二阶常系数线性微分方程的解法

1、2.2 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的解法的解法数学系数学系 贺贺 丹丹2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法22.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法32.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法41特特征征方方程程的的根根是是两两个个不不相相等等实实数数的的情情形形。2特特征征方方程程的的根根是是两两个个相相等等实实数数的的情情形形。xrxreCeCy2121 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法52.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法63 3特征方程

2、的根是一对共轭复数的情形。特征方程的根是一对共轭复数的情形。 sincosiei 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法7)sincos(21xCxCeyx , cotsincos21不不是是常常数数xxexeyyxx 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法821 , rr有有两两个个不不相相等等实实根根xrxreCeCy2121 21 rrr 有有两两个个相相等等实实根根)(21xCCeyrx ir 21, 有有一一对对共共轭轭复复根根的的通通解解方方程程 0 cyybya0 2 cbrar特征方程特征方程)sincos(21xCxCeyx

3、 小结：求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤小结：求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法92.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法102.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法11r 单单实实根根 rk 重重实实根根 )( 121 kkrxxCxCCek项项给给出出 ir 2, 1)sincos( 21xCxCex 给给出出两两项项重重复复根根一一对对 k ir 2, 1项项给给出出 2 kxxCxCCekkx cos)(121 sin)(121xxDxDDkk 特特征征方方程程的的根根方方

4、程程的的通通解解中中对对应应的的项项2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法122.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法132.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法14mexPxf x )()(. 1) )( (次多项式次多项式的的是是其中其中mxxpm2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法152.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法16)()()2()(xPxQbaxQam , 1 )( , )(次次多多项项式式应应为为次次多多项项式式应应为为 mxQmxQ2.2 二阶常

5、系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法17)()(xPxQam , 2 )( , )(次次多多项项式式应应为为次次多多项项式式应应为为 mxQmxQ2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法18xmexPqyypy )( 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法191116 2 3.6537 9AAAAA 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法202.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法212.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法222.2 二阶常系数线性微分方程

6、的解法二阶常系数线性微分方程的解法232.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法242cosixixeex ieexixix2sin sincos)(xPxPexfnmx 22ieePeePexixinxiximx xinmxinmeiPPeiPP)()()22()22( .)()()()(xixiexPexP sin)(cos)()( . 2xxPxxPexfnmx 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法25,)()()()()(xixiexPexPxf 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法26sin)(cos)(x

7、xPxxPecyybyanmx .)()(21xiLkxiLkeQxeQxyyy )sin(cos)sin(cosxixQxixQexLLxk 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法27)sin)(cos)()2()1(xxRxxRexyLLxk .)()(21xiLkxiLkeQxeQxyyy )sin(cos)sin(cosxixQxixQexLLxk 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法28sin)(cos)( xxPxxPecyybyanmx 方方程程)sin)(cos)()2()1(xxRxxRexyLLxk 2.2 二阶常系数线

8、性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法292.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法302.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法312.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法32二阶常系数非齐次线性方程特解的解法二阶常系数非齐次线性方程特解的解法 )(xpemx sin)( cos)(xxPxxPenmx 不是特征方程的根不是特征方程的根 )1( )( xf自自由由项项 yxfcyybya )( 的的特特解解方方程程是特征方程的单根是特征方程的单根 )2( 是特征方程的重根是特征方程的重根 )3( xmexQy )( x

9、mexQxy )( xmexQxy )( 2 不是特征方程的根不是特征方程的根 )1(i 是是特特征征方方程程的的根根 )2(i sin)( cos)()2()1(xxRxxReyLLx sin)( cos)()2()1(xxRxxRxeyLLx ,max nmL 其其中中2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法332.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法34)()()()()()()()(22112211xyxCxyxCxyxCxyxCy )()()()(2211xyxCxyxCy 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解

10、法35)()()()()()()()(22112211xyxCxyxCxyxCxyxCy 0)()()()(2211 xyxCxyxC)()()()()()()()(22112211xyxCxyxCxyxCxyxCy 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法36)()()()()()()()(11112211xcyxybxyaxCxyxCxyxCa )()()()()(2222xfxcyxybxyaxC 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法372.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法38,)()()()()()(1)()()()()(1)(0)()(212112121112xyxyxyxyxyxfaxyxyxyxyxfaxyxyxC 2.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法392.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法402.2 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法41)11(1)(2223322