二的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计 量.12、设X1,X2，Xn是来自总体XP（'）的样本，0未知，求的最大似然估计量13、已知两个总体 X与Y独立，

5、X（7,时），丫（A，為），7,書，时，二；未知,数理统计（B卷）第2页共7页(Xi,X2，XnJ和(Yi,Y2,Yn2)分别是来自X和丫的样本，求4的置信度为1-：的置信区间14、合格苹果的重量标准差应小于 0.005公斤在一批苹果中随机取9个苹果称重，得 其样本修正标准差为S =0.007公斤，试问：(1)在显著性水平0.05下，可否认为该批苹果重量标准差达到要求？ ( 2)如果调整显著性水平：.=0.025，结果会怎样？(圮025 (9) =19.023, 盜.05 (9) =16.919 ,盜.°25 (8) =17.535,瞪。5 (8) =15.507 )15、设总体XN

6、(a,1) , a为未知参数，a- R , X-X?，Xn为来自于X的简单随机 样本，现考虑假设：H °: a = a°， H 1 : a 式 a° ( a° 为已知数)取:=0.05，试用广义似然比检验法检验此假设(写出拒绝域即可).(u0.025 = 1.96，u0.05 二1 .65，0.025 (1) = 5.024，0.05 (1) = 3. 841 )得分四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)_16、设总体X服从B(1,p)分布，(XX2，Xn)为总体的样本，证明X是参数p的一个UMVU.E17、设X“ ,Xn是来自两参数指数分

7、布p（x;»i）=丄 exW,x0的样本，证明（X,x（i）是（,二）充分统计量.五、综合分析题（本大题共10分）得分数理统计（B卷）第4页共7页18、现收集了 16组合金钢中的碳含量X及强度Y的数据，求得16x =0.125, y =45.788,、(Xi X)2 二 0.3024,i=116' (% - y) 2432.4566.i T16' (Xi -X)W -y) =25.5218,i A（1）建立y关于x的一元线性回归方程y? = + l?x； 对Y 与 X 的线性关系做显著性检验（ =0.05, f°.05（1,14）=4.6O, t°

8、.025（14） = 2.1448,to.os(14) =1.7613)安徽大学2011 2012学年第一学期数理统计（B卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共10分）1、A 2 、D 3、C 4 、C 5 、B、填空题（每小题2分，共10 分）6、t(9)7、E(?) = E&), D(E)cD(?)9、2 c掃 10、Cov(? =<r2(XX )/2（本大题共5小题，每小题10分，共50分）解：（1） w =E X 二 xf （x）dx xe = “，用 wXX 代替，所以'0 n 2三、计算题11、? 1 n ?X i X .n i壬n(2) E

9、(?) =E(X) =-v E(XJ =E(X) - v，所以该估计量是无偏估计. n id：10x12解：总体x的分布律为设（X1,X2，Xn）为样本（X1,X2, ,Xn）的一个观察值，似然函数i =1i 4 X !i对数似然函数nln L(九)=一n +瓦 ki In 九 Tn(x !)】，i壬nn 刍n xL(J 岂| P(Xe' =e", 4 分dLG)=0,- nJ1 nXin二 xi = 0, ?=i =1(ln L(')12nXii=1的最大似然估计值，的最大似然估计量为10分13、解：设S2, S；分别表示总体X，Y的样本方差，由抽样分 布定理知PF

10、.dg Tn T） ： F :： R_：./2（山 Tn T）丨=1 一：,数理统计（B卷）第6页共7页2s2 / s2(F 1_2(n1 _1, n2 -"2二 1吒2二 2S2/s；电2(n1 -1,山 -1)丿C12匚232/&lF1 攻 2(n1 1,n2 "置信度s； / s；F -,/2 (n1 _ 1, n2 _ 1)10分的 置 信 区 间 为14、解：（1） H0 :二22 ( n -1 )S = 2CTP(32 > 瞪05(8 )=0.005戶2-0.005,则应有:具体计算得:求.20.05(8) =15.507 ,2 = 8 0.007

11、15.6815.507,所以拒绝假设H°，即认为苹果重量标准差0.005指标未达到要228 0.007= 17.535,=厂0.005即可以认为苹果重量标准 10分1 JEXS（2）新设假设， 求.H0:；2 乞0.005,由20.025= 15.68 ： 17.535,则接受差指标达到要15、解：似然函数为 L（X1,，Xn；a）nT?e i-，（2兀）$（X0）2i 土1L（X1,，Xn；a0）=（2_.）n/2 e又参数a的极大似然估计为X，于是从而1 n'(XT)2e v1supL(X1, ,Xn；a) =(2)n/2得似然比函数为supL(X1, ,Xn；a)n _

12、(X1, ,Xn) = a R二 exp (乂-a。)2,L(x，Xn；a°)2给定:=0.05，得20.05 = P(，(X1, ,Xn)，f 0 |a = a°) = P°(n (X -a°)2 In ' 0),因为当H。成立时，n(X - a。)22（1），此即监05（1）=3.84 = 21 n 丸°， 从而上述问题的拒绝域是 2W0 二n（X -a0）3.84.四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）16、证明：X的分布律为f（X； p）= pX（1 p）J x = 0,1 .容易验证f （X； p）满足正则条件，

13、于是10分数理统计（B卷）第8页共7页1P(1 - P)数理统计(B卷)第7页共7页数理统计(B卷)第7页共7页另一方面Var( X) Jvar( X)二 p(1 - p)二 n即X得方差达到C-R下界的无偏估计量，分17、证明样本的联合密度函数为n1_i P(X1， ,Xn；»L)=()ne二 Inn l(p)故X是p的一个UMVUE1_x：x(i)"(匚)匕二10数理统计(B卷)第7页共7页数理统计(B卷)第7页共7页1取t =(x, x),g(t;二)=(元)_nx _n ne 二 %,h(X1, ,Xn) =1,故由因子分解定理，(X, x (1)是(,二)充分统计量.10分五、综合分析题(本大题共10分)18、解：(1)根据已知数据可以得到回归系数的估计为1625.521884.3975, 0.3024亠 Z (Xi X)(yi y)一 16' (Xi - x)2i =1=yX= 45.788 -8