第三讲秩亏自由网平差ppt课件

1、第三讲第三讲 秩亏自由网平差秩亏自由网平差n 上节广义最小二乘准则：n n 1、基本模型为：n 2、平差准则：,xxxVXL PVBXL P12000 xxXVLBVXVLIDPD minTV PV u以上即为极大验后估计的等价解法！以上即为极大验后估计的等价解法！minTTxxxV PVV PV,xxxVXL PVBXL PminTTxxxV PVV PV()()0220()()0()()0TTxxxTTxxTxxTTxxxV PVV PVXXV P BV PB P BXLP XLB P BP XB P LP L12000 xxXVLBVXVLIDPD minTV PV 120112200(

2、)22000()0000000TTTTTxXTTxXXBV PVVV PV PIXXBI PVLDBBIXLDILDDBBIXBILDDI n秩亏自由网平差n所介绍的秩亏自由网平差应用于：n“自由网的平差；n观测方程的系数阵是列亏的(即：不需假定必要起算数据)；n不考虑参数的先验统计特性。一、问题的提出自由网：自由网： 当控制网中没有必要的起算数据时，当控制网中没有必要的起算数据时，通常称为自由网。通常称为自由网。附合网、独立网：附合网、独立网： 当控制网中除必要起算数据时外，还当控制网中除必要起算数据时外，还有多余的起算数据的网，称为附合网；等于有多余的起算数据的网，称为附合网；等于必要起算

3、数据，称独立网。必要起算数据，称独立网。自由网平差方法分为：自由网平差方法分为： 经典自由网平差和秩亏自由网平差两种经典自由网平差和秩亏自由网平差两种。一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测网等，一般为自由网。降监测网等，一般为自由网。1、经典自由网平差、经典自由网平差例：选定选定x3x3的高程为已知，则可列出误差方程的高程为已知，则可列出误差方程为：为：11122233101101vlxvlxvl 法方程： 系数阵的行列式不为零，即RN）=2，非奇异，方程有唯一解：经典平差法的条件： 是在控制网中必需设定足够的坐标起算数据；12123221012l

4、lxllx1212322112llxllxu也可设定各点的高程近似值时，取x3的已知高程为近似值，但 。（即设一点的高程为已知其函数模型为：u这就成为附有条件的间接平差了。30 x 111222333310111 001 10vxlvxlvxlx 2、秩亏自由网平差如果不假设起始高程，设如果不假设起始高程，设网中全部待定点为参数，则网中全部待定点为参数，则误差方程为：误差方程为：11122233310111 001 1vxlvxlvxl 组法方程：组法方程：法方程系数阵：法方程系数阵：可见，系数阵的行列式等于零可见，系数阵的行列式等于零, ,即是一个奇异阵，即是一个奇异阵，方程有无穷多组解。方

5、程有无穷多组解。产生秩亏的原因：就是平差网形中缺少的必要起产生秩亏的原因：就是平差网形中缺少的必要起算数据个数。算数据个数。秩亏数秩亏数d d：就是秩亏自由网中的基准亏损数，：就是秩亏自由网中的基准亏损数， d=R d=R（B B）-R-RB B）（ R R（B B是是B B的列满秩数，的列满秩数，R RB B是实际秩数是实际秩数。）。）211121112TB PB 0TTB PBxB Pl秩亏自由网平差： 如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据，而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题称为秩亏自由网平差。思索：思索：在没有起算数据的网中，秩亏数和什么个在没有起算数据的网中，秩亏数和什么个

6、数数 相等？相等？水准网、测角网、测边网、边角网以及水准网、测角网、测边网、边角网以及GPSGPS网的秩亏数各是多少？网的秩亏数各是多少？二、秩亏自由网平差原理二、秩亏自由网平差原理秩亏自由网平差的函数模型为秩亏自由网平差的函数模型为相应的误差方程为相应的误差方程为随机模型为随机模型为法方程为法方程为111nnuunLB XdVBxl22100LLDQP0TTB PBXB Pl问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差那样,只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可能取得唯一确定的估计量;解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二乘原则基础上附加另外条件;附加条件的前提:该条

7、件的确定应保证所求得的未知数的估计量是最优的.这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范数解! 1、秩亏法方程的最小范数解直接解法） 设满足法方程的一个解为X,取其平方和的开方为称为向量X的范数,几何意义是向量的长度。最小范数满足条件,称为最小范数条件,其表达式为法方程若有一解X满足其范数最小,这个解就称为最小范数解。1222212()TnXX XxxxminminTXX X或求最小范数的法方程解过程：求最小范数的法方程解过程：即求下列数学解：即求下列数学解：得：得：0minTTNXB PLX X()TXN NNB PL2()min2200()()TTTTTTTTTX XKNXB PLXK

8、 NXN KNKNNKB PBKNNB PBXN NNB PB 解：u广义逆矩阵的概念广义逆矩阵的概念u1广义逆广义逆A-u1、定义：设、定义：设A的秩的秩RA）=rmin(n,m)，满足下列矩阵方程的满足下列矩阵方程的A-定义为定义为A的广义逆的广义逆u2、广义逆、广义逆A-的计算的计算uA是非奇异方阵，凯利逆是非奇异方阵，凯利逆A-1就是就是A的广义的广义逆。逆。uA是列满秩时是列满秩时uA是行满秩时是行满秩时uA是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。nm mn nmnmA A AA11()TTLAA AA11()TTRAAA Au降阶法：降阶法：u在秩亏的方阵在

9、秩亏的方阵A中，删去中，删去d个某一行和相个某一行和相应的某一列降阶求逆，删去位置均以应的某一列降阶求逆，删去位置均以“0代之，即得奇异方阵的广义逆代之，即得奇异方阵的广义逆A-。u可见可见A-不唯一。不唯一。u例如：例如：u可以验证：可以验证：11111001123211011111,0101110010000AR AdAAA，（ ），AA AA2广义逆广义逆A+（Moore-Penrose广义逆、伪逆）广义逆、伪逆）1、定义：满足下列四个条件，即、定义：满足下列四个条件，即2、 A+的计算的计算 当当A为对称方阵时：为对称方阵时：()()TTAA AAA AAAAAAAA AA A()()

10、AA AAA AAAu值得说明的是：值得说明的是：u1因广义逆不唯一，但可以证明，用不同因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义逆的广义逆NN）-代入上式后，求得的代入上式后，求得的X向向量却是相同的，故量却是相同的，故X有唯一解！有唯一解！u2以上解法又称为以上解法又称为“直接解法直接解法”。精度估计精度估计参数估值的协因数阵：参数估值的协因数阵：单位权方差估值仍为：单位权方差估值仍为： ()()()()TXXQN NNB PQPB NNNN NNN NNNN20( )TTV PVV PVnR AnrR(A)=等于所选参数个数等于所选参数个数u-秩亏数秩亏数d2 2、附加条件法是一种实用算法

11、）、附加条件法是一种实用算法）自由网误差方程为自由网误差方程为为消除秩亏，附加条件为消除秩亏，附加条件按最小二乘原则，作函数按最小二乘原则，作函数得法方程得法方程解法方程，得解法方程，得X解解VBXl1TxuduuuS P Xox2()minTTTV PVKS P X TxTxNp SA PlXS pOOK111122122TTxTxNp SQQXA PlA PlS POQQKOO1 11 11 1TX XXQAP lQQN Q或者，整理得：或者，整理得：11120()()()()TTxTTTxxxxTTxNSP SB PlQNSP SB PB NSP SV PVV PVfnud3. 伪观测值

12、法 数学模型数学模型:平差准则平差准则:minTV PV 000TgxVBlVxVS PPPI 11,TgxduuuudVBxl PVS P x I1()TTxxNSPSB Pl按间接平差法求参数：按间接平差法求参数：1、合并、合并2、法方程：、法方程：3、解参数、解参数,0000000000()TxTTTTTTTxxxTTTBlVxBxlS PPPIB PBxB PlBBBPPlxS PS PS PIIxB P BSSB Pl u可见，其与附加条件法解是等价的。可见，其与附加条件法解是等价的。z以上介绍可知：z直接算法需要求广义逆；z附加条件法或伪观测法需要确定两项：Px和S。n按平差基准不

13、同可将自由网平差分为三类按平差基准不同可将自由网平差分为三类:n1以全部网点重心为基准以全部网点重心为基准(简称重心基准简称重心基准) 的的秩亏自由网平差；秩亏自由网平差；(PX=E）n2以网中部份相对稳定点重心为基准以网中部份相对稳定点重心为基准(简称简称拟稳基准拟稳基准) 的拟稳自由网平差的拟稳自由网平差(简称拟稳平差简称拟稳平差，PX1=0,PX2=E,) ；n3即网中存在即网中存在d 个起始数据个起始数据, 这就是固定基这就是固定基准下的经典自由网平差。准下的经典自由网平差。秩亏问题解决：经典平差附加固定的基准条件秩亏问题解决：经典平差附加固定的基准条件和伪逆平差直接利用广义逆求解和伪

14、逆平差直接利用广义逆求解 ）；）；优缺点：解法简捷优缺点：解法简捷 ，但没考虑到解法物理意义，但没考虑到解法物理意义，不能反映真实情况。不能反映真实情况。提出：拟稳平差理论。提出：拟稳平差理论。“拟稳平差的基本思想：考虑到监测网中的点拟稳平差的基本思想：考虑到监测网中的点，处于不同的地质构造和地球物理环境，随着时，处于不同的地质构造和地球物理环境，随着时间的延伸，都可能发生变动，但是总存在相对变间的延伸，都可能发生变动，但是总存在相对变化小的，即相对稳定的点。化小的，即相对稳定的点。 4 4、自由网拟稳平差、自由网拟稳平差p我国周江文研究员针对变形监测网提出了我国周江文研究员针对变形监测网提出

15、了一种所谓拟稳平差的自由网平差方法。一种所谓拟稳平差的自由网平差方法。p1、自由网拟稳平差原理、自由网拟稳平差原理p设不稳定未知数设不稳定未知数X1，稳定未知数为，稳定未知数为X2，则误差方程为则误差方程为11221112121unnunuuXVBXlBBlX u留意：留意：u2u2大于大于d d，若，若u2=du2=d，则拟稳平差转化为经典，则拟稳平差转化为经典自由网平差。自由网平差。u值得注意的是：值得注意的是：u1在拟稳平差中，稳定点未知数需满足：在拟稳平差中，稳定点未知数需满足：u如：水准网稳定未知数大于如：水准网稳定未知数大于1，测边网大于等于，测边网大于等于4等等。u2如取如取 ，

16、就是秩亏自由网平差；，就是秩亏自由网平差；u3如取如取 ，就为经典自由网平差。，就为经典自由网平差。2uud21,0ut u21,ud ur附加基准条件附加基准条件1 1122 212000,0Txu uTTTxdududuu uS P XPSSSI即：只对相对稳定的拟稳点施以最小范数条件，以达到即：只对相对稳定的拟稳点施以最小范数条件，以达到消除秩亏，求解未知量的目的！消除秩亏，求解未知量的目的！T2S20X 附加基准即为：附加基准即为：按最小二乘原则得1 2()()0TTSSTTSSXXTTSXNS SB PlQNS SGGSS其中：G是是S标准化矩阵标准化矩阵.p可见，自由网平差的方法分

17、为可见，自由网平差的方法分为p（1经典自由网平差；经典自由网平差；p（2重心基准的秩亏自由网重心基准的秩亏自由网;p (3)拟稳平差。拟稳平差。p 所遵循的原则是所遵循的原则是:minmin0TTTXXV PVX P XS P X等价于u随着所选取基准随着所选取基准PX不同，平差准则也会变化。不同，平差准则也会变化。u一般地一般地, 自由网平差模型可概括为自由网平差模型可概括为:u u1、式中、式中PX 为基准权为基准权, 它不是它不是X的先验权的先验权, X为非为非随机参数。随机参数。u2、对于重心基准、对于重心基准, PX = E(单位阵单位阵) , u3、对于拟稳基准、对于拟稳基准,PX

18、2 = Eu4、 对于固定基准对于固定基准, PX = 0,minminxTTXVBxlP PV PVX P X22000XttPI 5 5、自由网、自由网S S的具体形式的具体形式n 附加矩阵附加矩阵S S是根据保证消除秩亏前提计算的，即满足是根据保证消除秩亏前提计算的，即满足n 也就是求法方程系数阵地零特征值对应的特征向量也就是求法方程系数阵地零特征值对应的特征向量。n 1 1、水准网情况、水准网情况=1=1）11 11TtS0NS 附加矩阵即为：附加矩阵即为：1210.0TuiuiS Xxxxx2 2、测边网情况、测边网情况=3,m=3,m为网中三角点数目）为网中三角点数目）（X0,Y0

19、X0,Y0为点的近似坐标）为点的近似坐标）详细的附加条件为：详细的附加条件为：3 20000001122101010010101TmmmSyxyxyx1100100()0miimiimiiiiixyy xx y3 3、测角网情况、测角网情况=4=4）0000004 211220000001122101010010101TmmmmmSyxyxyxxyxyxy附加条件句体形式为：附加条件句体形式为：110010010,0()0()0mmiiiimiiiiimiiiiixyy xx yx xy y4 4、边角网情况、边角网情况=3=3） 边角自由网与测边网的边角自由网与测边网的S S完全相同。完全相

20、同。5 5、GPSGPS网情况网情况=3=3）（与水准网情况类似）（与水准网情况类似）3 3100100100010010010001001001TmS1110,0,0mmmiiiiiixyz例：在下图水准网中，观测高差、距离和各待定点高例：在下图水准网中，观测高差、距离和各待定点高程近似值见表，分别进行下列自由网平差：程近似值见表，分别进行下列自由网平差：（1 1以以6 6号点为固定点的经典自由网平差；号点为固定点的经典自由网平差；（2 2以重心基准的自由网平差以重心基准的自由网平差P=EP=E）；）；（3 3以以1 1，2 2，5 5，6 6四个点为拟稳基准的拟稳平差，四个点为拟稳基准的拟

21、稳平差， （P=diag1 1 0 0 1 1).P=diag1 1 0 0 1 1).已知数据如下： 三种不同的自由网平差方法结果：三种不同的自由网平差方法结果：u阐明：阐明：1 1最小二乘准则与未知参数附加的基准约束无关，最小二乘准则与未知参数附加的基准约束无关，即平差该证数即平差该证数V V不因所取基准约束变化。不因所取基准约束变化。u阐明：阐明：2 2未知参数估值不同了；未知参数估值不同了；u 3 3秩亏自由网平差参数范数比经典自由网平差范数小；秩亏自由网平差参数范数比经典自由网平差范数小；u 4 41 1，2 2，5 5，6 6拟稳点的范数最小。拟稳点的范数最小。u阐明：阐明：5 5

22、自由网在重心基准下参数具有最小迹自由网在重心基准下参数具有最小迹29.4029.40；拟；拟稳基准下仅拟稳点的参数估计具有最小迹稳基准下仅拟稳点的参数估计具有最小迹20.4720.47。u 归纳：归纳：u 各种自由网平差的残差各种自由网平差的残差V 是不变量。是不变量。u 2) 带基准权的参数协因数阵的迹为最带基准权的参数协因数阵的迹为最小；小；u （说明自由网平差参数估计具有方差（说明自由网平差参数估计具有方差最小性，即是最优的。）最小性，即是最优的。）u 3估计量估计量X是有偏的，但观测值的是有偏的，但观测值的估计量是最有无偏的。估计量是最有无偏的。 6 6、基准变换、基准变换相似变换相似

23、变换对于一个自由网对于一个自由网, , 选择固定基准有很多可能。选择固定基准有很多可能。例如水准网例如水准网, , 可选网中任一点高程为固定不变可选网中任一点高程为固定不变；拟稳基准也一样拟稳基准也一样, , 可任选网中可任选网中t2 (t t2 d ) t2 (t t2 d ) 个坐标为相对稳定点坐标；个坐标为相对稳定点坐标；唯重心基准只有一个。唯重心基准只有一个。（基准的选择按实际需要（基准的选择按实际需要, , 如变形分析常用拟如变形分析常用拟稳基准、了解稳基准、了解GPSGPS网测量精度常用重心基准或网测量精度常用重心基准或固定基准等。）固定基准等。）不同基准下的最小二乘解具有可变换的

24、特性。不同基准下的最小二乘解具有可变换的特性。n 设设X1、X2分别为不同基准下的两个解；分别为不同基准下的两个解；n 则有：则有：n 相减：相减：n 又因：又因：n 故：故：12NXWNXW21()0N XX0NS 1112121duduuXXSDXXS D即：D称为转换因子向量，可根据转换时约束条件求一阶导数求得！称为转换因子向量，可根据转换时约束条件求一阶导数求得！n 如将最小二乘解 变换为具有基准 的最小二乘解minTXX P X px x1 ()pTTpxxPTxPxxpxES S P SS P x xH xQH Q H120()0()pTpxpTpxTTxpxTTxxxxSDx P

25、 xx P SDS P xS P xSDDS P SS P x 那么，由最小二乘解变换为最小二乘最小范数解的公式： 7 7、附有约束的自由网平差、附有约束的自由网平差自由网平差时自由网平差时, ,有时需要对参数进行部分约束有时需要对参数进行部分约束, ,如如测角网测角网GPSGPS网中固定一条基线长度网中固定一条基线长度, ,但这种约但这种约束数尚不足控制网必要起始数据个数束数尚不足控制网必要起始数据个数, ,称为称为: :附附有约束的自由网平差。有约束的自由网平差。分为分为: :附有约束的秩亏自由网平差附有约束的秩亏自由网平差; ; 附有约束的经典自由网平差附有约束的经典自由网平差( (即：即：附有参数的间接平差）附有参数的间接平差） 附有约束的拟稳平差。附有约束的拟稳平差。 误差方程和约束条件： 最小二乘准则： 组法方程： 附加如下条件：0VBxlAxbminTV PV TTNxB KB PlAxb