专题七圆与方程Ⅱ教师版

1、专题七圆与方程n 班级：姓名：小组： 一、知识梳理 (D直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2 .直线与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点. 有两组实数解时，直线l与圆C相交； 有一组实数解时，直线l与圆C相切； 无实数解时，直线l与圆C相离. (2)几何法： 由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径 r 的关系判断： 当dr时，直线l与圆C相交； 当dr时，直线l与圆C相切； 当dr时，直线l与圆C相离. 3 .圆的切线方程的求法 (1)点M在圆上，如

2、图. 法一：利用切线的斜率 kl与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于 1,即 koMkl1. 法二：圆心O到直线l的距离等于半径r. 点X0,y0在圆外，则设切线方程：yyk(xx0),变成一般式： kxyy0kx00,因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 k. 4、求直线被圆截得的弦长的方法 应用圆中直角三角形：半径r,圆心到直线的距离d,弦长l具有的关系 ?= 5、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； 当riLd时，两圆内含. 7、两圆公共弦长的求法： 求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长. 二

3、、巩固训练 类型一：直线与圆的位置关系 例1.已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4,试判断直线和圆的位置关系. 【答案】相交 【解析】解法一：:x2+y2=4, OC C1 6、圆与圆的位置关系的判定： 设 eOi的半径为 ri,eO2的半径为 r 当r1r2drr2时，两圆相交； 当 r12d 时，两圆外切； 当 ri万 d 时，两圆外离； 一外切交 ) 、J内含 2,两圆的圆心距为d. d时，两圆内切; 当rir2 ,没有公共点 圆心为(0,0),半径r=2. 又y=2x+1,圆心到直线的距离为d|2l吏2r.直线与圆,22125 相交. y2x1,22 解法二：:22:(2x+1)+x

4、=4, xy4, 即5x2+4x-3=0. 判别式A=42-4X5X(-3)=760. 直线与圆相交. 例2.已知直线方程mx-ym1=0,圆的方程x2+y24x2y+1=0.当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 【答案】(1)m0或m(2)m=0gm4(3)4m0 333 【解析】解法一：将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得， (1+南)x22(n2 2+2m+2x+n2 2+4m+4=0 =A=4m(3m+4, 当A0时，即m0或m4时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 3 当A=0时，即m=0或 m,时，直线与圆相切，

5、即直线与圆只有一个公共点； 3 当时，即4m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.3 解法二：已知圆的方程可化为(x-2)2 2+(y1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径r=2. 圆心C(2,1)到直线mxym1=0的距离 d|2m_1_m_1|m_2| d-Jm丁 m 当d0或 mf时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 3 当d=2时，即m=0或 m4时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；3 当d2时，即m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.3 【变式11求实数m的范围，使直线 xmy30 与圆 x2y26x50 分别满 足： (1)相交；(2)相切；(3)相离

6、. 【答案】(1)m2点或m2贬(2)m272(3)2&m272 【解析】圆的方程化为标准为(x3)2y24,故圆心(3,0)到直线 xmy30 的距离 d-6=二,圆的半径 r2. m21 (1)若相交，则dr,即2,所以m2在或m272. ,m1 (2)若相切，则dr,即2,所以m2点. m1 (3)若相离，贝 Udr,即62,所以2位m2播. 、m21 类型二：切线问题 例 3.过点 P(7,1)作圆 x2y225 的切线，求切线的方程. 【答案】4x3y250 或 3x4y250 【解析】因为 72125025,所以点在圆外. 法一：设过点 P(7,1)与圆相切的直线为 l:y

7、1k(x7)，即 kxy7k10. 因为圆心(0,0)至”的距离 d-LJ,则dr5,即11k1|5.解得 k-k21,k213 或 3. 4 从而，切线方程为 4x3y250 或 3x4y250. 解法二：设过点 P(7,1)与圆相切的直线为 l:y1k(x7). ry1k(x7),/口9 由22可得(1k2)x22k(7k1)x(7k1)2250.从而 xy25 2222_ 4k(7k1)4(1k)(7k1)250. 解得 k4 或-. 34 从而，切线方程为 4x3y250 或 3x4y250. 【变式11已知圆C经过点A（2,0）、B（1,J3）,且圆心C在直线y=x上. （1）求圆C

8、的方程； （2）过点（1,1）的直线l截圆所得弦长为 26，求直线l的方程.3 【答案】（1）x2+y2=4;（2）x=1或 yx 述 33 【解析】（1）AB的中点坐标（-,叵）,AB的斜率为内.可得AB垂直平分线为 22 2石x6y0,与xy=0的交点为（0,0）,圆心坐标（0,0）,半径为2,所以圆C的方程为x2+y2=4; （2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为k,又直线l过（1,近）， 3 直线l的方程为 yk（x1）,即 ykxk, 则圆心（0,0）到直线的距离d3,又圆的半径r=2,截得的弓玄长为273, 1k2 3/_ |k|_o 则有（3-）2（内）24,解得：k一, 1k2

9、3 则直线l的方程为 yI退. 33 当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1,满足题意. 直线l的方程：X=1或 y旦空. 33 类型三：弦长问题 例4.直线l经过点P(5,5)并且与圆C:x2+y2=25相交截得的弦长为代用，求l的方程. 【答案】x-2y+5=0或2xy5=0 【解析】根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y-5=k(x-5) 圆心(0,0)到直线的距离d卑旦，在由弦长的一半、半径和距离d构成的,1k2 直角三角形中, |55k152(25)2,解得 k1或k=2 1k22 故直线l的方程为x2y+5=0或2xy5=0. 【变式11求经过点P(6,4),且被定圆x2+

10、y2=20截得弦长为6历的直线的方程. 【答案】x+y2=0或7x+17y+26=0 【解析】如图所示，|AB|672,|OA|2岳,作OCLAB于C.在RtzXOAC中, |OC|20(3加2行. 设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y+4=k(x6),即kxy6k4=0.又圆到直线的距离为应， 1.2,即17k+24k+7=0,k1 1=1,k? ,1k2 所求直线方程为x+y2=0或7x+17y+26=0.7 17 类型四：圆与圆的位置关系 例5.已知圆Ci：x2+y22mx+4y+m5=0,圆 Q:Q:x2+y2+2x2my+r2h-3=0,问：m为何值时，(1)圆Ci和圆。相外切？(

11、2)圆C与圆G内含？ 【答案】(1)m=-5或m=2(2)2nK1. 【解析】对于圆C,圆G的方程，配方得 G:(x一项2+(y+2)2=9,G:(x+1)2+(y一砧 2 2=4. (1)如果圆 C 与圆 Q 相外切，则有 J(m1)2(m2)232,即 (m+12+(m+22=25,ml l+Bm-10=0, 解得m=5或m=2 (2)如果圆 C 与圆 G 内含，则有 J(m1)2(m2)232,即 (m+12+(m+221,n +3m+2：:0,解得一2m1. 故(1)当m=-5或m=2时，圆C与圆G相外切；(2)当一2m一1时，圆C与圆G内含. 【 变 式11当a为 何 值 时 ， 圆

12、Ci ： x2+y22ax+4y+(a25)=0和 圆G:x2+y2+2x2ay+(a23)=0相交. 【答案】当一5a2或一1a2时，圆G与圆G相交 【变式2】已知圆 C：(x1)2(y3)29,圆 C2:x2y24x2y110,求 两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长. 【答案】公共弦所在直线方程为3x-4y+6=0,弦长为空 5 【解析】两圆的方程作差得6x-8y+12=0,即3x-4y+6=0, 圆 C1：(x1)2(y3)29,故其圆心为(一1,3),r=3 圆到弦所在直线的距离为 dI3126|9 55 弦长的一半是.98112255 综上，公共弦所在直线方程为3x-4y+6=0,

13、弦长为空. 5 类型五：最值问题例6.已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0, 求：(1)丫的最大值；(2)yx的最小值.x 【答案】(1)第褥 2 【解析】将实数x、y看作点P(x,y)的坐标，满足x2+y24x+1=0的点P(x, y)组成的图形是以M(2,0)为圆心，半径为J3的圆，如图所 示. (1)设 YU 卜，即 Y 是圆上的点 P 与原点 O 连线的斜率.xx0 x 由图知，直线y=kx和圆M在第一象限相切时，k取最大值. 此时有OPLPM|PM|73,|OM|=2,ZPOM=60 此时 ktan60M，上的最大值为近.x (2)设yx=b,贝Uy=x+b,b是直线y=x+b在y轴上截距.由图知，当直线y=x+b bV62,.yx 的最小值是&2. 【变式 11 已知点 P(x,v)在圆(x2)2y23 上，求 Y 的最小化 x 【答案】3 【解析】设 k:，则k的几何意义为圆上的点与原点的斜率, 则由图象可知当直线y=kx与圆在第二象限相切时，直线斜率最小，此时k0,和圆M在第四象限相切时, b(b0)取最小值，此时有 则圆心（2,0）到直线的距离d|_2k_16,1k2 即 k23,解得 k6, 故y的最小值为