平面向量知识归纳和题型总结

1、平面向量章节分析 :向量是近代数学中重要和基本的概念之一 , 具有代数形式和几何 形式的“双重身份”, 能融数形于一体 , 是沟通代数与几何的天然桥梁， 能 与中学数学内容的许多主干知识相结合 , 形成知识交汇点 . 向量是沟 通代数、几何和三角函数的一种工具 , 有着极其丰富的实际背景 , 在数 学和物理学科中有重要应用 .向量有深刻的几何背景 ,是解决几何问题的有力工具 , 向量概念 引入后 , 许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系 , 例如平 行、垂直、夹角、距离 等 .对本章的学习要立足基础 , 强化运算 , 重视运用 ,能根据向量的概 念、定理、法则、公式对向量进行运算 ,

2、并能运用向量知识解决平面 几何中的一些证明和计算问题 .平面向量的概念、几何运算和基本定理1. 向量的相关概念2. 向量的线性运算3. 向量的共r线定理 r r r 非零向量 ar 与向量 br 共线,当且仅当存在唯一一个实数, 使brar 。uuur uuur uuur uuur 延伸结论 : A,B,C 三点共线 AB/ AC 当且仅当有唯一R, 使 AB AC4. 平面向量的基本定理ur uur r 如果 e1,e2 是一个平面内两个不共线向量, 那么对这平面内的任一向量 a , 有且只有一对实ruruurur uur数 1,2使: a 1e12e2 ,其中不共线的向量 e1,e2 叫做

3、表示这一平面内所有向量的一组基底 .ur uurr uruur r ur uur练习 : (1)已知 e1,e2 是平面向量的一组基底, ax1e1y1e2,bx2e1y2e2 ,若 ab当且仅当x1x2 且y1y2. 若 a0, 则x1x20.uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (2)如图 OA,OB为单位向量， |OC | 2 3，其中 OA,OB的夹角为 120o，OA,OC 的夹 uuur uuur uuur角为 30o。若 OC OB OA ，求 , 的值。uuuur uuur uuur 5.一个常用结论 : ABC 中, M 为边 BC的中点 ,

4、则有: 2AM AB AC .uuur r uuur r r r uuur 练习:设 ABC的重心为点 G, 设 AB a,AC b.试用 a,b表示 AG . 典型例题分析 : 知识点一 : 基本概念 例 1.ur uur1. 如果 e1,e2 是平面 内两个不共线向量 , 那么下列各说法错误的有 ( ) ur 1 uur2 e1 e2 ( , R ) 可以表示平面 内的所有向量 ; 平面 内的所有向量都可以表示成 ur uure1 e2 ( , R ) 。r ur uur 对于平面 中的任一向量 a使 a e1 e2 的 , 有无数多对 ;ur uur ur uur 若向量 1e1 1e2

5、 与 2e1 2e2 共线 ,则有且只有一个k R, 2e1若实数 ,uur ur2e2 k( 1e1 ur uur 使 e1e2uurr 1e2)0r , 则0.A. B. C. D. 练习 :1) 判断下列命题的真假(1)向量 AB与向量 CD为共线向量 ,则A,B,C, D四点共线 .(2) 若 AB CD 则四边形 ABCD 为平行四边形 . r r r r r r(3) 若向量 ab, bPc则a Pc .(4) a , b是两个向量 ,则|ar br| |ar| |br|当且仅当 a, b不共线时成立A. P在ABC内部 B. P在ABC 外部 C. P在 AB边所在直线上 uuu

6、r (2)设M 是平行四边形 ABCD的对角线的交点 , O为任意一点 ,则OA OB OC OD= uuuur uuuur uuuurA.OMB.2OMC.3OM知识点三 : 平面向量基本定理和共线定理 ur uur r 例)已知 e1,e2 为不共线向量 , aur u1ur 2 2) 设 e1 , e2 是两个不共线的向量 A, B, D三点共线 ,求k 的值. 例 2. 证明 : 平面内三点 A,B,C 共线 uuur uuur uuur 使 OA mOB nOC, 且 m n 1.uuuurD.4 OMDu.uurP在uu线ur段uuBurC上练习: 证明: 平面内三点 uuur u

7、uur uuur 使 lOA mOB nOCur3e1, 已知uur r 2e2,b uuur ur AB 2e1ur uur r ur 2e1 e2, c 7e1 uur uuur ur ke2 , CB 2e1uur r r r4e2用 a,b表示 c.uur 2uuuurur uur3e2 , CD 2e1 e2 若A,B,C 共线0,且 l m存在两个均不为 0 的实数m,n,存在三个均不为 0的实数 l,m,n,0.知识点二 : 向量的线性运算例1. 化简 :uuuruuuruuuruuuruuur uuuruuuuruuuruuurOCuuuruuur(1)ABBCCA;(2)(A

8、BMB) BOOM ;(3)OABOCO;uuuruuuruuuruuuruuur uuuruuuruuuruuuruuur(4)ABACBDCD;(5)OA ODAD ;(6)ABADDC ;uuuruuuruuuuruuur(7)NQQPMNMPuuuruuuuruuur例 2. 如图, 四边形 ABCD ,E,F 分别为 AD, BC 的中点求证 :ABDC2EFuuur uuur uuur uuur练习: (1)已知ABC三个顶点 A, B, C及平面内一点 P,若PA PB PC AB,则 ( )向量数量积及坐标运算一、基本知识回顾 :r r r r1、已知向量 a, b,其中 a

9、( x1, y1 ), b (x2,y2): 向量的坐标表示 , 实际是向量的代数表示 . 在引入向量的坐标表示后 ,即可使向量运算完全代数化 , 将数与形紧密地结合了起来向量几何表示或运算向量运算与关系向量坐标表示或运算平行四边形法则或三角形法则向量加减法rra b (x1 x2,y1 y2)r实数 与向r 量 a 的积是一个向 量 , 记作 a实数与向量的积ra (x1,y1) ( x1, x2)r r r r r r a b a b cos a,b数量积 ar brrra b x1x2 y1y2存在唯一的实数 ，使 ar br rr( b 0)向量 a/ b(br r 0r)rx1 y1

10、x1y2 x2 y1x2 y2rr a b 0rr 向量 a bx1x2 y1 y2 0rr2 r 2 r2aa( aa )向量的模 arrr 2 2 ax1y1r rar brcos a,br rab向量夹角 <a，b>r rx1x2 y1 y2cos a,b2 2 2 2 x1y1 x2 y2uuur uuurAB/ BC AB BCA,B,C 三点共线uuur uuur uuurOA xOB yOC,且 x y 1练习: 判断下列命题的真假 1)若向量1、)若a/b, b/c,则a/c.23) (ab)b05) a)6已知 a2、x3、cab,则uuur与 AB 平行的单位向

11、量是(x,3) .若 a/b, 则 x ; uuur3), 则与 AB 同向的单位向量是 r uuur r若a(b c), 4(4,2),brr ab2 crar r 则2 rr(a r 0 a 0,0 a4、5、6、7) A.C.已知 A( 4,1), B(7,A( 1,5)和向量 a (2,3) ,若AB 3a,则点 B的坐标为r r r r r(5, 5),b ( 6, 3) , c (1,8) ,若 a mb nc ,求实数 m,n. (1,0),br (2,1) ,则| ra 3br |下列各组向量中 , 可以作为平面基底的是( ur uur ur e1 ur e1已知点已知 a已知

12、 a(0,0), e2 uur(2, 5),e2( 2,1)( 6,4)8)已知 a/ b, a3,b)(6,9)13(12, 34)4,则a在b 方向上的投影为uurB. e1 (4,6), e2 ur uurD. e1 (2, 3),e2二、典型例题讲解r r 34, a与b的夹角为 , 求:r r r4 r r r1) a在b方向上的投影 ( 2) (3ar 2br) (ar 2br)(3) ra br例 1:1 )已知 a3,b2)4、在直角 ABC中, CD是斜边 AB上的高,则下列等式不成立的是( uuur 2 uuurA. |AC |2 AC uuur 2 uuurC.|AB |

13、2 ACuuurABuuurCDuuur 2B.|BC |2uuur 2|CD|2D.3)已知向量 e1,e2 夹角为 锐角，求 t 的范围。rr练习:1 )已知向量 a, b满足60e1uuur uuurBA BCuuur uuur uuur uuur(AC AB)(BA BC)uuur 2|AB|21,a2, e22e1 7e2,b e1 te2若a与b 的夹角为r r r r r1,b 2, a b 2,则 a b120o,求边 AC 的长度 uuur 例 2: 1 )已知 A(2,3), B(4, 3),点 P在线段 AB的延长线上 ,且 |AP|2)在 ABC 中，已知 AB8,BC

14、 7, ABC3 uuur|PB|,求点 P的2坐标(若点 P在直线 AB 上)2)在 ABC中,点P在BC上,且BP 2PC,点Q是 AC的中点,若PA (4,3), PQ (1,5) ,则 BC11例 3: 已知向量 m (a sin , ) , n ( ,cos ) .222）当2 ,且 m n时,求 sin2 的值;2）当解: （）0,且m n时,求 tan 的值.sin , 12)a 2时, m ( 222n,由m n 0,得 sincos3分上式两边平方得1 sin 2因此 , sin26分）当 a 0 时,sin, 1),由m n得sin cos即 sin2sin22tan21

15、tan2tan2 3 或 2 3.12分21）当 a b时,求 x的集合 ;b| 的最小值b 的最小值是 3 , 求实数 的值 .2 r r r ra,b是不共线的两 非零向量,若|ar| |br|,且 ar,br 夹角为60o,求t为何值 时 , |a tb |的值最小 .4）求函数 ya b 2 |a5)若 f x练习:1）设33xx例 4、 已知向量 a (cos x,sin x),b (cos , sin ). 且 x 0, 22222r rrr2)求 a b ; 3 )求函数 y a b 4|a b |的最小值r 3 3 r x x2）已知向量 a =（cos x,sin x）, b

16、 = （cos , sin ）且 x , .2 2 2 2 3 4r r r r（1）求 a · b及| a+b |;r r r r（2） 若 f（x） = a·b-| a+b|, 求 f（x） 的最大值和最小值 .向量与三角形平面向量的应用十分广泛 . 由于三角形中的有关线段可以视为向量, 线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示 , 这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提 供了条件 ,在这类问题中 ,往往要涉及到向量的和差运算、 数乘运算、 数量积运算以及向量的 共线、垂直、向量的模等性质 , 因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强 .三角形之心一、外心.

17、三角形外接圆的圆心 , 简称外心 . 是三角形三边中垂线的交点 . （下左图）二、重心 三角形三条中线的交点 , 叫做三角形的重心 . 掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. （上右图）三、垂心三角形三条高的交点 ,称为三角形的垂心 . （下左图）四、内心 三角形内切圆的圆心 , 简称为内心 . 是三角形三内角平分线的交点 . 三角形内角平分线性质定理 : 三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应 成比例 . （上右图）知识点一、三角形形状与向量1、已知向量 OP1,OP2,OP3 满足条件 OP1 OP2 OP3 0,且|OP1| OP2 | |OP3 | 1, 求证

18、P1P2P3是正三角形2、 则O 是 ABC 所在平面上的一点 ABC是 三角形 ., 若 (OB OC) (OB OC 2OA)0,3、uuuvABuuuvuAuCuuv)uuuv uuuv uuvu AB已知非零向量 AB,AC 和 BC 满足 ( uAuBuuv|AB | |AC |uuuvBCuuuv BC uuuuv4、ABC 为 .若 O 为 ABC 所在平面内一点 , 且满足OB OCOB为A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C.等腰三角形D.AB5、已知非零向量 AB 与 AC 满足 （ AB |AB |AC ) BC |AC |uuuvAC0 且 uuuuv|AC| |B

19、C|OC 2OA,则等边三角形0 且 AB| AB |AC|AC |22,则2ABC 的形状1, 则ABC2为（）A.三边均不相等的三角形 思路分析 :B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形1. 根据四个选择支的特点 : 本题可采用验证法来处理 题意,则可同时排除其他三个选择支 , 故选 D., 不妨先验证等边三角形 , 刚好适合AB AC2. 由于所在直线穿过 ABC的内心 ,则由( ABAC ) BC| AB | | AC | AB | AC |知, AB AC（等腰三角形的三线合一AB定理） ; 又 ABAC11 , 所以 A|AB| AC |2为等边三角形 , 故选

20、 D.知识点二、三角形的“心”与向量0, 即 ABC3重心在 ABC 中 ,AD 为 BC 边 上 的 中 线 , 根 据 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 , 可 得 AB AC 2AD .这说明 AB AC 所在的直线过 BC的中点 D, 从而一定通过 ABC的 重 心 . 另 外 , G 为 ABC 的 重 心 的 充 要 条 件 是 GA GB GC 0 或 1OG 3（OA OB OC）,（其中 O为 ABC所在平面内任意一点） , 这也是两个常用的 3结论 .例 1. 已知 A,B,C 是 平 面上 不 共线 的 三点 , O 是 ABC 的 外 心, 动 点 P 满

21、 足uuur 1 uuur uuur uuuruOuPur 13(1 )uOuAur (1 )OuuBur (1 2 )OuuCur)(R), 则 P的轨迹一定通过ABC的( )A. 内心 B.垂心C.外心D.重心思路分析 : 取 AB边的中点13uu（u1ruuurOCuuur 由 OPuuur3OPMPuuuur2OM12M,则 OA uuur )OAuuur(OCOB 2OM ,uuur)OB (1 2uuuur(1uuuurOM ) 3OM (1 2uuur)OC)(R) 可得uuuur)MC , 所以垂心MC (R） ,即点 P 的轨迹为三角形中AB边上的中线 , 故选 D.在 AB

22、C 中 ,AB 由向量的数量积公式 , 可得 （AC) BC 0 , 这说明| AB |cosB | AC | cosCABAC| AB| cosB 心.所在直线是 BC边上的高所在直线 , 从而它一定通过 ABC的垂 | AC |cosCuuur例: 若动点 P 满足 OPuuurOA( uuurABuuurAC ),| AB | cos B |AC|cosCABC 的（） A、外心例 2. 点 O 是 ABC 所在平面内的一点B 、内u心uur uuur Cuu、ur 垂uu心ur , 满足 OA OB OB OCABC 的 （ ）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点uuuruuur0, 则点 P 轨迹一定通过OuuCur OuDuAu、r ,重则心点 O是uuur uuur 思路分析 : 由 OA OB OB AC .同理 OC 练习 : 点 O 是 ABC 所在平面内的一点2 |AC |2B.2 2 2 |OC |2 | AB|2 |OB|2 A.三个内角的角平分线的交点 C.三条中线的交点D.内心uuur uuurOB OC , 得OB （OA OC） OB CA 0, 所以 OB A