平面几何基本定理讲解

1、一平面几何1勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理） （1） 锐角对边 的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另 一边在这边上的射影乘积的两倍（2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上 的射影乘积的两倍1523射影定理（欧几里得定理）中线定理巴布斯定理）设 ABC 的边 BC 的中点为 P，则45有 AB 2AC2 2(AP 2 BP 2) ；16二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结 论这条直线称为两圆的 “根轴”三个圆两两的根轴如果不2b 2 2c2 a 22 垂线定理： AB CD AC2 AD2 BC 2 BD2 高 线 长

2、中线长：17ma2 bchap(p a)( p b)( p c) sin A csin BaabsinC角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线 段与这个角的两边对应成比例18如 ABC 中，AD平分 BAC，则 BDDCAB ；（外角平分线AC定理）角平分线长：tac bcp( pa)2bc cos A(其中 c2p 为周长一半）6正弦定理：7sin A形外接圆半径）2c余弦定理：8张角定理：sin91011121314sinBa2 b22R， sinC其中 R 为三角互相平行， 则它们交于一点， 这一点称为三圆的“根心” 三 个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公

3、共弦 （就是两两的根轴 ）所在直线交于一点托勒密（ Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两 组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC， （逆命题成立） （广义托勒密定理） AB·CD+AD·BCAC ·BD 蝴蝶定理： AB是 O的弦， M 是其中点，弦 CD、EF 经过 点 M，CF、DE 交 AB 于 P、 Q，求证： MP=QM费马点： 定理 1 等边三角形外接圆上一点， 到该三角形较近 两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外 接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距 离 定理

4、 2 三角形每一内角都小于 120°时，在三角形内必 存在一点，它对三条边所张的角都是 120 °，该点到三顶点 距离和达到最小， 称为“费马点”，当三角形有一内角不小于 120°时，此角的顶点即为费马点拿破仑三角形：在任意 ABC 的外侧，分别作等边 ABD、 BCE、 CAF，则 AE、AB、CD 三线共点，并且 AEBF CD，这个命题称为拿破仑定理以 ABC 的三条边分别向外作等边 ABD、BCE、CAF ，它们的外接圆 C1 、 A1 、 B1 的圆心构成的外拿破仑的三角形， C1 、 A1 、 B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形； ABC 的

5、三条边分别向 ABC 的内侧作等边 ABD、BCE、 CAF ，它们的外接圆 C2 、 内拿破仑三角形， C2 、 破仑三角形也是一个等边三角形 有相同的中心 A2 、B2 的圆心构成的 A2 、 B2 三圆共点，内拿 这两个拿破仑三角形还具2ab cosC19BAC sin BAD sin AD AC ABDAC（Stewart）定理：设已知 ABC 及其底边上 B、 C 2·BC斯特瓦尔特两点间的一点 D，则有 AB2· DC + AC2· BD ADBC·DC ·BD圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一 半（圆外角如何转化？）

6、弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定 理）：切线长定理：）布拉美古塔（ Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形 ABCD 中， ACBD ，自对角线的交点 P 向一边作垂线，其延长线 必平分对边点到圆的幂：设 P为O 所在平面上任意一点， PO=d， O的半径为 r，则 d2 r2就是点 P对于 O的幂过 P任作 一直线与 O 交于点 A、B，则 PA·PB= |d2 r2|“到两圆等 幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此20212223九点圆（ Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）

7、 ：三角形 中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂 心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具 有许多有趣的性质 ,例如 :（1）（2）点三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半九点圆的圆心在欧拉线上 ,且恰为垂心与外心连线的中（3）费尔巴哈定理欧拉（ Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂 心依次位于同一直线（欧拉线）上三角形的九点圆与三角形的内切圆 , 三个旁切圆均相切欧拉（ Euler）公式：设三角形的外接圆半径为 R，内切圆半 径为 r ，外心与内心的距离为 d，则 d2=R2 2Rr 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各 边距离

8、的和重心：三角形的三条中线交于一点，成 2： 1 的两部分； G（xAxB xC并且各中线被这个点分yAyByC )第 页 共 20 页 2020-2-20重心性质：（ 1）设 G 为 ABC 的重心，连结 AG 并延长交4）设 I 为 ABC 的内心， BCa, AC b, AB c,BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，则 AG:GD 2:1；A 平分线交 BC 于 D，交 ABC 外接圆于点 K，则2 ） 设 G 为 ABC 的 重 心 ， 则AI AK IK b cS ABG S BCGS ACG1SS ABC3ID KI KD a5)设 I 为ABC 的内心，BC a,AC b,A

9、B c, I（3）设 G为ABC的重心，过G 作DEBC交 AB于 D， 交 AC于 E，过 G作 PFAC 交 AB于P，交 BC于 F，过G作HK AB 交AC 于K， 交 BC 于 H， 则DEFPKH2; DEFPKH2（4）设BCCAAB3; BCCAAB在 BC,AC, AB上的射影分别为 D,E,F，内切圆半径为r，令p 1(a b2c) SABC pr ； AEAFp a;BDBFpb;CE CD p c；abcrp AI BICI G 为 ABC 的重心，则2 2 2 2 2 2BC23GA2CA23GB2AB23GC 22 2 2 1 2 2 2GA2 GB2 GC 2(A

10、B2 BC2 CA2)32 2 2 2 2 2 2PA2PB2PC2GA2GB2GC23PG2( P 为ABC 内任意一点) ；26 外心： 三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心， 即外心 到三角形各顶点距离相等；sin 2 AxA sin2BxB sin 2CxC sin 2AyA sin 2ByB sin2A sin2B sin2C sin2A sin2B外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即 2 2 2GA2 GB2 GC2 最小； 三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足 上述条件之一，则 G为ABC 的重心）2）设 O 为A

11、BC 的外心，则 BOC 2 A 或BOC 360 2 A（ 3） Rabc ；（4）锐角三角形的外心到三边的4S24 垂 心三角形的三条高线的交点距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和H(axAcos AabxB cos B bccosCxCcos A cos B cos C27 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；a y b y c ycosA yA cosB yB cos设C yC）ABC 的 三 边 BC a, AC b, AB c, 令 a b c 1cos A cos B cosCp 2（a b c） ，分别与 BC,AC, AB外侧相切的旁切垂心性质：（1）三角形任一顶

12、点到垂心的距离，等于外心到 对边的距离的 2 倍（2）垂心 H 关于 ABC 的三边的对称点， 均在ABC 的外接圆上；（3） ABC 的垂心为 H，则ABC， ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆；（4）设 O，H 分别为ABC 的外心和垂 心， BAO HAC, CBO ABH, BCO HCA 25 内心： 三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等圆圆心记为 I A,IB,IC ，其半径分别记为 rA,rB,rC 旁心性质（1）BIAC901A, BI BCBICC1A,（对2B2于顶角B，C 也有类似的式子）（2）IAIBIC11 ( A C)2（3）设AIA的

13、 连 线 交 ABC的外接圆于D，则28 三角形面积公式1 CS ABC ABC1aha1absin Cabc22R2 sin A sin B sin C2224R222abcI（axA bxB cxC ,ayA byB cyC ）a b c a b c 内心性质：（1）设 I 为ABC 的内心，则 I 到ABC 三边的 距离相等，反之亦然（ 2 ） 设 I 为 ABC 的 内 心 ， 则11BIC 90 A, AIC 90 B, AIB 9022（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的DI A DB DC （对于 BIB,CIC 有同样的结论）（4）ABC 是IAIBIC 的垂足

14、三角形， 且IAIBIC 的外接圆半 径 R' 等于 ABC 的直径为 2R距离与到内心的距离相等；反之，若A 平分线交 ABC外接圆于点 K， I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB ，则 I 为 ABC 的内心4(cot A cotB cotC)pr p(p a)(p b)(p c) ，其中 ha 表示 BC 边上的第 页 共 20 页 2020-2-20293031323334353637383940414243高，R 为外接圆半径， r 为内切圆半径， p 1（a b c）2于边 BC、CA、AB 的对称点和 ABC的垂心 H 同在一条（与 西摩松线平行的）直线上这条直线被

15、叫做点P 关于 ABC三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系r 4RsinAsinBsinC;ra 4Rsin AcosBcosC,rb2 2 2 a 2 2 2 b的镜象线44 牛A顿定理B1：四C边形两条对边的延长A线的交B点所连C线段的中 4Rco点s和2两si条n对2角c线os的2中,点rc，三4点R共c线os2这c条o直s线2叫si做n这2个;四边 形的牛顿线rrr1aBCbACcAB ; ratan tantan tantan tana222222梅涅劳斯（ Menelaus）定理：设 ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P

16、、Q、R 则有 BP CQ AR 1（逆定理也成立）PC QA RB 梅涅劳斯定理的应用定理 1：设ABC 的A 的外角平分线 交边 CA 于 Q， C的平分线交边 AB于 R， B的平分线交 边 CA 于 Q，则 P 、Q、R 三点共线 梅涅劳斯定理的应用定理 2：过任意 ABC 的三个顶点 A、 B、C 作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA、AB 的延长线 交于点 P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线 塞瓦（ Ceva）定理：设 X、Y、Z分别为 ABC的边 BC 、CA、 AB 上的一点，则 AX、 BY、CZ 所在直线交于一点的充要条AZ BX CY 件是ZABZ·XBXC

17、·YCAY=1 塞瓦定理的应用定理： 设平行于 ABC 的边 BC 的直线与两 边AB、AC的交点分别是 D、E，又设 BE和CD交于 S，则 AS一定过边 BC 的中点 M 塞瓦定理的逆定理： （略） 塞瓦定理的逆定理的应用定理 1：三角形的三条中线交于一 点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于 一点塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设 ABC 的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点 R、S、 T，则 AR、BS、CT 交于 一点西摩松（ Simson）定理：从 ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线， 设其垂足分别是 D 、 E、R

18、，则 D、E、R 共线，（这条直线叫西摩松线 Simson line） 西摩松定理的逆定理： （略）关于西摩松线的定理 1： ABC 的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上 关于西摩松线的定理 2（安宁定理）：在一个圆周上有 4 点， 以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西 摩松线，这些西摩松线交于一点史坦纳定理：设 ABC 的垂心为 H，其外接圆的任意点 P， 这时关于 ABC的点 P的西摩松线通过线段 PH 的中心 史坦纳定理的应用定理： ABC 的外接圆上的一点 P 的关451 牛1顿定理1 2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的

19、rb 圆心rc ，三r点. 共线46 笛沙格定理 1：平面上有两个三角形 ABC、 DEF ，设它 们的对应顶点（ A 和 D、 B 和 E、C 和 F）的连线交于一点， 这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线47 笛沙格定理 2：相异平面上有两个三角形 ABC、 DEF ， 设它们的对应顶点（ A和 D、B和 E、C和 F）的连线交于一 点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线48 波朗杰、腾下定理：设 ABC 的外接圆上的三点为 P、Q、 R，则 P、Q、R关于ABC 交于一点的充要条件是：弧 AP+ 弧 BQ+弧 CR=0（mod2 ） 49 波朗杰、腾下定理推论 1：

20、设 P、Q、R 为ABC 的外接圆 上的三点，若 P、 Q、 R 关于 ABC 的西摩松线交于一点， 则 A、B、C 三点关于 PQR 的的西摩松线交于与前相同的 一点50 波朗杰、腾下定理推论 2：在推论 1 中，三条西摩松线的交 点是 A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心 和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点51 波朗杰、腾下定理推论 3：考查 ABC 的外接圆上的一点 P 的关于ABC 的西摩松线，如设 QR为垂直于这条西摩松线 该外接圆的弦，则三点 P、 Q、 R 的关于 ABC 的西摩松线 交于一点52 波朗杰、腾下定理推论 4：从 ABC 的顶点向边 BC、

21、CA、 AB 引垂线，设垂足分别是 D、 E、 F，且设边 BC、CA、AB 的中点分别是 L、M、 N，则 D、E、F、 L、 M、N 六点在同 一个圆上，这时 L、 M、N 点关于关于 ABC 的西摩松线交 于一点53卡诺定理：通过 ABC 的外接圆的一点 P，引与 ABC 的三 边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线 PD、PE、PF，与 三边的交点分别是 D、E、F，则 D、E、F 三点共线54 奥倍尔定理：通过 ABC 的三个顶点引互相平行的三条直 线，设它们与 ABC 的外接圆的交点分别是 L、 M、N，在 ABC 的外接圆上取一点 P，则 PL、PM 、PN 与ABC 的

22、三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F，则 D、 E、F 三点共线55 清宫定理：设 P、Q 为 ABC 的外接圆的异于 A、B、 C 的 两点， P点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、 W，这时， QU、 QV、QW 和边 BC、 CA、 AB 或其延长线的 交点分别是 D、E、F，则 D、E、F 三点共线56他拿定理：设 P、Q 为关于 ABC 的外接圆的一对反点，点第 页 共 20 页 2020-2-205758596061626364656667681·4P 的关于三边 BC、 CA、AB 的对称点分别是 U、V、W，这 时，如果 QU

23、 、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交 点分别是 D、 E、F，则 D、E、F 三点共线(反点： P、Q 分别为圆 O的半径 OC和其延长线的两点， 如果 OC2=OQ×OP 则称 P、Q 两点关于圆 O 互为反点) 朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1 四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点 P，作 P 点的关于这 4 个 三角形的西摩松线，再从 P 向这 4 条西摩松线引垂线，则四 个垂足在同一条直线上从三角形各边的中点， 向这条边所对的顶点处的外接圆的切 线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心 一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n1 个点的

24、重心，向该 圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点康托尔定理 1：一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n2 个 点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点康托尔定理 2：一个圆周上有 A、B、 C、 D 四点及 M 、N 两 点，则 M 和 N 点关于四个三角形 BCD、 CDA、DAB、 ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上这条直线叫做 M 、N 两点关于四边形 ABCD 的康托尔线 康托尔定理 3：一个圆周上有 A、 B、 C、D 四点及 M、N、 L三点，则 M、 N两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、 L、 N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、 M 、L 两

25、点的关于 四边形 ABCD 的康托尔线交于一点这个点叫做M、 N、L三点关于四边形 ABCD 的康托尔点康托尔定理 4：一个圆周上有 A、B、 C、D、 E 五点及 M、 N、L 三点，则 M、N、 L 三点关于四边形 BCDE、 CDEA 、 DEAB、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上 这条直线 叫做 M、N、L 三点关于五边形 A、B、C、D、E 的康托尔线 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切 莫利定理： 将三角形的三个内角三等分， 靠近某边的两条三 分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正 三角形这个三角形常被称作莫利正三角形 布利安松定理：连结外切于圆

26、的六边形 ABCDEF 相对的顶 点 A和 D、B和 E、C和 F，则这三线共点帕斯卡( Paskal)定理：圆内接六边形 ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的(或延长线的) 交点共线 阿波罗尼斯( Apollonius )定理：到两定点 A 、B 的距离之比 为定比 m：n(值不为 1)的点 P ，位于将线段 AB 分成 m：n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上 这个圆称 为阿波罗尼斯圆69 库立奇 *大上定理：( 圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点， 过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同 一圆周上，我们把过这四个九点

27、圆圆心的圆叫做圆内接四边 形的九点圆70 密格尔( Miquel )点： 若 AE、AF、ED、FB 四条直线相交 于 A、B、C、D 、E、F 六点，构成四个三角形， 它们是 ABF 、 AED 、 BCE、 DCF ，则这四个三角形的外接圆共点， 这个点称为密格尔点71 葛尔刚( Gergonne)点： ABC 的内切圆分别切边 AB、BC、 CA 于点 D、E、F，则 AE、BF、CD 三线共点，这个点称为 葛尔刚点72欧拉关于垂足三角形的面积公式： O是三角形的外心， M 是 三角形中的任意一点， 过 M 向三边作垂线， 三个垂足形成的 三角形的面积，其公式： S DEF |R2 d2

28、 | S ABC 4R二集合1. 元素与集合的关系x A x CU A , x CU Ax A .2. 德摩根公式CU (AI B) CU AUCU B;CU (AU B) CU AI CUB3. 包含关系AI B A AUB BA BCU B CU AAI CUBCUAU B R4.集合a1,a2,L ,an 的子集个数共有 2n 个；真子集有2n 1个；非空子集有 2n 1个；非空的真子集有 2n2 个.5.集合 A中有 M个元素，集合 B 中有 N个元素，则可以构造 M*N 个从集合 A到集合 B 的映射；6. 容斥原理card (AUB) cardA cardB card ( A I

29、B) card(AUBUC) cardA cardB cardC card (A I B) card ( A I B) card(BI C) card(CI A) card ( A I BI C)(3) 零点式 f (x) a(x x1)(x x2)(a 0) .三二次函数，二次方程二次函数的解析式的三种形式2(1) 一般式 f (x) ax2 bx c(a 0) ;2(2) 顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0);2·解连不等式 N f (x) M 常有以下转化形式N f(x) M| f(x)N| f(x) M f (x) N 0MN2f (x) NM f (x)第 页

30、共 20 页 2020-2-201 1 .f(x) N M N3·方程 f(x) 0在(k1,k2) 上有且只有一个实根, 与f(k1)f(k2) 0不等价 ,前者是后者的一个必要而不是充分条件 . 特别地 , 方程 ax 2 bx c 0(a 0) 有且只有一个(3)方程 f (x) 0 在区间 ( ,n) 内有根的充要条件为 p2 4q 0 f (m) 0 或 p .m26·定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据实根在 (k1,k2) 内,等价于 f(k1) f(k2)且k1bk1 k22a2k1k2bk2 .22a4·闭区间上的二次函数的最值0,或 f

31、(k1)f (k2) 0二次函数f (x)ax2 bxc(a0) 在闭区间 p,q 上的最值只能在xbb 处及区间的两端点处取得，具体如下：2ab p,q ，(1) 当a>0时，若x则2a，不同)上含参数的二次不等式f (x,t)0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是f (x,t)min 0(xL).(2) 在给定区间 () 的子区间上含参数的二次不等式f (x,t)0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是f (x,t)man 0(xL).(3)f (x) ax4b2 xc0 恒成立的 充要条件是(1) 在给定 区间 ( , ) 的 子区间 L (形如0 或 b204acf(x)minf(

32、), f(x)max2amaxf(p), f (q) ；xb2ap,q ， f (x)maxmaxf (p), f (q) ，f (x)minminf (p), f (q) .(2)当 a<0 时 ， 若xbp,q ， 则2af (x)minminf(p), f(q) ，若xb p,q ，则2af (x) maxmax f (p), f (q)f (x)minminf(p), f(q) .5·一元二次方程的实根分布1·真值表2·常见结论的否定形式非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假四简易逻辑依据：若 f (m)f (n) 0，则方程 f (x) 0

33、在区间(m,n) 内至少有一个实根设 f(x) x2 px q ，则(1)方程 f (x) 0在区间 (m, ) 内有根的充要条件为 p2 4q 0 f(m) 0 或p ；m2(2)方程 f (x) 0 在区间 (m,n) 内有根的充要条件为f(m)f (n) 0 或f (m) 0f (n) 0p2 4q 0 或 p mn2f (m)af(n)f(n) 0af(m) 0原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有( n 1)个小于不小于至多有n个至少有( n 1)个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp 且 q对任何 x， 不成立存

34、在某x，成立p且qp 或 q3·四种命题的相互关系5第 页 共 20 页 2020-2-204·充要条件(1)充分条件：若(2)必要条件：若(3)充要条件：若 p 条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦 然.q ，则 p 是 q 充分条件 . p ，则 p 是 q 必要条件 .q ，且 qp ，则 p 是 q 充要(1) 函 数 yf (x) 的 图 象 关 于 直 线 x a 对 称f (ax)f (a x)f (2ax)f (x) .(2) 函数yf(x) 的 图 象 关 于 直 线 xab对称2f (amx)f(b mx)五函数1·函数的

35、单调性(1) 设 x1 x2 a,b,x1 x2 那么(x1x2) f(x1)f (x2)0f (x1)f(x2) 0f (x)在a,b 上是增函数；x1x2(x1x2) f(x1)f (x2)0f (x1)f (x2) 0f (x)在a,b 上是减函数 .x1x2(2) 设函数 y f (x) 在某个区间内可导， 如果 f (x)则 f(x)为增函数；如果f (x)0 ，则 f(x) 为减函数2·如果函数 f(x) 和 g(x) 都是减函数 ,则在公共定义域内 , 和函 数0，f (a b mx) f (mx) .9 两个函数图象的对称性(1) 函数 y f (x) 与函数 y f

36、( x) 的图象关于直线x 0(即 y 轴)对称.(2) 函数 y f (mx a) 与函数 y f (b mx) 的图象 ab关于直线 x a b 对称 .2m1(3)函数 y f(x)和 y f 1 (x)的图象关于直线 y=x 对 称.10 若将函数 y f (x)的图象右移 a、上移 b个单位，得到 函数 y f(x a) b的图象；若将曲线 f(x,y) 0 的 图 象 右 移 a 、 上 移 b 个 单 位 ， 得 到 曲 线11f(x) g(x) 也是减函数; 如果函数 y f(u) 和 g(x)在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数 fg(x) 是增函数 .12y3

37、3;奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 在对称区间上， 奇函数的单调性相同， 欧函数相反；，如果一个函 数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数 的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数 的定义域包括 0，则必有 f(0)=0;4 若函数 y f (x) 是偶函数，则 f (x a) 若函数 y f(x a)是偶函数，则 f (x 5· 对于函数 y f (x)( x R), f (xa)a)a)；a).x) 恒f (x a,y b) 0的图象 . 互为反函数的两个函数的关系 f (a) b 若 函 数 y

38、11 f 1(x)k1f 1(b) a.f (kx b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为b , 并 不 是 y1 f 1(kx b) 是 y1k1f(x)成立, 则函数 f (x)的对称轴是 函数 xf ( x f ( x f (b b b ; 两 个 函数 f 1(kx b) , 而 函 数b 的反函数 .y f(x a) 与abx 对称 .26·若 f (x)f (a,0)对称; 若 f (x) 2期为 2a 的周期函数 .7 多项式函数 P(x)f(b x) 的a) , 则函数 yf(xnanxan多项式函数 P(x) 是奇函数的系数全为零 .多项式函数 P(x

39、) 是偶函数的系数全为零 .8 函数 y f (x) 的图象的对称性2图象关于直线f (x) 的图象关于点a) , 则函数 yf (x) 为周n11xn 1 L a0 的奇偶性 P(x) 的偶次项 ( 即奇数项 )P(x) 的奇次项 ( 即偶数项 )(1)正比例函数f (x)cx, f (x y)f (x) f (y), f(1) c .(2)指数函数f (x)ax, f (x y)f (x) f(y), f(1) a 0 .(3)对数函数f (x)logaxf (xy)f(x) f(y), f(a) 1(a 0,a 1).(4)幂函数f (x)x , f (xy)f(x)f(y), f

40、9;(1) .(5)余弦函数 f (x)cosx , 正弦函数 g(x) sinx，f(xy) f(x)f (y) g(x)g(x)g(y) ，f (0)1,limx 0 x1.y几个常见的函数方程13( 约定 a>0)14 几个函数方程的周期1) f (x)f(xa)2)1f(x a)，则 f(x) 的周期 T=a；f (x) f (x a) 0f (x)( f(x) 0)，f(x a)f(x)(f(x) 0)第 页 共 20 页 2020-2-202 f(x) f 2(x) f(x a),( f(x) 0,1 ) f(x) 的周期 T=2a；(3)f (x)11 1( f (x)f(

41、x a)0) ，则 f (x) 的周期T=3a；(4)f (x1 x2) f (x1)f (x2)1 f(x1)f (x2)f(a) 的周期 T=4a；(5) f(x) f(x a) f(x 2a)f(x 3a) f(x 4a)1(f (x1) f (x2) 1,0 |x1 x2| 2a)，则 f (x)(3) loga M n nloga M(n R) .27 · 设 函 数 f(x) log m (ax 2 bx c)(a 0) , 记 2b2 4ac. 若 f (x) 的定义域为 R,则 a 0，且 0; 若 f (x) 的值域为 R, 则 a 0，且 0. 对于 a 0 的情

42、形 , 需要单独检验 .8·对数换底不等式及其推广1若 a 0 , b 0 , x 0 , x , 则 函 数ay log ax(bx)f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a),则 f(x) 的 周期 T=5a；(6) f (x a) f (x) f (x a) ， 则 f (x) 的 周 期 T=6a.六1·分数指数幂m(1) a n指数与对数m(2) a n1nma1a 0,m,nN ，且 n 1 ) .(1) 当ab时,在 (0, )和( ,)上ylog ax (bx)aa为增函数 .， (2) 当a1 b时, 在(0, )1 和(1,) 上 y

43、log ax (bx)aa为减函数 .推论:设nm 1 ， p0，a0 ，且 a1，则(1)logm p (np) logm n .(2)logamlogan loga2 m2 n9·平均增长率的问题m a 0,m,n anN ，且 n 1 ) .如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p ，则对于时间2·根式的性质(1) (n a)na.2)当n为奇数时， n an a；当为偶数时， n an|a|a,a 0a,a 0x 的总产值 y ，有 y N(1 p) .39. 数列的同项公式与前 n项的和的关系s1,n 1an1 ( 数列 an 的前 n 项的和 为sn sn

44、1,n 23·有理指数幂的运算性质(1)ar a(ar)s(ab)r若 a>0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数 述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 . 4·指数式与对数式的互化式 loga N bab5·对数的换底公式 logmN logma0).(2)(3)注：log a Nm 1, Nraars (a 0,r,s Q). arbr (a 0,b 0,r Q).s(a 0,r,s Q) .N (a 0,a 1,N( a 0, 且 a 1,0).推论 log am bnlogab( a 0,且a m0).1, m,n0,且 m 1

45、, n 1, N6·对数的四则运算法则若 a> 0，a1， M> 0，N>0，则(1)log a( MN ) loga M logaN;(2)Mloga logaM loga N;N七 数列1·等差数列的通项公式an a1 (n 1)ddna1d(n N*) ；其前n项和公式为n(a1 an)n(n1)snna1dn22上sna1 a2 Lan ).d n2 (a1 1d)n2 1 22·等比数列的通项公式 an a1qn 1 a1 qn(n N* ) ； q其前 n 项的和公式为sna1(11nq)q,q1或 sna1 anq1qna1,q 1

46、na1,q 13·等比差数列 an : an 1qan d,a1 b(q 0) 的通项公式为第 页 共 20 页 2020-2-20b (n 1)d,q 1anbqn (d b)qn 1 d,qcos(n )2q其前 n 项和公式为 nb n(n( 1)2 cosn1( 1) 2 sin1)d,(qn1qq11)4·和角与差角公式(n 为偶数 )sn (b 1dq)1q4·分期付款 (按揭贷款 ) 每次还款 x ab(1 nb)nx (1 b)n 1dqn,(q 1)元(贷款 a元,n次还清 ,每期利率为 b ).八 三角函数1·常见三角不等式1)若 x

47、 (0, )，则 sinx x tanx .2cos() cos cos msinsin) tantan .tan(1mtantansin()sin( )sin 22sin2 ( 平方正弦公式);cos()cos() cos22 sin .asinbcos = a2 b2 sin() ( 辅助角 所在象限由点(a,b) 的象限决定, tan b).sin( ) sin cos cos sin; (n 为奇数 )a22sinsincos1 ，tan，tan cotcos3·正弦、余弦的诱导公式(2) 若 x (0, ) ，则1 sin x cosx2 .2(3) |sin x| |co

48、sx| 1. 2·同角三角函数的基本关系式1.(n 为偶数 )sinsin5·半角正余切公式：tan,cot21 cos1 cos6·二倍角公式sin2 sincos2cos2 cos2 sin22cos112sin 22tantan2 2 .1 tan27·最简单的三角不等式及其解集(n1)2 sin)n1(1) 2 cosnsin(n2(n 为奇数 )sin xa(|a|1)x(2ksin xa(|a|1)x(2kcosxa(|a|1)x(2kcosxa(|a|1)x(2ktanxa(aR)x(ktanxa(aR)x(k2()(角的变形：2()()8

49、·三倍角公式arcsin a,2 karcsin a,2k arccos a,2 k arccos a,2 k,k arctan a), k2)arctana,k ),k2arcsin a), k Zarcsin a), k Z),k Z arccos a), k Z 9·三角函数的周期公式arccosa2sin33sin4sin 34sin sin( )sin(33函数 ysin( x)，x R及函数 y cos(x ) ，x R(A, ,为常数，且A0，2> 0) 的周期 T；函数y tan( x)，xk,k Z (A, ,2为常数，且 A 0，>0) 的周期 T10·正弦定理abc2R.ZsinCsin Asin B11 余弦定理cos34cos33cos4cos cos( )cos(3tan33tantan322ab2 2 2 ; c a b 12·面积定理