奇偶性的典型例题

1、函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数f(x)的定义域内任意一个 x : f(_x)二 f(x)二 f (x)是偶函数； f (_x) - - f(X)：= f (x)奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质 、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称； 、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； 、可逆性：f (-X)= f(X)：二 f (x)是偶函数；f (-X)= 一 f (x) ：= f (x)奇函数； 、等价性：f(_x)=f(x)：= f (_x) 一 f (x) =0 , f (_x) - - f (x) ：= f(_x) f(x)=0 、奇

2、函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称； 、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：禾U用奇、偶函数的定义，主要考查 f (x)是否与- f(x)、f(x)相等，判断步骤如下：1 、定义域是否关于原点对称；2、数量关系f(x)=f(x)哪个成立;例1 :判断下列各函数是否具有奇偶性、f (x) = x3 2x、42f(x)=2x 3x 、f (x)=x3-x2、f(x)=x2 x !-1,2 扁)、f(x) R：x-2. 2-x(6)、f (x) = x2-1.

3、1-x2注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2:判断函数的奇偶性。f()X2 (xXO) f(x) =2厂 x2(xc0)第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则(前提条件为两个函数的定义域交集不为空集)：奇+奇=，偶+偶=，偶+奇=，奇X奇=，偶X偶= ，奇X偶=四、关于奇偶函数的图像特征例1：已知偶函数y = f(x)在y轴右则时的图像如图 (一)试画出函数y轴右则的图像。五、关于函数奇偶性的简单应用1入 r01 2 X图(一)卓Y1、禾I用奇偶性求函数值例 1：已知 f(x)=x5，ax3 bx-8 且5、利用奇偶性判断函数的奇偶性o例 5 :已知函数 f (x) = a

4、x bx c(- 0)f( -2) =10，那么 f (2) 口是偶函数，判断32g(x) =ax bxcx的奇偶性。2、禾U用奇偶性比较大小例2：已知偶函数f (x)在-：:,0上为减函数，比较f (5) , f (1) , f(3)的大小。3. 利用奇偶性求解析式例3：已知f (x)为偶函数，当0乞x三1时，f (x) = 1 -x,当一1三x ： 0时，求f (x)的解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例 4：若 f (x) = (k - 2)x2 (k -3)x 3是偶函数，讨论函数 f (x)的单调区间？6、利用奇偶性求参数的值例6:定义在R上的偶函数f (x)在(-二，0)是 单调递减，若2 2f (2a a 1) < f (3a - 2a 1)，则 a 的 取值范围是如何？7、利用图像解题例7 (2004.上海理)设奇函数 f(x)的定义域 为-5,5.若当x 0,5时