第二章分离变量法22,23

1、§ 2.2有限杆上的热传导定解问题：一均匀细杆，长为I，两端坐标为x 0, x l。杆的侧面绝热，且在端点x 0处温度为零，而在x I处杆的热量自由发散到周围温度为 0的介质中初始温度为(x)，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题：2u 2 u c a 20,tx0x I, t 0,uxo0, xhluxl0, t 0,uto(X)，0xI.仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§ 2.1交点的横坐标，显然他们有无穷多中步骤，设u(x,t) X(x)T(t)，代入上面的方程可得X (x)T (x)2X(x)a2T(x)T'(t)2a2T(t

2、) 0,X”(x)2X(x) 0.从而可得通解X(x)A cosx Bsin x由边界条件知X(0)0,X'(I)hX(I) 0.从而A 0,cos Ihsin 10 tan 1h令I,1 hltan上方程的解可以看作曲线y!tan ，y2个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根于是得到特征值问题的无穷个特征值2 nnT2,(n 1,2,3.)及相应的特征函数Xn(X)Bn sin nX再由方程T'(t)2a2T(t) 0，可得人Anefa2t从而我们得到满足边界条件的一组特解Un(X,t)Cneat sin nx由于方程和边界条件是齐次的，所以u(x,t)Cne1

3、2 2. na t .sin nx仍满足此方程和边界条件。下面研究一下其是否满足初始条件。Cn sinn 1nX (X)可以证明sin nX在区域0,1上具有正交性，即lsin0nxsin mxdx 0, m n证明:lsin nxsinmXdXl2 0切n sin( n m)l 2( n m) (n m)sin(m)x COS( nm)x)dxSi n(n m)l2(nm)l( nm)S"( nm)l2( nm)( nm)m Sin nl COS mln COSSml °n m)( n m)完成。Ln于是,CnlsinnXSin nXdX,1Ln(x)s in nxdx从

4、而得到定解问题得解U(X,t)Cne2a2t1 I(x)sinL 0nsin nX,nxdx§ 2.3圆域内的二维Laplace方程的定解问题平面极坐标（，）和直角坐标（x, y）的关系是cos由此可得xcos即是由复合函数求导法则，可得进一步，可得dx2cos dxysin ,sin dy,也dxcos .dycos ,xsill <；>sincoscossinsincos,d 呂 in <i) d COS G dr2 sin eos d 护 1-t dvd(b2 sin 0 cos q dI COSQ r I dr+ 沁 2+.r drr2 8©&qu

5、ot;( d cos (b c? /. i) co5 0 d卜山咕:+而八迎爭乔+2 护 2 sill d COfi d c?2 sin 唏 +7_乔丽+cos c) 2si)j cos< Qr drr2r 死)ain3 cP2丄一（一）丄二在此基础上，还可以得到柱坐标系下的Laplace算符V2三a2 1 9-+ 1-dr2 r dr1护4= Fr2 3莎21字I:二Ir2 9(p2 dz2球坐标（厂趴0）和总角坐标匕加計的关系是由此可以解出因此护dz2d2t = r sin 9 cos 氣 y = r sin 9 sincbTz = r co®.cos(/>dr +

6、sin 9 sin <di/ + cos&d®思in & .sin0 tdp dzsin 9cos 0 cos(z> * <1j? +rsin (b , cos 6 .山"I匚®r sin 0 r sm Hadrddidr f)d d<2> d:k 1dx dr dx 朋<?(>* c . B ©os。cosG 8 sind d sin v cos ® +0rdr <) d9 dBy dr + dy BQsin 0 sin(? +urdr d 89 ddzdr +页丽a d nin

7、0 dC°/乔丁丽r 99 r sin 0 30'&A d+ dycos 0 sin <b B cos <b c/+.r 00 j' sin 9 do It后就得到球舉标系下的Laplace算符_ a2 2d 1 序2 cos I? aV 三+ 4+_dr2 r dr r2 dff2 r2 sin 0 d9 r2 sin2 9 0<P r2 dr Or) r2 sin 0 DB Vin 00 J + r2 sin2 0 ih*考虑圆域内的稳定问题:2u 0, x2 2y20 ,u2 2 2x y 0f.其在极坐标下的表示形式：1 (u)12u

8、2 20,0,02u( 0,)f(),02 .因圆域内温度不可能为无限，尤其是在圆盘中心点的温度应该有限，并且(,)和(，2 )表示同一点，故而我们有下约束u(0, )|,u( , ) u( ,2 ).下面用分离变量法求解该问题。令u( , ) R()().代入极坐标下方程可得：'' 1 '' 1 'R( ) ( ) R( ) ( ) -R( )()0,2R( ) R()()R()()从而可得常微分方程2r"R' R 0,R()()0.由有限性及周期边界条件知()(2)，|R(0)|从而得定解问题II()()0,()(2 ).求解：0时

9、，通解为()Ae'Be厂由周期边界条件可得A 0,B0.从而()0,不可取。0时，通解为()A B由周期边界条件可得A 0, B任意，说明 0为一特征值，相应得特征函数为()1。0时，通解为()Acos . Bsin .因以2为周期，所以有 n2,从而可得特征值1,2,3,特征函数为n( )An COSnBn sin n ,接下来，求特解，并叠加出一般解。由Euler方程2rd (乎)R 0. d若令In，则上方程可写为d2Rdt20.故0时，通解R0C0d°tC0d° Inn2时，通解为RnCnentntdneCnnndn为保证| R(0) |，所以可得dn0,

10、n0,1,2,，即RnnCn, n0,1,2,从而，满足齐次方程和周期条件及有限性的解可以表示为级数u(ao2n(an cosnn 1bn sinn ),最后，为了确定系数，我们利用边界条件可得f()a。n (an cos nbn s inn )运用性质从而可得因而，我们有22sinnxdx 0,002sinnxsin mxdxaoanbnu(,a。利用下面的求和公式22cosnxdx 0, 0 cosnxsinnxdx 0,0,20 cosnxcosmxdx 0, m n,f( )d ,n(an cos nkn cos n(tf( )cosn d ,f ( )sin n d .bn sin n )(一)n (cosnt cos n1 0(一)n cosn(t)dt1n in (t )in (tk (e e1 k21 2 ,21 2kcosn(t ) ksin ntsin n )dt)|k| 1所以