四直角三角形的射影定理

1、直角三角形的射影定 教学反思1. 研读教材，准确定位本讲主要内容是研究三角形相似，虽然学生在初中对其有过接触，但当时没有给出严格的证明，本讲基于证明，再现这些知识，从平行线的基础上给出三角形相似的判定和相关性质的证明，最后介绍直角三角形的相似和射影定理，步步为营，环环相扣，这是 一个比较完整的欧氏几何推理系。作为三角形相似的应用特例，本节教材紧扣两个问题展开：一是就能够解决哪些问题进行探究；二是就解决这些问题的方法进行指导.关于前者，教材中作出如下安排：(1) 由点和线段的正射影引出直角三角，指出三对垂直线段可以从射影角度进行考查，你发现这些线段之间的关系吗？(2) 设置例2，探究定理的逆定理

2、。(3) 课后习题第2题，此题不需要运用射影定理即可获得证 明，笔者认为可以引出任意三角形的射影定理 AB = AC.cosA BC.cosB,(其他两组略)，可由此激发学生的探究精神。关于证法，本节课理应强调平面几何证法，虽然射影定理证法很多，但教材中只提到两种证法，其中运用三角形相似浓墨重彩，从探 究到应用几乎占据了整个篇幅，而勾股定理的证法仅以小字旁白发问 用勾股定理能证明射影定理吗？ ”这显示了编者的良苦用心和高明之处. 一方面，显示了本节课是三角形相似的延续，与教材整体安排前后呼 应；另一方面，进一步强调本节课研究问题的工具，即仅用平面几何 方法进行研究，其他方法不做介绍，目的是提高

3、学生的逻辑思维水平， 发展其严谨的推理证明能力 . 对于其他证法，则不是本节课教学的重点， 考虑到课堂时间较紧，可以留在课后让学生自己完成 . 从知识的发生 看，平面几何在前，向量、解析几何在后，且他们的研究是以勾股定 理为依托。鉴于上述三个原因，教材的处理方法更合理，更能说出平 面几何的“味道”，若以维度为出发点，二维积可以用面积法，这就 是欧几里得证法了， 像这些平面几何的常用思维模式应分析到位， 引 导学生总结、反思，所以，面积法、向量法、解析几何法、三角函数 法等留给学生，较为合理。当然教材中对于正射影的定义还不够完善，仅给出点和线段在直线 上的射影，没有定义它们在已知线段上的正射影，

4、而相似始于等角， 为此，如果把例2中的图形隐去，那么 ABC就不一定是直角三角形了, 于是笔者设计思考探究，以此加深对射影定理的认识。2. 精心设计情境，抓住学生注意力 好的课堂引入，能够紧紧抓住学生注意力， 使其迅速进入状态 .为此，本课在复习旧知介绍完正射影概念后，设计四个问题，呈现本 课主体图形，帮助学生全面理解射影的概念，规范研究方法，探究射 影定理，环环相扣，力求平滑无痕，逐步揭开数学知识神秘的面纱。3品味射影内涵，凸显教学本质直接给出射影定理的名词，没有让学生思考为什么这么命名，这 样一来对定理的解读就显得更加丰满，事实上，定理中三个等式中的 每一条线段都是射影，尤其是直角边是斜边

5、的射影，这是学生很少注 意到的，称之为射影定理，合情合理，这样学生在课堂上所学习的不 仅是单纯的数学知识，而且领悟到了数学的本质。这节教材处理跨度很大，定理分析证明应用逆向运用几何作图， 若在证明方法上充分讨论，则后面时间不足，若讨论不充分，又没有 太大意义。例题2的再处理对于例题2,若不在已知中给出图形（即 ABC为何种三角形不确AD定），结论是否成立？我们可以看到， 如图，当 BCD - A时，也2有 CD 二 AD.BD,这时 ABC不是直角三角形，这就回到了等角可以为非直角三角 形，更进一步指出比例中项式是具有公共边（或相等边）两三角形相 似的体征性结论，这样学生对射影定理才有全面的理解， 不仅引导学 生学习了教材中呈现的知识、方法、思想，而且根据自身的经验和对 教材的理解，引导学生发现、探究、解决隐藏在字里行间、例题背后 的“故事”，这才是值得称道的。本节课是一个循序渐进的过程，低起点一一高落点的问题链，由表及里逐层突破教学重难点，逐步实现教学目标，使学生在一个个问 题的思考、解决中逐渐完善对不等式的认知，深化对其内涵的理解， 同时提升思维品质， 学生的认知思维螺旋式上升， 进而内化为学生的 数学素养。参考文