平面向量知识点总结

1、平面向量基础知识复习平面向量知识点小结一、向量的基本概念1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量， 注意向量和数量的区别 . 向量常用有向线段来表示 .注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移 .uuur举例 1 已知 A（1,2） ， B（4,2） ，则把向量 AB 按向量 ar （ 1,3） 平移后得到的向量是 . 结果： （3,0）r2. 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，规定：零向量的方向是任意的；uuur uuur AB3. 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与 AB 共线的单位向量是uAuBur ）；| AB |4. 相等向量

2、：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有r 传递性；r 5. 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 ar 、 b 叫做平行向量，记作： ar br ，规定： 零向量和任何向量平行 .注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是r 不同的两个概念： 两个向量平行包含两个向量共线， 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！ （因为有 r0） ；uuur uuur三点 A、B、C 共线 AB、AC 共线 .6. 相反向量 ：长度相等方向r 相反的向r 量叫做相反向量. ar 的相反向量记作ar .举例 2 如下列命题：（

3、1）若 |ar|br|，则ar br .（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 .uuur uuuur（ 3）若 AB DC ，则 ABCD 是平行四边形 .uuur uuur（ 4）若 ABCD 是平行四边形，则 AB DC .（ 5）若 ar b ， b rc ，则 ar cr .（6）若 ar/br， br/cr 则ar /cr .其中正确的是.结果：（4）（ 5）二、向量的表示方法 uuur1. 几何表示 ：用带箭头的有向线段表示，如uAuuBr ，注意起点在前，终点在后；r2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如 ar ， b ， cr 等；r r3. 坐标

4、表示 ：在平面内建立直角坐标系， r 以与r x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量ir , rj 为基底，则平面内的任一向量 ar 可表示为 ar xi yj （x,y） ，称（x, y）为向量 ar的坐标， ar （x,y） 叫 做向量 ar 的坐标表示 .结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 .三、平面向量的基本定理定理 设 er1,er2同一平面内的一组基底向量，ar 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对（ 1, 2），使 ar 1er1 2er2 .（1 ）定理核心： ar 1er1 2er2 ；（2 ）从左向右看，是对向量 ar 的分解，且表达式唯一；反之

5、，是对向量 ar 的合成 . （3）向量的正交分解：当 er1 ,er2 时，就说 ar 1er1 2 er2 为对向量 ar 的正交分解举例 3 （1）若 ar （1,1）， br （1, 1），cr （ 1,2） ，则 cr. 结果： 1ar 3br .22（ 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是Brrrrrrrr1 3A. e1（0,0） ， e2（1,2）B.e1（1,2） ， e2（5,7）C.e1（3,5） ， e2（6,10）D.e1 （2, 3） ， e2,24 uuur uuuruuurruuurruuurr r（3）已知 AD,BE 分别是 ABC 的边 BC，A

6、C 上的中线 ,且 ADar，BEb ,则BC 可用向量ar ,b表示为.结果：2ar 4br .33uuur uuur uuur uuur uuur（4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2DB ， CD rAB sAC ，则 r s 的值是 . 结果： 0.四、实数与向量的积实数 与向量 ar 的积是一个向量，记作ar ，它的长度和方向规定如下：（ 1）模： | ar | | | |ar |；（ 2）方向：当0 时， ar 的方向与 ar 的方向相同，当0 时， ar 的方向与 ar 的方向相平面向量基础知识复习反，当0时， ar 0 ，注意： ar 0.五、平面向量的数

7、量积r r uuur r uuur r1. 两个向量的夹角 ：对于非零向量 ar ，b，作OA ar ，OB b，则把 AOB （0 为向量 ar ，br 的夹角 .当0 时， ar ， b 同向；当时， ar ， b反向；当 2 时， ar ， br 垂直 .它们的夹角为 ，我们把数量 |ar |br |cos rr即 ar b |ar | |b |cos .规定：零向量与任一向量的数量积是 注：数量积是一个实数，不再是一个向量 .uuur uuur举例 4 （1） ABC 中， |AB| 3 ，|AC| 4 ，0.uuur uuur uuur|BC | 5 ，则 AB BC 结果： 9.2

8、. 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 ar ， 叫做 ar 与 br 的数量积（或内积或点积） ，记作： arr1 r 1 rrr rrr r r（ 2）已知 ar1,1， b0, 1， rcarkb ， darb ， cr 与 d 的夹角为，则 k . 结果： 1.2 2 4r r r （3）已知 |ar| 2， |b| 5， ar b 3，则|ar b| . 结果： 23 .（4）已知 ra,br是两个非零向量，且 |ar|br| |ar br|，则 ar 与ar br 的夹角为. 结果： 30o.3. 向量 br 在向量 ar上的投影： |br |cos ，它是一个实数，但不一定大于

9、 0.r r r r r r 12举例 5 已知|ar| 3，|b| 5，且ar b 12 ，则向量 ar 在向量 b 上的投影为 . 结果： 12 .54. ar br 的几何意义 ：数量积 ar br 等于 ar 的模 |ar|与br 在 ar 上的投影的积 .5. 向量数量r积的性质r ：设两个非零向量 ar ，br ， （ 1） ar b ar b 0 ；（ 2）当 ar 、 br 同向时， ar br |ar | |br | ，特别地， r r rar b |ar | |b|是 ar 、b同向的 充要分条件 ； 当 ar 、br 反向时， ar br|ar| |br |， ar br

10、|ar |当 为锐角时， ar brr 0 ，且 ar 、 brr 不同向， ar brr 当 为钝角时， ar br 0 ，且 ar 、 br 不反向； ar br （ 3）非零向量 ar ， b 夹角 的计算公式： cos其夹角为 ，则：ar2 ar ar |ar |2 |ar | ar2 ；|b | 是 ar 、 br 反向的 充要分条件 ； 0 是 为锐角的 必要不充分条件0是rra br|ar |br |为钝角的rbra必要不充分条件 | ar | br |.举例 6 （ 1）已知 ar （ ,2 ）br （3 ,2） ，如果 ar 与 br 的夹角为锐角，则的取值范围是 结果：0且

11、（2）已知OFQ 的面积为 S ，且OuuFur uFuQur 1，若 1 S 3 ，则uOuFur ， uFuQur 夹角 的取值范围是 . 结果： ,2 2 4 3（3）已知 ar （cosx,sin x） ， b （cosy,sin y） ，且满足 |kra br | 3|ar kbr | （其中 k 0 ）.用 k 表示 ar br ；求 ar br 的最小值，并求此时 ar 与rb的夹角 的大小.结果： ar br k 1（k 0） ；最小值为 1 ，4k 260o .六、向量的运算1. 几何运算（ 1）向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则 . r运算形式：若uAuuBrar

12、 ， uBuCurbr ，则向量uAuuCr 叫做 ar 与br的和，即 arbruAuBuruBuuCruAuCur ；作图：略 .注：平行四边形法则只适用于不共线的向量 .平面向量基础知识复习2)向量的减法运算法则：三角形法则 .uuur r uuur r运算形式：若 AB ar ， AC b ， 的终点 .作图：略 .注：减向量与被减向量的起点相同 .uuur uuur uuur举例 7 (1)化简： AB BC CDuuur r CB ； 0 ；uuur r( 2)若正方形 ABCD 的边长为 1， AB ar ，(3)若 O是ABC 所在平面内一点，且满足则 ar br uAuuBr

13、 uAuCur CuuAur ，即由减向量的终点指向被减向量4)若 D 为 ABC 的边 BC 的中点， ABCuuur uuur uuur AB AD DCuuur uuur uuur uuur ； (AB CD) (AC BD)uuur. 结果： AD ；uuur r uuur rrrrBC b ， AC c，则|ar b cr|. 结果：22uuur uuur uuuruuuruuurOB OC OBOC2OA ，则 ABC 的形状为 .结果：直角三角形；uuur所在平面内有一点Puuur，满足 PAuuur uuur rBP CP 0 ，设| AP | uuur，则的值为 .|PD |

14、结果： 120o .结果： 2；2. 坐标运算 ：设 ar (x1,y1)r，b(x2, y2 ) ，则(1)向量的加减法运算 ：rrab(x1 x2, y1y2 ) ，r a举例 8( 1)已知点 A(2,3) ， B(5,4)uuur uuur， C(7,10) ，若 AP ABuuurAC(R)，则当uuur uuur uuur r ( 5)若点 O 是 ABC 的外心，且 OA OB CO 0则 ABC 的内角 C 为x1 rbx2,y1 y2)._时，点 P 在第一、三象限的角平分线上 . 结果： 1 ；2uuur(2)已知 A(2,3) ， B(1,4) ，且 1AB (sin x

15、,cos y) ， x,y ( , )，则 x y . 结果： 或 ；2 2 2 6 2( 3)已知作用在点 A(1,1)的三个力uFur1(3,4) ，uFur2(2, 5) ，uFur3(3,1) ，则合力FuruFur1uFur2uFur3 的终点坐标是.结果：(9,1) .( 2)实数与向量的积 ： ar(x1,y1) ( x1, y1 ).(3)若 A( x1 , y1) ， B(x2,y2) ，则 AB (x2 x1, y2 y1 ) ，即一个向量的坐标等于表示这个向 量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 .uuur 1uuuruuur uuur 11举例 9 设 A(2,3) ，

16、B( 1,5) ，且 AC 1 AB ， AD 3AB ，则 C,D 的坐标分别是 . 结果： (1,11),( 7,9) .33( 4)平面向量数量积 ： ar br x1x2 y1y2 .举例 10 已知向量 ar (sin x,cos x) ， b (sin x,sin x) ， rc ( 1,0) .(1)若 x，求向量 ar 、 cr 的夹角；33 rr1 1(2)若 x 3, ，函数 f(x) arb的最大值为1，求 的值.结果：(1)150o；(2) 1或2 1.( 5)向量的模 ： ar 2 |ar |2 x2 y2|ar |x2 y2 .举例 11 已知 ar,br均为单位向

17、量，它们的夹角为 60o ，那么 |ar 3br| . 结果： 13 .6)两点间的距离 ：若 A(x1,y1) ，B(x2,y2)，则 |AB| (x2 x1)2 (y2 y1)2 .举例 12 如图，在平面斜坐标系 xOy中， xOy 60o ，平面上任一点 P 关于斜坐标系 的斜坐标是这样定义的：若 uOuuPr xre1 yer2，其中 re1,er2分别为与 x 轴、 y轴同方向的单 位向量，则 P 点斜坐标为 (x,y) .(1)若点 P 的斜坐标为 (2, 2) ，求 P 到 O的距离 |PO| ；( 2)求以 O 为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程 .结果：(

18、 1)2；(2) x2 y2 xy 1 0 .七、向量的运算律 r1. 交换律： ar br2. 结合律： ar br3. 分配律： (举例 13 给出下列命题：ra)rrc)rar(brc)rarb ra 若rb或r0ra，则00 ；若 ar平面向量基础知识复习ra 则 rb rcrbr2ra2) rb rarr其中正确的是 . 结果： .说明：( 1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除( 相约) ；(2)向量的“乘法”不满足结

19、合律，即 ar (br cr) (ar br) cr ，为什么？八、向量平行 ( 共线 ) 的充要条件r rr rr r 2 r r 2a/ba b(a b)2 (|a |b|)2举例 14 (1) 若向量 ar (x,1) ， br (4,x) ，当 x (2)已知 ar (1,1) ， b (4,x) ， ur ar 2b ， vr (3)设 uPuuAr (k,12) ， uPuBur (4,5) ， uPuCur (10,k) ，x1y2时，且则ky1x2 0.ar 与 br 共线且方向相同 .结果： 2.ur / /vr ，则 x . 结果： 4. _时， A,B,C 共线.结果：

20、2或 11.九、ar bar b0 |aruuuruuur特别地ABAC|AB | AC |向r量垂r直的r充要r 条件(3,m) ，x2x1 .|uurCuurrb|uuAuu2y13m 32 ；的坐标是uuurOB15 (1) 以原点 已知 nruuur uuur若 OA OB ，则 mO和A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，(a,b) 向量 nr mr ，且 |nr| |mr | ，则 mr 的坐标是十、线段的定比分点1.定义：设点 P是直线 P1P2上异于 P1 、P2的任意一点， 若存在一个实数 则实数 叫做点 P 分有向线段 uPu1uPu2r所成的比 点.2.举例2

21、)3)uuur 已知 OA( 1,2) ，结果：B 90 ，则点 B 结果： (b, a) 或 ( b,a).结果：(1,3) 或( 3，uuur 使 P1P1)；uuurPP2 ，uuuur，P 点叫做有向线段 uP1uuPur2的以定比为 的定比分P 的位置之间的关系uuuurP1P2 ，即点 P 在线段 P1P2上0；uPu1uPur2 时，点 P 在线段 P1P2 的延长线上 0.的符号与分点(1) P内分线段(2)P 外分线段 向延长线上 1注：若点P分有向线段 uPu1Puur2所成的比为 ，则点 P分有向线段1，点 P在线段 P1P2 的反uuuurP2P1所成的比为 1 .举例

22、 16 若点 P 分 uAuuBr 所成的比为 3 ，则 A 分 uBuPur 所成的比为43. 线段的定比分点坐标公式 ：结果：设 P1(x1,y1)uuuurP2(x2,y2)，点 P(x,y)分有向线段 P1P2所成的比为，则定比分点坐标公式为x1x2x,y1 y (y1y2y.11).x1 x2 ,2, y1 y2 .2说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y) ，(x1,y1) 、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标(2)举例特别地，当x1时，就得到线段 P1P2 的中点坐标公式y在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对

23、应的定比 的坐标为 .uuuur17 (1)若 M ( 3, 2) ， N(6, 1) ，且 MP1 uuuur13MN ，则点结果：2)1已知 A(a,0) ， B(3,2 a) ，直线 y ax 与线段 AB 交于 Muuuur uuur r 且 AM 2MB ，则 a7( 6, 73) ；结果：或 4.平面向量基础知识复习一、平移公式如果点 P(x,y)按向量 ar (h,k)平移至 P(x ,y )，则 x x yh,；曲线 f(x,y) 0按向量 ar (h,k) y k.平移得曲线 f (x h,y k) 0.说明：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有

24、坐标不变性，可别忘了啊！举例 18 ( 1)按向量 ar 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ，则按向量 ar 把点 ( 7,2) 平移到点 . 结果：(2)函数 y sin 2x的图象按向量 ar 平移后，所得函数的解析式是 y cos2x 1，则 ar .( 8,3) ；结果： (,1) .42. 模的性质：|a| |b|ab|a| |b|.( 1)右边等号成立条件：ar、brr r r 同向或 ar 、b 中有 0|arr b|ar |r|b( 2)左边等号成立条件：ar、brr r r 反向或 a、b 中有 0|arr b|ar |r|b(3)当 ar、br 不共线|ar|r |brr| |ar b| |ar | |