常见递推数列通项的九种求解方法

1、常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一： an 1解决方法累加法anf (n) （ fn 可以求和）例 1、在数列an中，已知 a1 =1，当 n2 时，有 an an 1 2n 1 n2 ，求数列的通项公式。解析： Q anan 12n1(n 2)a2a11a3a23a4a35上述 n 1个等式相加可得：Manan 12n1 ana1n21ann2评注：一般情况下，累加法里只有n-1 个等式相加。

2、【类型一专项练习题】1、已知 a11， anan1n （ n2），求 an 。2、已知数列a ， a1 =2， an1= an +3n+2，求 an 。n3、已知数列 an 满足 an1an2n1，a11，求数列 a n 的通项公式。4、已知 an中， a3,an 1an2n ，求an。111n5、已知 a1, an 1an(nN*),求数列a n 通项公式 .226、 已知数列an 满足 a11, an3n1an1 n2, 求通项公式 an ？7、若数列的递推公式为a13, an1an23n1 (nN * ) ，则求这个数列的通项公式8、 已知数列 an 满足 an 1an23n1， a13

3、 ，求数列 a n 的通项公式。9、已知数列an 满足 a11an1，求 an 。， an 1n2n210、数列 an中， a12 ， an1ancn （ c 是常数， n 1，2，3，L ），且 a1， a2， a3 成公比不为 1的等比数列（ I ）求 c 的值；（II ）求a的通项公式n11、设平面内有n 条直线(n 3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f (n) 表示这 n 条直线交点的个数，则f (4)；当 n 4时， f (n)（用 n 表示）n1答案 :1.ann(n1）2.ann(3n1)3. ann214.an2n1 5. an3122226.an

4、3n17.an12 3n 18.an3nn 1 9.an3110.(1)2 (2)ann2n 222n11.(1)5 (2)n2n22类型二： anf (n)an（ f (n) 可以求积）解决方法累积法1例 1、在数列 a中，已知 a11, 有 na1n 1 a ， ( n2)求数列a的通项公式。nnnn解析： ananan1an2 La3a2a1an 1 an 2 an 3a2 a1nnn1 n2L32 12n1n143n1又 Q a1 也满足上式；ann2(nN * )1评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。【类型二专项练习题】1、 已知 a11， ann 1 an 1 ( n2

5、) ，求 an 。n12、已知数列3、已知 an 4、已知 a1an 满足 a12 ， an 1n an ，求 an 。3n1中， ann，且 a12 ，求数列 an 的通项公式 .1ann23 ， an 13n1 an (n 1) ，求 an 。3n25、已知 a11, an n( an 1an )(n N * ) , 求数列a n通项公式 .6、已知数列an满足 a11, an 12n an ，求通项公式 an ？7、已知数列 a 满足 an 12( n1)5 na ， a3 ，求数列 a 的通项公式。nn1n8、已知数列 an ，满足 a1=1， ana12a23a3(n1)an 1(

6、n 2) ，则 an 的通项9、设 a 是首项为 1 的正项数列 ,且 ( n+ 1)21 -2+a · a= 0( n = 1, 2, 3, ) ，求它的通项公式 .a nnannn+1n10、数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a11， Sn n 2 an (nN *) ，求数列 a n 的通项公式 .2246n2 n答案： 1.an2.an3.an4.an5.ann 6. a 2 2n2n3nnn13n1n2n 1n2n1n1127. a3 n!5 28.ann!9.a10.an2nn2nnnn2解决方法类型三： an 1AanB(其中 A,B为常数 A0,1 ）待定常数

7、法可将其转化为 an1tA(ant) ，其中 tB，则数列an t为公比等于 A 的等比数列， 然后求 an 即A1可。例 1在数列an中， a11，当 n2 时，有 an3an 12 ，求数列an 的通项公式。解析：设 ant3 an1t，则 an3an 1 2tt1 ，于是 an13 an1 1an1 是以 a112 为首项，以3 为公比的等比数列。an2 3n 11【类型三专项练习题】1、 在数列 an 中， a11， an 12an3 ，求数列an的通项公式。2、若数列的递推公式为a11,an 12an2( nN * ) ，则求这个数列的通项公式3、已知数列 a n 中， a1 =1，

8、 a n =1 a n 1 + 1 (n2)求通项 a n 21 an14、在数列 an ( 不是常数数列 ) 中 ,an12 且 a1, 求数列 an 的通项公式 .235、在数列 an 中， a11, an 13an1, 求 an .6、已知数列an满足 a11,an12an1(nN * ). 求数列 an的通项公式 .7、设二次方程an x 2 - an1. x+1=0(n N)有两根和，且满足6 -2 +6 =3(1) 试用 an 表示 a n 1 ；（ 2）求证：数列an2是等比数列；3（ 3）当 a7a的通项公式时，求数列n168、在数列 a中，Sn为其前n项和，若a13 ，2，并

9、且 S3S2S1 0( n 2) ，试判断 an 1 (n N )na2n 1nn 12是不是等比数列？答案： 1.an3n2 2.an22n13.an221n4.an4 1121n5.an1 3n 1321 an121n6. an2n1 7.(1)an1(3)an8.是2332类型四： Aan1BanCan 10；其中 A,B,C为常数，且 A B C0可将其转化为 A anananan 1n 2 -AB1（ * ）的形式， 列出方程组,解出,;C还原到（ *）式，则数列an1an是以 a2a1 为首项，为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可A以求出 an 。例 1在数列an 中， a1

10、2 ， a24 ，且 an13an2an1 n2 求数列an的通项公式。解析：令 an 1an(anan1),( n2)得方程组3解得1,2;2an 1an2 anan 1n 2则数列a1a是以 a2a1 为首项，以2 为公比的等比数列nnan 1an2 2n 12na2a12a3a2222(12n 1 )a4a323ana12n2 ann*122 n NManan12n 1评注：在 Aa1BaCan 10；其中 A,B,C 为常数，且 A B C0 中，若nnA+B+C=0,则一定可以构造an 1an 为等比数列。例 2已知 a12 、 a23 , an 16an 1an (n2) , 求

11、an解析：令 an 1ananan1n2 ，整理得 an 1anan 113,26an 13an a23a12n 19 2n1 ；两边同除以2n 1 得， an 13 an9，2n 12 2n4令 anbn ， bn 13 bn9 令 bn 1t3bnt，得 bn 13 bn5 t2n242225 t9 , t9bn 193 bn9，241010210故 bn9是以 b19a191 为首项，3 为公比的等比数列。101021010291n1913n 1b3， bn10102n10102an91n191即3nn 1n10102，得 an253210【类型四专项练习题】1、已知数列an中， a11

12、 , a22 ,an22 an 11 an ，求 an 。335， an25an 1 -22、 已知 a =1， a =an , 求数列 an 的通项公式 an .123333、已知数列an中， Sn 是其前 n 项和，并且 Sn 14an2(n 1,2,L ), a11 ，设数列 bnan12an (n1,2,) ，求证：数列bn是等比数列；设数列 cnan, (n 1,2,) ，求证：数列cn是等差数列；2n求数列an的通项公式及前n 项和。 an2n 13(n1)2n 2 ; sn （3n1) 2n24、数列 an： 3an 25an12an 0(n1,nN ) ，a1a,a2b ，求数

13、列 an的通项公式。31n 13 3 2答案： 1.an112. an4332n 14. an3b2a3(ab)3n3.(3)an2n 13(n1) 2n 2 ; sn （3n1) 2n2类型五： an 1panf ( n)（ p0 且 p1）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例 1 设在数列a中，a11， a1 a2n 1n2 求数列 a的通项公式。nn2 n1n解析： 设 bnanAnbanAn B1an 1A n 1 B2A20A42展开后比较得ABB60212这时 b1 bn2 且 b a 4n 6n2 n 1nnbn 是以 3 为首项，以1 为公比的等比数列21

14、n 11n 11n 1bn3即 3an4n 6 ，an34n 6222例 2在数列 a中， a2 ， a2a12n1n2 求数列a的通项公式。n1nnn解析： Q a2a12n1 n2nnan2an1n 1n得anan 1an是以a1=1为首项， 2 为公差的等差数列。2，两边同除以22n2n122n2an1 n 1 2 2n 1即 an2n 2n 12n2n*例 3在数列 an中， a15 ， an2an 11n2, nN 求数列an 的通项公式。解析 ：在 an2an 12n1 中，先取掉2n ，得 an2an11令 an2 an1，得1，即 an12(an11) ；然后再加上2n 得 a

15、n12 an112n；an12 an 1 12n两边同除以2nan 1 an 111;an 1是以a112 为首项， 1 为公差的等差数列。，得2n 12n22nan12 n 1 n 1，an2n n 1 12n评注：若f (n) 中含有常数，则先待定常数。然后加上n 的其它式子，再构造或待定。例 4已知数列 a n 满足 a n13a n52n4， a11，求数列 an 的通项公式。解析：在 an 13an5 2n4中取掉 52n 待定令 an1t3 ant，则 an 13an2t2t4，t2 ； an123 an 2 , 再加上 5 2n 得，an23 an2nan 123an2515 2

16、，整理得：2n 122n，2令 an2bn ，则 bn 13 bn52n22令 bn 1t3 bnt , bn 13 bnt ；t5 ,t 5;22222即 bn 153 bn5 ；数列 b5 是以 b15a1 25 13为首项，3 为公比的等比数列。2n222n 1n1bn5133，即 an25133；整理得 an13 3n 1 52n2222n22类型 5 专项练习题：1、设数列an的前 n 项和 Sn4 an1 2n12 n1,nN * ，求数列an的通项公式。3332、已知数列an中， a11 , 点 n,2 an 1an在直线 yx 上，其中 n1,2,3 L L .2（ 1）令 b

17、nan 1an1,求证：数列bn是等比数列；（ 2）求数列an的通项 ；3、已知 a12 ， an 14an2n 1 ，求 an 。4、设数列an： a14, an3an 12n1, (n2) ，求 an .5、已知数列 a n 满足 a12, an 12an(2n1) ，求通项 an6、在数列 an 中， a13 ， 2anan16n3 ，求通项公式 an 。27、已知数列an 中， a15, an11 an( 1 ) n 1 ，求 an 。6328、已知数列 a n ， a 1 =1, n N，a n1 = 2a n 3 n, 求通项公式 an 9、已知数列 an 满足 an 13a n2

18、 3n1， a13 ，求数列 an 的通项公式。10、若数列的递推公式为a11,an 13an2 3n 1 (nN ) ，则求这个数列的通项公式11、已知数列a 满足 a1 1,an 13an 2n 1, 求 an .n12、已知数列 an 满足 a n 12a n3 2n ， a12 ，求数列 an 的通项公式。13、已知数列 an 满足 an 1 2a n3 5n ， a1 6 ，求数列 a n 的通项公式。14、已知 a11， anan 12n 1 ，求 an 。15、已知 an 中， a11， an2an 1 2n (n 2) ，求 an .16、已知数列an 中， Sn 是其前n 项

19、和，并且 Sn 1 4an 2(n 1,2,L ), a11，设数列 bnan12an (n1,2,) ，求证：数列bn 是等比数列；设数列 cnan, (n1,2,) ，求证：数列 cn是等差数列；2n求数列an的通项公式及前n 项和。答案： 1.an4n2n2.(2)a3n2 3.an4n2n4.an4 3n 1n 1n2n92 2n5) 3n15. an5 2n 12n 1 6.an7.an8.an3n2n 9.an(2 n2n36210.a3n ( 72n)11.an5 3n 12n 112.an(3n 1)2n 113.an5n2n 1n314.an2n115.an2nn116.(3

20、)an2n 13(n1) 2n 2 ; sn（3n1) 2n232类型六： anc an（ c pd0 ）解决方法倒数法1pand例 1已知 a1 4 ， an 12 an，求 an 。2an1解析：两边取倒数得：111，设1bn , 则 bn 11 bn1 ；an 1 2anan2令 bn 1t1 (bnt ) ；展开后得，t2 ；bn 121 ；2bn22bn2 是以 b12127为首项，1 为公比的等比数列。a142n1n 12n 1bn27 1；即 127 1，得 an；42an422n 27评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。【类型六专项练习题】 ：1、若数列的递推公式为a

21、13,112( n￥) ，则求这个数列的通项公式。an 1an2、已知数列 an 满足 a11, n2 时， an 1an2an1an ，求通项公式 an 。3、已知数列 an满足： anan1, a11，求数列 an的通项公式。3 an114、设数列 an 满足 a1an, 求 an .2, an 1an33an5、已知数列 an 满足 a1=1， an 1，求 an3an66、在数列 an 中， a12, an 13an，求数列 an 的通项公式 .an37、若数列 a n 中， a1 =1， a n 1 =2ann N，求通项 a n an2答案： 1.an32.an13.an14.an25.an12n 12 3n 1 12n 167 6n23n 26. an7.an2n 1n1类型七： Snf (an )解决方法ans1(n1)snsn 1(n2)例 1已知数列an前 n 项和 Sn4an12