《1.1.2平面直角坐标系中的伸缩变换》同步练习3

1、平面直角坐标系中的伸缩变换同步练习1.点(2, 3)经过伸缩变换2x ' = x,y ' = 3y后得到点的坐标为1 解析：由伸缩变换公式2x'= xy' = 3y1x'= 2x= 1,y'= 3y= 9,即变换后点的坐标为(1, 9).答案：(1, 9)到两定点的距离之比等于常数k(kz 0)的点的轨迹是直线或圆将椭圆25 + 9 = 1按°：1=5x,1变换后的曲线围成图形的面积为=3y解析：设椭圆25+ 9 = 1上任意一点的坐标为P(x, y)，按 跛换后的对应的坐标为 P(X :1=5xx= 5x ',得二=3y &#

2、39;,代入椭圆方程，得=3y(5x' ) 2(3y' ) 25+9=1，即 x '2+ y 2= 1 ,圆的半径为1,所以圆的面积为 n .答案：n4.在同一坐标系中，将曲线y= 3sin 2x变为曲线y ' = sin x'的伸缩变换是 5到直线x y= 0和直线2x+ y = 0的距离相等的动点的轨迹方程为 .5. x2 + 6xy y2= 06已知椭圆的焦点是F1, F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q,使得| PQ| =|PF2|，那么动点Q的轨迹是.6 圆x ' = 5x,7. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换y

3、9; = 3y后，曲线C变为曲线x 2+ y 2= 0,则曲线C的方程为.7. 25x2+ 9y2= 08. ABC中，B( 2, 0) , C(2, 0) , ABC的周长为10,求点A的轨迹方程为 2 2x y_8. 9 + 5 = 1( xm± 3)9. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x 36y 8x+ 12= 0变成曲线x y 4x + 3 = 0,则满足条件的伸缩变换是 .9 .解析：x2 36? 8x+ 12= 0 可化为x ' 2 y 2 4x '+ 3 = 0可化为 (x 2) 2 y 2= 1.rx 4x， 2= 2 ， 比较，可得j2y '

4、 = 3y,x=2,=3y.x答案:*x，= 2，y，= 3y 1I x' = sx,10.在平面直角坐标系中，求下列曲线方程所对应的图形经过伸缩变换1后的图y，= 2y形形状.(1) y2= 2x；2 2(2) x + y = 1.r1I x ' = 3X,10 .解析：(1)由伸缩变换'1y/ = 2y,x = 3x，, 可知 |y = 2y '.x = 3x ',将y = 2y，代入y2= 2x,可得34y，2= 6x '，即 y 2 = 2X，.即伸缩变换之后的图形还是抛物线.x= 3X'(2)将 y= 2y '代入 x2

5、+ y2= 1得(3x')2+ (2y)2= 112 12x y即 T+T=1.9 4即伸缩变换后的图形为焦点在 y轴上的椭圆.答案：抛物线11.在平面直角坐标系 xOy上，直线I : x=- 2交x轴于点A.设P是I上一点，M是线段0P的垂 直平分线上一点，且满足/ MPO = Z AOP.当点P在I上运动时，则点M的轨迹E的方程是 _/ MPO = Z AOP,动点M满足MP丄I或M在x的负半轴上，设 M(x, y), 当 MP丄I时，I MP| = |X+ 2| , |OM| = x2 + y2, |X+ 2| = xjy2,化简得 y2 = 4x+ 4(x> -1). 当

6、M在x的负半轴上时，y= 0( xv 1),综上所述，点M的轨迹E的方程为y2 = 4x+ 4(x> 1)或y= 0(xv 1).答案：y2= 4x+ 4(x> 1)或 y = 0( x v 1) 12已知动点M(x, y)到直线I: x= 4的距离是它到点N(1, 0)的距离的2倍则动点M的轨迹C的方程是.12 .解析：点 M(x, y)到直线x= 4的距离，是到点 N(1 , 0)的距离的2倍，贝U | x 4| = 22 22 2 x_ y_.(x 1) + y ? 4 + 3 = 1.2 2x y_所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为 4 + 3 = 1.2 2x y答案：4 + 3 = 1 13平面内有一固定线段 AB , |AB| = 4,动点P满足|PA| | PB| = 3, O为AB中点，求| OPl的最小值.13.解析：以AB的中点0为原点，AB所在的直线x轴建立平面直角坐标系，如右图,/ | PA| | PB| = 3<| AB| ,则点P的轨迹以A、B为焦点的双曲线的右支上.由题意知2c= 4c= 2.3