空间几何体的直观图课

1、横看成岭侧成峰，横看成岭侧成峰，远近高低各不同远近高低各不同.不识庐山真面目，不识庐山真面目，只缘身在此山中只缘身在此山中 题西林壁 苏轼 F-141.2.1 1.2.1 平行投影和中心投影平行投影和中心投影ADCB中心投影中心投影平行投影平行投影斜投影斜投影正投影正投影三角形一定相似吗？三角形一定相似吗？一定是三角形吗？一定是三角形吗？1.1.中心投影法中心投影法: :投影线汇交于一点的投影法投影线汇交于一点的投影法. . 中心投影法sABCabcHABCabcABCabcHH平行投影法2.2.平行投影法平行投影法: :投影线相互平行的投影法.（1 1）斜投影法：）斜投影法：投影线倾斜于投影

2、面的平行投影法称为斜投影法.（2 2）正投影法：）正投影法：投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法.斜投影法正投影法1.2.2 1.2.2 空间几何体的三视图空间几何体的三视图 P R 首先，观察从长方体的正前方的正投影首先，观察从长方体的正前方的正投影正视图正视图 P R Q其次，观察从长方体的正左方的正投影其次，观察从长方体的正左方的正投影正视图正视图侧视图侧视图 V H W 再次，观察从长方体的正上方的正投影再次，观察从长方体的正上方的正投影正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图你能发现你能发现这三个这三个视图之间视图之间有什么有什么关系吗？关系吗？三视图的形成三视图的形成物体向投影面

3、投影所得到的图形称为视图。物体向投影面投影所得到的图形称为视图。如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。1.光线自物体的前面向后面投射所得的投光线自物体的前面向后面投射所得的投影称为影称为正视图正视图2.光线自上向下投射所得的投影称为光线自上向下投射所得的投影称为俯视俯视图图3.光线自左向右所得的投影称为光线自左向右所得的投影称为侧视图侧视图视图视图:将物体按正投影向投影面投射所得到将物体按正投影向投影面投射所得到的图形的图形. 几何体的正视图、侧视图、俯视图

4、通几何体的正视图、侧视图、俯视图通称为几何体的称为几何体的三视图三视图三视图的对应规律三视图的对应规律俯视图和左视图俯视图和左视图主视图和俯视图主视图和俯视图主视图和左视图主视图和左视图-长对齐长对齐-高对齐高对齐-宽对齐宽对齐 例例1、画下例几何体的三视图、画下例几何体的三视图俯视图和左视图俯视图和左视图主视图和俯视图主视图和俯视图主视图和左视图主视图和左视图-长对齐长对齐-高对齐高对齐-宽对齐宽对齐例例2、画下例几何体的三视图、画下例几何体的三视图例例3、画下例几何体的三视图、画下例几何体的三视图三视图的画法规则三视图的画法规则: :(1)(1)高平齐高平齐: :正视图和正视图和侧视图的高

5、保持平齐侧视图的高保持平齐(2)(2)宽相等宽相等: :侧视图的侧视图的宽和俯视图的宽相等宽和俯视图的宽相等(3)(3)长对正长对正: :正视图和正视图和俯视图的长对正俯视图的长对正(4)看不到的棱和轮廓看不到的棱和轮廓线用虚线表示，能看线用虚线表示，能看到的则用实线表示到的则用实线表示三个视图的位置三个视图的位置正视图正视图侧视图侧视图“三视图” 知多少左视图左视图俯视图俯视图w画一个物体的画一个物体的三视图时三视图时,主视图主视图,左视图左视图,俯视图俯视图所画的位置如图所画的位置如图所示所示,且要符合如且要符合如下下原则原则:w长对正长对正,w高平齐高平齐,w宽相等宽相等.长高宽主视图主

6、视图球的三视图球的三视图 正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图圆柱的三视图圆柱的三视图圆锥的三视图圆锥的三视图正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图画下例几何体的三视图画下例几何体的三视图正视图侧视图俯视图画出下图的三视图画出下图的三视图思考：下列两组三视图分别是什么几何体？思考：下列两组三视图分别是什么几何体？正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图圆台圆台三棱锥三棱锥正视图俯视图一个几何体的三视图如下，则这个几一个几何体的三视图如下，则这个几何体是何体是_正视图侧视图俯视图六棱六棱锥锥1:1:一个几何体某一方向的视图是圆一个

7、几何体某一方向的视图是圆, ,则它不可能是则它不可能是( )( )A A 球球 B B 圆锥圆锥C C 圆柱圆柱 D D 长方体长方体D课堂练习：2:2:三视图有以下特点：正、俯视图三视图有以下特点：正、俯视图对正；正、侧视图平齐；对正；正、侧视图平齐；俯、侧视图相等，前后照应。俯、侧视图相等，前后照应。长高宽从上面看从上面看从左面看从左面看从正面看从正面看俯视图俯视图侧视图侧视图正视图正视图3.3.下图的侧视图下图的侧视图是（）是（）ABCB4.4.下图的俯视图是（）下图的俯视图是（）ABCC5.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上

8、一张纸上写着数字形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说，甲说他看到的是他看到的是“6”，乙说他看到的是，乙说他看到的是“ ”，丙说，丙说他看到的是他看到的是“ ”，丁说他看到的是，丁说他看到的是“9”，则，则下列说法正确的是下列说法正确的是( )A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙B P15探究v(1)自己动

9、手制作一个底面是正方形、侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。v（2）自己制作一个上、下底面都是正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。课堂小结v1，三视图中图形之间的 内在联系。v2，三视图与几何体之间的对应和还原。v3，全局，多角度的看问题 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图一般视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图一般采用中心投影或平行投影采用中心投影或平行投影 图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可图片都是空间图形在平面上

10、的反映，通过对图片的研究可以了解空间图形的一些性质和特征以了解空间图形的一些性质和特征 在中心投影中，水平线在中心投影中，水平线(或垂直线或垂直线)仍保持水平仍保持水平(或垂直或垂直)，但，但斜的平行线则会相交，交点称为消点斜的平行线则会相交，交点称为消点 中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复杂，又不易度量杂，又不易度量投影规律投影规律1.1.平行性不变，但形状、长度、平行性不变，但形状、长度、夹角会改变；夹角会改变；2.2.平行直线段或同一直线上的平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；两条线段的比不变；3.3.在太阳光下，平

11、行于地面的在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变直线在地面上的投影长不变 立体几何中常用平行投影立体几何中常用平行投影(斜投影斜投影)来画空间图形的直观图，来画空间图形的直观图，这种画法叫这种画法叫斜二测画法斜二测画法ABCDEF例用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图例用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图(1)在六边形在六边形ABCDEF中，取中，取AD所在的直线为所在的直线为X轴，对称轴轴，对称轴MN所在直线为所在直线为Y轴，两轴交于点轴，两轴交于点O画对应的画对应的 轴，两轴相交轴，两轴相交于点于点 ，使，使,X YO45X OY MNOyxOxy注意：注意：(1)建系时要尽

12、量考虑图形的对称性建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置确定多边形顶点的位置OxyABCDEFMNABCDEFMNOyx，在，在 轴上取轴上取(2)以以O为中心，在为中心，在 上取上取xA DAD y12M NMN B CxN以点以点为中心，画为中心，画BC轴，并等于轴，并等于M，再以，再以为中心，画为中心，画E FxEF轴，并等于轴，并等于注意：平行注意：平行x x轴轴的线段长不变，的线段长不变，平行平行y y轴轴放置的线段长变为放置的线段长变为原来的一半原来的一半OxyABCDEFMNABCDEFMNOyx 并擦去辅助线

13、并擦去辅助线x轴和轴和y轴，便获得轴，便获得正六边形正六边形ABCDEF水平放置的直观图水平放置的直观图A B C D E F(3)连接连接,A B C D E F F A请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤小结：“横同，竖半 ,平行性不变”斜二测画法的步骤斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x轴和轴和y轴，两轴相交于轴，两轴相交于O点点.画直观图时，把它画成对应的画直观图时，把它画成对应的x轴、轴、y轴，两轴交于轴，两轴交于O，使，使 ，它们确定的平面表示水平平面，它们确定的平面表示水平平面45 (

14、135 )x Oy或或(2)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直观图中分别画轴的线段，在直观图中分别画成平行于成平行于x轴或轴或y轴的线段轴的线段(3)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半轴的线段，长度为原来的一半 关于关于水平放置的水平放置的圆圆的直观图的直观图的画法，常用正等测画的画法，常用正等测画法在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版法在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版 3 3怎样确切的表示室内灯泡的位置？怎样确切的表示室内灯泡的位

15、置？ 4 4空间中的点空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？用代数的方法又怎样表示呢？ 当建立空间直角坐标系后，空间中的点当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以，可以用有序实数（用有序实数（x，y，z）表示）表示OyxzMxyz（x，y，z）yxz如图，如图， 是单位正方体以是单位正方体以O为原点，分为原点，分别以射线别以射线OA,OC, 的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC, 的长为单位长，建立三条数轴：的长为单位长，建立三条数轴：x轴、轴、y 轴、轴、z 轴这时我们轴这时我们说建立了一个说建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系 ，其中点，其中点O 叫做坐标叫做坐标原点

16、，原点， x轴、轴、y 轴、轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、平面、yOz平面、平面、zOx平面平面CBADOABC ODODxyzO ABCABCDO 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向拇指指向 x 轴的正方向，食指指向轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如轴的正方向，如果中指指向果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系角坐标系 设点设点M是空间的一个定点，过点是空间的一个定点，过点

17、M分别作垂直分别作垂直于于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴的平面，依次交轴的平面，依次交x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴轴于点于点P、Q和和RyxzMO 设点设点P、Q和和R在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上的坐标分别轴上的坐标分别是是x，y和和z，那么点，那么点M就对应唯一确定的有序实数组就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）MRQP 反过来，给定有序实数组反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以，我们可以在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上依次取坐标为轴上依次取坐标为x，y和和z的点的点P、Q和和R，分别过，分别过P、Q和和R各作一个平面，分别垂直于各作一个平面，分别垂直于x 轴、轴

18、、y 轴和轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点确定的点MyxzMOMRQPyxzPMQOMR 这样空间一点这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，）来表示，有序有序实数组（实数组（x，y，z）叫做点）叫做点M 在此空在此空间直角坐标系中的坐标，记作间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z）其中）其中x叫做点叫做点M的的横横坐标，坐标，y叫做点叫做点M的的纵纵坐标，坐标，z叫做点叫做点M的的竖坐标竖坐标空间直角坐标系空间直角坐标系点在空间直角坐标系中的坐标点在空间直角坐标系中的坐标例例

19、2用用斜二测画法斜二测画法画长画长,宽宽,高分别是高分别是4cm,3cm,2cm的长方的长方体的直观图体的直观图 联想水平放置的平联想水平放置的平面图形的画法，并注意面图形的画法，并注意到高的处理到高的处理(2)MNPQ画画底底面面. .以以O O为为中中心心, ,在在x x轴轴上上取取线线段段M MN N, ,使使M MN N= = c cm m; ;在在轴轴上上取取线线段段P PQ Q, ,使使P PQ Q= = c cm m; ;分分别别过过点点和和作作y y轴轴的的平平行行线线, ,过过点点和和作作x x轴轴的的平平行行线线, ,设设它它们们的的交交点点分分别别为为A A, ,B B, ,C C, ,D D, ,四四边边形形A AB BC CD D就就是是长长方方形形的的底底面面A AB BC CD DxyZOxyZOABCDMNPQ41.5 ,.xOz 190画画轴轴. .画画x x轴轴, ,y y轴轴, ,z z轴轴, ,