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文档简介
1、利用旋转证明正方形和等腰直角三角形问题 2009东营市和2011鸡西市绥化市对比分析2009年东营市中招数学试题和2011年鸡西市中招数学试题其实是一个类型的试题,应该说2011年鸡西市的这道中招试题源于2009年东营市的中招试题,该试题体现了图形在不同的位置仍然还具备内在的关系,只要在解题中抓住问题的本质与核心可以用同样的方法来解决不同位置时的问题。现在将两道试题化归为一道试题的不同的情况,主要利用旋转的思想加以对比研究。(2009东营)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG(1)求证:EG=CG;(2)将图中BEF绕B
2、点逆时针旋转45,如图所示,取DF中点G,连接EG,CG问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由 (3)将图中BEF绕B点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)(2011绥化市、鸡西市)在正方形的边上任取一点,作交于点,取的中点,连结,如图(1),易证且(1)将绕点逆时针旋转,如图(2),则线段和有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想(2)将绕点逆时针旋转,如图(3),则线段和又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明【1】(2009东营)(2011鸡西市、绥化市)
3、已知正方形ABCD,BEF是等腰直角三角形,BEF=90, G为DF中点,连接EG,CG(1)如图,当点F在BC边上时,判断线段 的关系,证明你的结论;(2)将图中BEF绕B点逆时针旋转,使点F在对角线BD上,如图所示,问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由 (3)将图中BEF绕B点逆时针旋转,使点E在CB的延长线上,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。(4)将图中BEF绕B点逆时针旋转,使点E在AB的延长线上,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,
4、请说明理由。(5)将图中BEF绕B点顺时针旋转一个任意的角度,使点E、F在正方形ABCD的外部,问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。(6)将图中BEF绕B点顺时针旋转一个任意的角度,使点E在正方形ABCD的外部,点F在正方形ABCD的内部,问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。(7)将图中BEF绕B点顺时针旋转一个任意的角度,使点E、F都在正方形ABCD的外部,问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。(8)将图中BEF绕B点顺时针旋转一个任意的角度,使点E在正方形ABCD的内部,点F在正方形A
5、BCD的外部,问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。 (1)证明:如图,在RtFCD中,G为DF的中点,CGFD在RtDEF中,G为DF的中点,EGFDEGCG(2)方法一证明:如图2-1所示,延长EF和CD交于点H,连接GH方法二:连接AG,过点G作MNAD于M,与EF的延长线交于点N,如图2-2在DAG与DCG中ADCD,ADGCDG45,DGDGDAGDCG,AGCG在DMG与FNG中DGMFGN,FGDG,MDGNFG45DMGFNG,MGNG在矩形AENM中,AMEN在RtAMG 与RtENG中,AMEN,MGNGAMGENG,AGEGMAG=GEN
6、=DCGEGCGMNCD,DCG=NGC=GEF方法三:延长CG至M,使MGCG,连接ME,MF,EC,如图2-3在FMG与DCG中,FGDG,MGFCGD,MGCGFMGDCGMFCDCB,FMGDCGMFCDABEFMF在RtMFE与RtCBE中,MFCB,EFEBMFECBE,MEFCEBMECMEF +FECCEB +FEC90MEC为等腰直角三角形MGCG,EGMC方法四:将EBC绕点C顺时针现在90得HDC,连接GH由旋转可知,点E、G、H共线,点评:证明方法三和四都用到了旋转的思想,但是在辅助线的作法上可以有不同的描述;这样的两种方法都是用EGC构造等腰直角ECH.(3)证明方法
7、一:过F作FHCD于点H,连接GH、GB、是等腰直角三角形证明方法二延长EG和CD相交于点H,证明方法三延长CG和EF相交于点H,点评:这种情况因为点E、B、C共线,其本质还是相当于把EBC绕点C或者点E旋转90(4)、证明方法一:延长FE和DC相交于点M,连接GM证明方法二:作FHEF延长CG和FH相交于点H,连接EH证明方法三:将RtCBE绕点C顺时针旋转90得RtCDH,连接GH由旋转可知由点评:辅助线的作法一样,但是描述不一样,这样出现了不同的证明方法。 (5)证明方法一:如图5-1,过D作DMEF交EG的延长线于点M,连接CM,EB和DM相交于点H,HM交BC于点K证明方法二如图5-
8、2将EBC绕点E逆时针旋转90得EFM连接MG,直线MF,CB相交于K,EC,MK相交于H,由旋转可知点评:两种不同的方法都是利用ECG构造出一个等腰直角三角形,利用等腰直角三角斜边的中线和斜边上的高重合证明结论。“把一个图形旋转后,对应边所在的直线的夹角和旋转角相等(互补)”是一个经验公式(结论),但是在试题中我证明了该结论,利用的基本的方法是:如图1所示,CAE和EBC的两边分别垂直,则这两个角相等,不过还有另外的一种情况,如图2所示,A+B=180,这两个角互补。(6)证明方法一如图6-1作DMEF交直线BE于K,延长EG交DM于点M,连接CM证明方法二如图6-2,把BEC绕点E逆时针旋
9、转90得EFM,连接GM,FM交BC于K,交EC于H。由旋转可知在HKC和HEM中,HCK=EMH,EHM=KHCHKC=HEM=90MFBC MFCDMFG=CDGFG=DG,CD=BC=MFMFGCDG(SAS)MG=CG,MGF=CGDCGD+FGC=180MGF+FGC=180点M、G、C共线在MEC中,EM=EC,MEC=90,MG=CG证明方法三如图6-3,设对角线AC,BD相交于点O,BF的中点是M连接EM,MG,OG,在FBD中 (7)证明方法一四边形ABCD是正方形CB=CD,CBCD连接CE,将CBE绕点C顺时针旋转90得到CDH,连接GH,直线BE和直线DH相交于点P,由
10、旋转可知:CH=CE,CHCE,DH=BE=EF证明方法二如图7-1-1,延长EG到H,使GH=GE,连接CH,DH,ECDH和BE相交于点P,和AB相交于点K,证明方法三如图7-2将EBC绕点E逆时针旋转90得EFH,连接GH,直线CB和HF相交于点P.由旋转可知(8)证明方法一如图8-1,将BEC绕点C顺时针旋转90得DHC,连接GH,直线DH和直线BE相交于点R,BE和CD相交于点K,由旋转可知证明方法二如图8-2所示将BEC绕点E逆时针旋转90得FEH,连接GH,FH和CE、BC分别相交于点K、Y类似于方法一可以证明从而得到等腰直角HEC,EG是斜边CH的中线证明省略总结:当等腰直角BEC旋转到不同的位置的时候,题目中的结论还成立;主要的证明思路是将EGC构造在一个等腰直角三角形中,利用等腰三角形的“三线合一”证明结论;不管是何种情况,利用旋转BEC都可以得到证明思路,并且每种情况都有两种不同的旋转方法,这说明
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