平方差完全平方公式(培优1)

1、平方差完全平方公式一选择题（共1小题）321. （1999?烟台）下列代数式：,x2+x-，其中整式有（）x32VA 1个B 2个T个D4个二填空题（共3小题）2.2（2011?湛江）多项式 2x - 3x+5是次项式3. （2010?毕节地区）写出含有字母 x，y的四次单项式 .（答案不唯一，只要写出一个）4. （ 2004?南平）把多项式 2x2- 3x+x3按x的降幕排列是_ .5. （ 1999?内江）配方：x2+4x+_=（x+_） 2 配方：x2-x+_=（x- 1 ） 2三.解答题（共26小题）5.计算：2 2（1）（x- y） （x+y） （x +y ）（2）（a- 2b+c）

2、 （ a+2b- c）6.计算：2123 - 124X 122.7.计算:20042004 2 - 2005X20038. (x- 2y+z) (- x+2y+z).9. 运用乘法公式计算.2 2(1) (x+y)-(x - y);(2) (x+y - 2) (x - y+2);(3) 79.8 X 80.2 ;2(4) 19.9 .10.化简：(m+n- 2) (m+n+2 .11. (x 2y- m) ( x- 2y+m)12. 计算(1) (a- b+c- d) (c- a - d - b);42 24(2) (x+2y) (x- 2y) (x - 8x y +16y ).2222221

3、3 .计算：2008 - 2007 +2006 - 2005 + +2 - 1 .14.利用乘法公式计算： ( a- 3b+2c) (a+3b- 2c)文档2 2 47 - 94 X 27+27 . 2 215 .已知：x - y =20, x+y=4，求 x - y 的值. _22332416 .观祭下列各式：(x - 1) (x+1) =x - 1; (x - 1) (x +x+1) =x - 1 ； (x - 1) (x +x +x+1) =x - 1 (1) 根据上面各式的规律得：(x - 1) (xm 1+xm2+xm3+x+1) = _ ;(其中n为正整数);(2) 根据这一规律，

4、计算 1+2+22+23+24+268+ 269的值.17. 先观察下面的解题过程，然后解答问题：24题目：化简(2+1) (2 +1) (2 +1).匚2424224448解：(2+1) (2 +1) (2 +1) = (2 - 1) (2+1) (2 +1) ( 2 +1) = (2 - 1) (2 +1) (2 +1) = (2 - 1) (2 +1) =2 - 1 问题：化简(3+1 ) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)-( 364+1).18. 十；门19. (2012?黄冈)已知实数 x满足x+丄=3，则x2+丄的值为20. (2007?天水)若a2- 2a+仁0.求代

5、数式： 的值.4且21. (2009?佛山)阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法. 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2 2ab+b2= (a b):例如：(x - 1) 2+3、(x - 2) 2+2x、( x - 2) 2+ ：x2是x2 - 2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、24一次项、二次项-见横线上的部分)请根据阅读材料解决下列问题：(1) 比照上面的例子，写出 x2- 4x+2三种不同形式的配方；2 2(2) 将a +ab+b配方(至少两种形式);(3) 已知 a +b +c - ab - 3b- 2 c

6、+4=0,求 a+b+c 的值.22. (2004?太原)已知实数 a、b 满足(a+b) =1, (a - b) =25，求 a +b +ab 的值.2,i223. (2001?宁夏)设 a- b=- 2,求的值.22 224. 已知(x+y) =49, (x- y) =1,求下列各式的值：29(1) x+y ; (2) xy .25. 已知x+=4，求x -的值.XX 2 226 .已知：x+y=3 , xy=2，求 x +y 的值.27 .已知 a+b=3, ab=2，求 a2+b2, (a - b) 2 的值.28 .若 x+y=2，且(x+2) (y+2) =5,求 x +xy+y

7、的值.29. x2- 11x+1=0，求 x2+的值.230.已., 求下列各式的值:一选择题（共1. （ 1999?烟台）A 1个 考点：分析：解答：点评：平方差完全平方公式参考答案与试题解析1小题）32下列代数式 ,X2+X- ,：, j，其中整式有（）x32yB 2个C 3个D 4个整式.解决本题关 键是搞清整 式的概念，紧 扣概念作出 判断.解：整式有x2+x -:3工亠二共2个2八故选B.主要考查了 整式的有关 概念.要能准 确的分清什 么是整式.整 式是有理式 的一部分，在 有理式中可 以包含加， 减，乘，除四 种运算，但在 整式中除式 不能含有字 母.单项式和 多项式统称 为整式

8、.单项 式是字母和 数的乘积，只 有乘法，没有 加减法.多项 式是若干个 单项式的和， 有加减法.二.填空题（共3小题）2项式.考点：多项式.专题：计算题.分析：根据单项式 的系数和次 数的定义，多 项式的定义 求解.解答：解：由题意可 知，多项式2x? 3x+5 是二次三项 式.故答案为：-,-三.点评:2. （2011?湛江）多项式 2x - 3x+5是本题主要考 查多项式的 定义，解答此 次题的关键 是熟知以下 概念：多项式中的 每个单项式 叫做多项式 的项；多项式中不 含字母的项 叫常数项； 多项式里次 数最高项的 次数，叫做这 个多项式的 次数.3. （2010?毕节地区）写出含有字

9、母x, y的四次单项式x2y2 .（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式.专题：开放型.分析：单项式的次 数是指单项 式中所有字 母因数的指3数和x y,x2y2, xy3 等都是四次单项 式.解答：解：根据四次单项式的定、/2 23乂，X y , xy, xy3等都符合 题意(答案不 唯一).点评：考查了单项 式的次数的 概念.只要两 个字母的指 数的和等于4 的单项式都 符合要求.4. (2004?南平)把多项式 2x2-3x+x3按x的降幕排列是x3+2x2- 3x考点：多项式.分析：按照x的次数 从大到小排 列即可.解答：解：按x的降 幕排列是32x +2x 3x.点评：主要考查降

10、幕排列的定 义，就是按照 x的次数从大 到小的顺序 排列，操作时 注意带着每 一项前面的 符号.三.解答题(共26小题)5. 计算：2 2(1) (x- y) (x+y) (x +y )(2) (a- 2b+c) ( a+2b- c)考点：平方差公式； 完全平方公 式.分析：(1) (x y) 与(x+y)结 合，可运用平 方差公式，其 结果再与(x2+y2)相结 合，再次利用 平方差公式 计算；解答:点评:6计算:考点：分析：(2)先运用 平方差公式， 再应用完全 平方公式.解：(1)( x y) (x+y)(x +y ),2 2=(X y )(X +y ),44=x y ;(2) (a 2

11、b+c) (a+2b c),2=a - (2b - c)22 2=a 4b +4bc2c本题主要考 查了平方差 公式与完全 平方公式，熟 记公式是解 题的关键. 平方差公式：(a+b) (a 99b)=a b .完 全平方公式：2 2(a b) =a22ab+b .2123 124X 122.解答:平方差公式.先把124 X122写成(123+1)X(123 1),利用平方差 公式计算，去 掉括号后再 合并即可.解：1232 124X 122,=1232 (123+1)(123 1),2 2=123 (123-12),=1.点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的

12、关键.7计算:20042004 2 - 2005X2003考点： 分析:解答:20042004 2 - (2004+1)(2004- 1)平方差公式.观察可得：2005=2004+1,2003=2004-1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.解：20042Q04 2 - 2005X 20032004 2004 2 - 2004 2+1=2004.点评:本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成 公式的结构 形式，利用公 式达到简化 运算的目的.8. (x- 2y+z) (- x+2y+z).考点：|平方差公式.专题：计算题.分析：把原式化为Z+ (x-2y) z -(x-2y)，再 运用

13、平方差 公式计算.解答：解：(x-2y+z)(- x+2y+z),=z+ (x -2y) z -(x-2y),=z2 - (x - 2y)2=z2 -( x2 -4xy+4y2),2 2=z - x +4xy-4y2.点评：本题考查了 平方差公式， 整体思想的 利用是利用 公式的关键， 注意运用公 式计算会减 少运算量.9 运用乘法公式计算.2 2(1) (x+y)-(x - y);)(x+y - 2) (x - y+2);(3) 79.8 x 80.2 ;2(4) 19.9 考点：平方差公式.专题：计算题.分析：(1) (x+y)-(x - y) 2 可以利用平 方差公式进 行计算；(2)

14、(x+y - 2) (x - y+2) 转化成x+ (y -2) x - (y -2)的形 式，利用平方 差公式以及 完全平方公式进行计算；(3) 79.8 X 80.2可以转 化成(80- 0.2 )(80+0.2 )的 形式，利用平 方差公式计 算；2(4) 19.9 可 以转化为(20 -0.1 ) (4) 19.9 = (20 - 0.1 )2=400 - 2X 20 X 0.1+0.01 , =396.01 .本题主要考 查平方差公 式和完全平 方公式的运 用，利用完全 平方公式以 及平方差公 式可以使计 算更加简便.进行 简便计算.解答:解：(1)( x+y)2 2-(X - y)

15、=(x+y+x - y)(x+y - x+y), =4xy;(2) (x+y -2) (x- y+2),=x+ (y -2) x -(y=x2 - y2+4y -4；(3) 79.8 X80.2 ,=(80 - 0.2 ) (80+0.2 ),=6399.96 ;点评:10 .化简：(m+n- 2) (m+n+2 考点：平方差公式.分析：把(m+r)看 作整体，m+n 是相同的项， 互为相反项 是-2与2, 然后利用平 方差公式和 完全平方公 式计算即可.解答：解：(m+r 2)(m+n+2),2 2=(m+r) - 2 ,2 2=m+n +2mn4.点评：本题主要考 查了平方差 公式的应 用

16、.运用平方 差公式(a+b)(a b) =a2 -b2计算时， 关键要找相 同项和相反 项，其结果是 相同项的平 方减去相反 项的平方.11. (x 2y m) ( x 2y+m)考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把x 2y当成 一个整体，利 用两数的和 乘以这两数 的差，等于它 们的平方差 计算即可.解答：解: ( x 2y m (x 2y+m),=(x-2y) 22m,2 2=x 4xy+4y2点评:本题主要考 查了平方差 公式，整体思 想的利用比 较关键.12. 计算(1) (a b+c d) (c a - d - b);42 24(2) (x+2y) (x 2y) (x 8xy+1

17、6y).考点：平方差公式.专题：计算题.分析：根据平方差 公式以及完 全平方公式 即可解答本 题.解答：解：(1)原式 =(c b d) +a (c b d) a=(c b d)2 2a2 2 2=c +b +d +2b d 2bc 2cd2a ,(2 )T x4-8x2y2+16y4=2 2 2(x 4y )2 原式=(x294y ) (x 4y ) = (x 34y )3=(x ) 32 2 2(x )( 4y )+3x2? ( 4y2) 2 -(4y2) 36=x 4 22 412x y +48x y64y6.点评：本题考查了 平方差公式 以及完全平 方公式的运 用，难度适 中.13.计

18、算:2 2 2 2 2 22008 2007 +2006 2005 + +2 1 .考点： 分析:平方差公式.解答:分组使用平 方差公式，再 利用自然数 求和公式解 题.解：原式=(20082-22007 ) +, 2(2006 -22005 ) + +(22 - 12),(2008+2007)(2008-2007) +(2006+2005)(20062005) +(2+1) (2 - 1),=2008+2007+2006+2005+点评:+2+1, =2017036. 本题考查了 平方差公式的运用，注意 分组后两数 的差都为1, 所有两数的 和组成自然 数求和.14.利用乘法公式计算： (

19、a- 3b+2c) (a+3b- 2c) 47 - 94 X 27+27 .考点：平方差公式； 完全平方公 式.分析： 可用平方 差公式计算： 找出符号相 同的项和不同的项，结合 再按公式解 答， 把94写成 2X 47后，可解答:点评:用完全平方 公式计算.解：原式=a -( 3b- 2c) a+ (3b -2c) =a2-(3b- 2c)2 2=9b +12bc -4c2;2原式=47 -2X 47X227+27 = (472-27)=400.本题考查了 平方差公式， 完全平方公 式，熟记公式 是解题的关 键. 把(3b - 2c)看作一个 整体是运用 平方差公式 的关键； 把94写成 2

20、X 47是利用 完全平方公 式的关键.2 215 .已知：x - y =20, x+y=4，求 xy的值. 5考点：平方差公式.分析：本题是平方差公式的应用.解答：解：a2 - b2=(a+b) (a -b),2 2x - y = (x+y)(x - y) =20 把x+y=4代入 求得x - y=5.点评：运用平方差公式计算时， 关键要找相 同项和相反 项，其结果是 相同项的平 方减去相反项的平方.把 x+y=4代入求 得x - y的值， 为5.22332416 .观察下列各式：(x - 1) (x+1) =x - 1; (x - 1) (x +x+1) =x - 1 ； (x - 1) (

21、x +x +x+1) =x - 1 (1) 根据上面各式的规律得：(x - 1) (xm 1+xm2+xm3+x+1) = xm- 1 ;(其中n为正整数);(2) 根据这一规律，计算1+2+22+23+24+268+ 269的值.考点： 分析:平方差公式.(1)认真观 察各式，等式 右边x的指数 比左边x的最 高指数大1, 利用此规律求解填空;解答:点评:(2)先根据 上面的式子 可得： 1+X+X2+X3 + +xn= (xn+1 - 1 ) 十(x - 1), 从而得出 1+2+22+ +268+269=( 269+1 -1 )*( 2- 1),再进行计 算即可. 解: ( 1) (x-

22、、/ m- 1 m-1) (x +x2 m3+x + +x2+x+1) =xm -1;(2)根据上 面的式子可 得： 1+X+X2+X3 + +xn= (xn+1 - 1 ) 十(X - 1),21+2+2 + +268+269=( 269+1-1 )*( 2-、701) =2 - 1. 本题考查了 平方差公式， 认真观察各 式，根据指数的变化情况 总结规律是 解题的关键.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：24题目：化简(2+1)(2 +1)(2 +1).匚2424224448解：(2+1) (2 +1) (2 +1) = (2 - 1) (2+1) (2 +1) ( 2 +1) =

23、(2 - 1) (2 +1) (2 +1) = (2 - 1) (2 +1) =2 - 1.24864问题：化简(3+1) (3 +1) (3 +1) (3 +1)-( 3 +1).考点：平方差公式.分析：根据题意，整 式的第一个 因式可以根 据平方差公 式进行化简， 然后再和后 面的因式进 行运算.解答：解:原式=丄(32-1) (3+1)2(3 +1)4(3 +1)(38+1)64(3 +1), (4分)=-(32 - 1)2(32+1)(34+1)(38+1)(364+1 ),=3 (34 - 1)24(3 +1)(38+1)(364+1 ),4 (38 - 1)2(38+1)(364+

24、1 ),4 (364 - 1)(364+1 ), (8 分)-1 (3128-刁(31). (10 分)点评：本题主要考查了平方差 公式，关键在 于把(3+1) 化简为(3-1) (3+1)的 形式，考点：平方差公式.专题：计算题.分析：由平方差公式, (1+ ) (12-亠)=1 -2,(1- r)(1+ - ) =1-7,依此24类推，从而得 出结果.解答：解：原式=(1:(1+ -)2Z(1+ ：)24(1+1)23(1+ -)=(1-(1+1)23(1+(/J=(1弋23(1+1)23(1+ 1 )210=(1 - 1 )215 (1+Z)216=1-丄. 2宠点评：本题考查了 平方差

25、公式 的反复应用， 是基础知识 要熟练掌握.19. （2012?黄冈）已知实数 x满足x+ =3，则x2+ 的值为 7 一 2考点：完全平方公式.专题：计算题.分析：将X+丄=3两X边平方，然后 移项即可得 出答案.解答：解：由题意得，x+丄=3,X两边平方得：2 1x +2+=9,2X 故 x2+-=7.X故答案为：7.点评：此题考查了 完全平方公 式的知识，掌 握完全平方 公式的展开 式的形式是 解答此题的 关键，属于基 础题.20. （2007?天水）若a2- 2a+仁0.求代数式-! 的值.考点：完全平方公式.分析：根据完全平 方公式先求 出a的值，再 代入求出代 数式的值.解答：解：

26、由a2-2a+1=0得（a -1） 2=0, a=1;把a=1代入+=1+1 a=2.故答案为：2.点评：本题考查了 完全平方公 式，灵活运用 完全平方公 式先求出a的 值，是解决本 题的关键.21. ( 2009?佛山)阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法. 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2 2ab+b2= (a b):例如：(x - 1) 2+3、(x - 2) 2+2x、( x - 2) 2+ ：x2是x2 - 2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、24一次项、二次项-见横线上的部分) 请根据阅读材料解决下列问

27、题：(1) 比照上面的例子，写出x2- 4x+2三种不同形式的配方；2 2(2) 将a +ab+b配方(至少两种形式);(3) 已知 a +b +c - ab - 3b- 2 c+4=0,求 a+b+c 的值.考点：完全平方公式.专题:分析:阅读型.(1) (2 )本 题考查对完 全平方公式 的灵活应用 能力，由题中 所给的已知2 材料可得x-4x+2 和 a2+ab+b2 的配 方也可分别 常数项、一次 项、二次项三 种不同形式；(3)通过配解答:方后，求得a, b, c的值，再 代入代数式求值.解：（1）X -4x+2的三种配方分别为：2x - 4x+2= (x-2) 2-2,2x - 4

28、x+2=(X+) 2(2 匚+4) x,2x - 4x+2=(:x -(2)2 2a +ab+b =2(a+b) - ab,2 2a +ab+b =(a+_b)22 3i_2+ b ；42 , 2 2(3) a +b +c-ab - 3b -2c+4,=(a2-ab+ b2) +4(b-23b+3) + (c-2c+1),=(a2-ab+ b2) +442(b - 4b+4) +2(c - 2c+1),/X、2 3=(a b) +242(b - 2) +(c-1) 2=0, 从而有a-b=0, b-22=0, c- 1=0, 即 a=1, b=2,c=1, a+b+c=4.点评：本题考查了根据

29、完全平2方公式：a 22ab+b = （ab） 2进行配方 的能力.22. （2004?太原）已知实数2a、b 满足(a+b) =1, (a - b)2 2 2=25，求 a +b +ab 的值.23. (2001?宁夏)设 a- b=- 2,求.的值.考点：完全平方公式.分析：先由已知条 件展开完全 平方式求出 ab的值，再将2 2a +b +ab转化为完全平方2式（a+b） 和 ab的形式，即 可求值.解答：解：( a+b)2=1, (a- b)2=2 5,2 2a +b +2 ab=1 ,2 ,2a +b -2ab=25.4ab= - 24,ab=- 6,2 2.a +b +ab=(a+

30、b) 2-ab=1 - (- 6)=7.点评：本题考查了 完全平方公 式，利用完全 平方公式展 开后建立方 程组，再整体代入求解.考点：完全平方公式.分析：对所求式子解答:通分，然后根 据完全平方 公式把分子 整理成平方 的形式，把a -b= - 2代入 计算即可. 解：原式db) 2/ a - b=- 2, 原式 (-2) 22.点评:本题考查了 完全平方公 式，利用公式 整理成已知 条件的形式 是解题的关 键，注意整体 思想的利用.2 224.已知(x+y) =49, (x- y) =1,求下列各式的值:29(1) x+y ; (2) xy .考点：分析:完全平方公解答:式.根据完全平 方

31、公式把(x+y)禾口 (x -y) 2展开， 然后相加即 可求出x2+y2 的值，相减即 可求出xy的 值.解：由题意 知：(x+y)222 小=x +y +2xy=49，(x - y)2 2 2=x +y -2xy=1 ，+得：(x+y) 2+ (x-y) 2,2 2=x +y +2xy+x22小+y - 2xy,z 2 2、=2 (x +y ),=49+1,=50, x2+y2=25;-得：24xy= (x+y)2-(x- y) =49-仁48, xy=12 .点评：本题考查了 完全平方公 式，灵活运用 完全平方公 式，熟记公式 是解题的关 键.25 .已知x+二=4，求x -二的值.考点：分析:完全平方公式.把已知条件 两边平方求 出x2+丄的2值，再根据完 全平方公式 整理成（x-）2的形式并解答:代入数据计 算，然后进行 开方运算.解：一- -H，2+ 1 2=16 x2+=14,22 2=x2=12,-=-：；.X点评:本题考查了 完全平方公 式，灵活运用 完全平方公 式，利用好乘 积二倍项不 含字母是常 数是解题的关键. 2 226 .已知：x+y=3 , xy=2，求 x +y 的值.考点：完全平方公式.分析：利用完全平 方公式巧妙 转化即可.解答：解：/x+y=3,2 2x +y +2xy=9 , xy=2, x +y =9 - 2xy=9 - 4=