平面解析几何知识点归纳

1、平面解析几何知识点归纳知识点归纳直线与方程1直线的倾斜角规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 0围：直线的倾斜角的取值围为0,)2斜率：k tan (a -)，k R斜率公式：经过两点 RXyJ， P2(x2, y2)(xi x?)的直线的斜率公式为 kPlP23直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式ykxbk是斜率b是纵截距与X轴不垂直的直线点斜式yyok(xX0)(X0, y0)是直线上的已知点两点式yyixXi(xi,yi), (X2, y2)是直线上与两坐标轴均不垂直y?yiX2Xi的两个已知点的直线(XiX2, yiy2)截距式Xy_1a是直线的横截距不过原点且与两坐

2、标abb是直线的纵截距轴均不垂直的直线一般式AxByC0当B 0时，直线的横截距(A2B20)为-A当B 0时，所有直线ACC,分别为直线B A B的斜率、横截距，纵截距能力提升斜率应用例i已知函数f(x) 1og2(x i)且a b c 0,则丄回a-的最大值和最小值22y例2已知实数x,y满足y x 2x 2( i x i)，试求 丄 x两直线位置关系两条直线的位置关系设两直线的方程分别为:1i : Aix Biy B?y11 : ykiX bi 或12 : yk2x b2 或 12 : A2xC 0E 00 ；当 kik2 或 AiB2A2Bi 时它们相交，交点坐标为方程组yk1x k2

3、xbi 或 Aix Biy b2 或 A2x B2yCiC2宀护¥方 位置大糸1i : y kix bi 12: y k2x b211 : Ax Biy Ci 012 : A2 x B2y C20平行kik 2，且 bib?ABiCi(AiB2-A 2Bi=0)A2B2C2重合kik2，且 bib2ABiCiA2B2C2相交ki k?AiBiA2B2垂直ki k2iAi A2Bi B2 0直线间的夹角:若为li到12的角，tank?kiik?ki或ta n若为li和12的夹角当1 k1k20 或 A| A2B1B2tan緩或tanAi B2A2Bi;AiA2BiB20时，90o;直线

4、li到12的角与li和12的夹角 ：(A A2 B1B2 '，则距离问题1平面上两点间的距离公式只区，yj, P2(X2, y2)贝U RF2X5(y2y)2点到直线距离公式|Ax° By。 C点P(Xo,yo)到直线l : Ax By C 0的距离为：d _, 22 Va2 b23. 两平行线间的距离公式已知两条平行线直线li和I2的一般式方程为li: Ax By G 0，|Ci C2I2 : Ax By C20,则li与l2的距离为d Ja2 b24. 直线系方程：若两条直线li: Ax Biy Ci 0，I2: A2x B2y C2 0有交点，则过h与I?交点的直线系方

5、程为(Ax Biy Ci) + (A?x B?y C2) 0或(A?x B2 y C2) +(Ax Bi y G)0 (入为常数)对称冋题yi y22i.中点坐标公式：已知点 A(xi,yj, B(X2, y2)，则 代B中点H(x,y)的坐标公式为点P(x。，y。)关于A(a,b)的对称点为Q(2a x°,2b y。)，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问 题。2.轴对称：点P(a,b) 关于直线Ax By c 0(B 0)的对称点为P'(m,n),则有n -b / A ( m -a B，直线关于直线对称问题可转化0为点关于直线对称问题。(i) 中心对称:点关于点的对称

6、:该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a, b)关于C(c,d)的对称点(2c a,2d b)直线关于点的对称：I、在已知直线上取两点，禾U用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；n、求出一个对称点，在利用l1/l2由点斜式得出直线方程；川、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线 h：2x 3y 60关于点P(1, 1)对称的直线丨2的方程。 点关于直线对称：I、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。n、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。女口 ：求

7、点A( 3,5)关于直线l :3x 4y 4 0对称的坐标。 直线关于直线对称：(设a,b关于丨对称)I、若a,b相交，则a到丨的角等于b到丨的角；若a/l，则b/l，且a,b与丨的距离相等。n、求出a上两个点A, B关于丨的对称点，在由两点式求出直线的方程。川、设P(x, y)为所求直线直线上的任意一点，则P关于丨的对称点P'的坐标适合a的方程。如：求直线a :2x y 40关于1 : 3x 4y 10对称的直线b的方程。能力提升例1点P(2,1)到直线mx y 3 0(m R)的最大距离为例2已知点A(3,1)，在直线y x和y 0上各找一点 M和N，使 AMN的周长最短，并求出周

8、长。线性规划问题：(1) 设点 P(xo,y。)和直线 l:Ax By C 0 ,若点P在直线丨上，则Ax。 By。 C 0 ;若点P在直线丨的上方，贝U B(Ax。 By。 C) 0 ；若点P在直线丨的下方，贝U B(Ax° By° C) 0 ；(2) 二元一次不等式表示平面区域：当B0时，则Ax ByC0表示直线l : Ax By C0上方的区域；AxByC0表示直线l:AxBy C0下方的区域；当B0时,则 Ax ByC0表示直线l : Ax By C0下方的区域;AxByC0表示直线l:AxBy C0上方的区域；注意：通常情况下将原点（0,0）代入直线Ax By C

9、中，根据 0或 0来表示二元一次不等式表示平面 区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x, y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。0时，将直线 Ax By 0向上平移，贝U z Ax By的值越来越大;直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越小；当B 0时，将直线Ax By 0向上平移，贝U z Ax By的值越来越小;直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括周界），目标函数z x ay取得最小

10、值的最优解有无数个，则a为；(1)设点 P(X0,y°)和直线 l : Ax By C 0 ,若点P在直线l上，则Ax。 By。 C 0 ；若点P在直线丨的上方,则 B（Ax0 By0 C） 0 ；若点P在直线l的下方，贝U B（Ax。 By。 C） 0 ；（2） 二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式 Ax By C 0（0）,当B 0时，则Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0上方的区域;Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0下方的区域;当B 0时，则Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0下方的区域;Ax By C 0表示直

11、线l : Ax By C 0上方的区域;注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线Ax By C中，根据 0或 0来表示二元一次不等式表示平面区域。(3)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当B 0时，将直线 Ax By 0向上平移，贝U z Ax By的值越来越大;直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越小；当B 0时，将直线Ax By 0向上平移，贝U z Ax By的值越来越小;直线AxBy0向下平移，则zA

12、xBy的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括周界)z x ay取得最小值的最优解有无数个，则a为圆与方程2 2 22.1圆的标准方程：(x a) (y b) r圆心C(a,b)，半径r2 2 2 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x y r .2.2点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r:(1)点在圆上 d=r ; (2)点在圆外 d > r;点在圆d v r.2给定点 M(x°,y。)及圆 C ：(x a)2 (y b) 2 r2. M 在圆 C (x0 a)2 (y0 b)2 r2 M 在圆 C 上 (x° a)2

13、 (y° b)2 r 2 M 在圆 C 外(xo a)2 (y° b)2 r22.3 圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 .当D2 E2 4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心2，半径rD2 E2 4F2当D2 E2 4F 0时，方程表示一个点D E2' 2当D2 E2 4F 0时，方程无图形(称虚圆)2 2注：(1)方程 Ax Bxy Cy Dx Ey F0表示圆的充要条件是:2 2B 0 且 A C 0 且 D E 4AF 0.圆的直径系方程：已知AB是圆的直径A(x1,y1)B(x2,y2)(x xj(x x?) (y yj(y y?) 02.4直线与

14、圆的位置关系:2 2 2直线Ax By C 0与圆(x a) (y b) r的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离,(dAa Bb CA2 B2(1)d r 相离0 ； (2)d r 相切(3)d r 相交02.5两圆的位置关系1直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r； ( 2)圆心与切点的连线与直线垂直(斜率互为负倒数)设两圆圆心分别为圆的切线方程2圆x2 y2 r2的斜率为k的切线方程是yOi, O2,半径分别为 n, r2， O1O2d。(1)dr1r2外离4条公切线；(2)d1D 外切3条公切线；(3)r1r2dr12相交2条公切线；(4)dr1 r2内切1条公切线；(5)0 d1$内含无公切线；外离外切相交切含kx .1 k2r 过圆 x2 y2 Dx Ey F 0上一点 P(x°,y0)的切线方程为:X°x y°y D x x°y0一般方程若点(x0 ,yo)在圆上，贝U (x -a)(x0