第10章刚体平面运动

1、理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动第一节第一节 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解第二节第二节 平面图形内各点速度的求解平面图形内各点速度的求解第三节第三节 平面图形内各点加速度的求解平面图形内各点加速度的求解第四节第四节 运动学综合应用运动学综合应用理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 前面讨论了平移与定轴转动这两种刚体的基本运动，然前面讨论了平移与定轴转动这两种刚体的基本运动，然而工程中除了这两种简单的运动外，而工程中除了这两种简单的运动外， 刚

2、体的平面运动也是刚体的平面运动也是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。可以在工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。可以在研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。 本章将分析刚体平面运动的分解，本章将分析刚体平面运动的分解，应用合成运动的理应用合成运动的理论，分析平面运动刚体的角速度、角加速度以及平面运动刚论，分析平面运动刚体的角速度、角加速度以及平面运动刚体上点的速度和加速度。体上点的速度和加速度。理论力学电子教程理论力学电子教程

3、 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变也就是说，始终保持不变也就是说，刚体上任一点都在与该固刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内定平面平行的某一平面内运动，具有这种特点的运运动，具有这种特点的运动称为动称为刚体的平面运动刚体的平面运动。例如例如第一节第一节 刚体平面运动的概念刚体平面运动的概念一、刚体平面运动的特征一、刚体平面运动的特征理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体

4、的平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 做平面运动的刚体上面各点到某做平面运动的刚体上面各点到某一固定平面一固定平面S 1的距离始终不变。的距离始终不变。 用一个平行于固定平面用一个平行于固定平面S 1的平面的平面S 2来截平面运动刚体，得截面来截平面运动刚体，得截面S，它是，它是一个平面图形。一个平面图形。 过平面图形上任意一点过平面图形上任意一点A作垂直作垂直于图形的直线于图形的直线A1A2，显然直线，显然直线A1A2作作平移（直线始终保持与原来位置平平移（直线始终保持与原来位置平行）。行）。故故A A点的运动完全可以代表直线点的运动完全可以

5、代表直线A A1 1A A2 2的运动的运动 平面图形平面图形S的运动也就代表了整的运动也就代表了整个刚体的运动。因此，个刚体的运动。因此，刚体的平面运刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身平面内动可简化为平面图形在其自身平面内的运动的运动。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动可简化为平面图形在其自刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。身平面内的运动。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我

6、们只需确定平面图形内任意一条线段的位置图形内任意一条线段的位置 任意线段OM的位置可用O点的坐标和OM与x轴夹角表示因此图形S 的位置决定于 三个独立的参变量。点O的坐标和 角都是时间的函数，即,OOyx二、平面运动方程二、平面运动方程理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动平面运动方程)(2tfyO)(1tfxO)(3tf对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 ，平面图形S在该瞬时的位置也就确定了。,OOyx理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 当图形上O点不动时，则刚体作定轴转动 当图形上 角不变时，则刚体作平动。如

7、果在平面图形上任取一点O定义为基点，假想在基点上固结一随基点O平移平移的动系Ox y z ，那么刚体平面运动可以看成是随基点O的平移和绕基点O的转动这两部分运动的合成。三、平面运动分解为平移和转动三、平面运动分解为平移和转动理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由于基点是任取的，自然就会提出这样的问题：如果基由于基点是任取的，自然就会提出这样的问题：如果基点的选择不同，随基点的平动和绕基点的转动会有什么异同点的选择不同，随基点的平动和绕基点的转动会有什么异同呢？呢？理论力学电子教

8、程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动平面运动分解为随基点的平移和平面运动分解为随基点的平移和绕基点的转动绕基点的转动理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动如右下图所示，平面图形在时间内从位置I运动到位置II以A为基点: 随基点A平动到AB后, 绕基点转 角到AB以B为基点: 随基点B平动到AB后, 绕基点转 角到AB图中看出：AB AB AB ，于是有21122121212010 , ; , limlimdtddtdttttSABABBA12SIII显然基点不同，轨迹也不同，因此随基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。理论力学电

9、子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由上可得，平面运动随基平面运动随基点平动的运动规律与基点的选点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关。与基点选取无关。 即即 、 与与基点选取无关基点选取无关理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动第二节第二节 平面图形内各点速度的求解平面图形内各点速度的求解这些作平面运动的刚体，其上任一点的这些作平面运动的刚体，其上任一点的速度速度和和加速度加速度如何求？如何求？车轮作平面运动车轮作平面运动M连杆连杆AB作平面运动作平面运动M齿轮齿轮A作

10、平面运动作平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动一、基点法一、基点法 求平面图形上一点速度的方法有求平面图形上一点速度的方法有3种：种：（1）基点法基点法；（2）速度投影法速度投影法；（；（3）速度瞬心法速度瞬心法。AvASB 如图所示，已知平面图形如图所示，已知平面图形S内一点内一点A的速度为的速度为vA ，图形的图形的角速度为角速度为 。求图形上。求图形上B点的速度点的速度vB 。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由第一节的知识知，任何平面图形在自身平面内的运动都由第一节的知识知，任何平面图形在自身平

11、面内的运动都可以分解为两个运动：可以分解为两个运动： （1）随基点）随基点A 的平移（牵连运动）的平移（牵连运动）；（2）绕基点）绕基点 A 的转动（相对运动）的转动（相对运动）。xyOASBxy 理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 因此，平面图形内任意一点因此，平面图形内任意一点B 的运动也是这两种运动的的运动也是这两种运动的合成，可用合成，可用点的速度合成定理点的速度合成定理来计算来计算B 点的速度。点的速度。 取取B为动点为动点, , 则则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对点的运动可视为牵连运动为平移和相对运动为圆周运动的合成。运动为圆周运动的

12、合成。 取取A为基点为基点, , 将动系固结于将动系固结于A点点, ,动系作平移。动系作平移。AvASB牵连运动为平移，则牵连运动为平移，则eAvv相对运动为转动，则相对运动为转动，则rBAvv动点的绝对速度为动点的绝对速度为aBvv理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动AvASB根据速度合成定理根据速度合成定理aer,vvv则则B点速度为：点速度为：BAABvvv即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称为

13、为基点法基点法(method of pole) 。B AvBvAv理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动由基点法由基点法, 有有BAABvvv式式()在求解时有几个量在求解时有几个量(包括方向和大小包括方向和大小)，最多能，最多能求解几个未知量求解几个未知量?其中其中BAABvAB()理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动二、速度投影法二、速度投影法若将由基点法得到的速度表达式若将由基点法得到的速度表达式BAABvvv向向AB的连线投影会得到什么样的结果？这个结果能否从刚的连线投影会得到什么样的结果？这个结果能否从刚体

14、的概念来进行说明？体的概念来进行说明？AvASBB AvBvAv理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动AvASBB AvBvAv速度投影定理速度投影定理 ABAABBvv将上式在将上式在AB连线上投影，有连线上投影，有BABAvvv由速度合成定理得由速度合成定理得即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等。这种求解速度的方法称为等。这种求解速度的方法称为速度投影法速度投影法。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 这个定理也可以用下面的理由来说明：这个定理

15、也可以用下面的理由来说明：A和和B是刚体上的是刚体上的两点，他们之间的距离应保持不变两点，他们之间的距离应保持不变，所以两点的速度在，所以两点的速度在AB方方向的分量必须相同。向的分量必须相同。 ABAABBvvAvASBB AvBvAv理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例10-1 10-1 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄曲柄 OA以匀角速度以匀角速度 转动。转动。 求：当求：当 =45时时, 滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速度。杆的角速度。 (基点法基点法)理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运

16、动刚体的平面运动【解解】 机构中，机构中，OA作定轴转动，作定轴转动，AB 作平面运动，滑块作平面运动，滑块B 作作 平动。平动。 OA杆作定轴转动，有杆作定轴转动，有lvA方向方向 OA以以 A为基点，则有为基点，则有BAABvvv理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动在在B 处作速度平行四边形，如图所示。处作速度平行四边形，如图所示。（）/ABBAvABlltantan45BAAvvll/cos/cos452BAvvll理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例10-210-2已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构O

17、A=AB=l，曲柄曲柄OA以匀角速度以匀角速度 转转 动。动。 当当 =45时时, 用速度投影定理求滑块用速度投影定理求滑块B 的速度。的速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动cosBAvv )(245cos/ cos/llvvABlvAOA杆作定轴转动，有杆作定轴转动，有方向方向 OA物块物块B 作平动，则作平动，则vB方向沿方向沿 BO直线。直线。即 根据速度投影定理根据速度投影定理 ABAABBvv【解解】理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动例10-3 -3 如图所示平面机构中，如图所示平面机构中，AB=

18、 =BD=DE=l=300mm。在图示位置时在图示位置时, ,BDAE，杆杆AB的角速度为的角速度为= =5rad/s。试求。试求此瞬时杆此瞬时杆BD中点中点C的速度和杆的速度和杆DE 的角速度。的角速度。 060060理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 CBC Bvv vvBvCvCBvBABCDE060060?Cv CBC Bvv v大小大小方向方向CBBDvBC?BD？ ？ ？ 以以B为基点求为基点求vC理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的

19、平面运动vB060060vDvDBvB060060DBD Bvv v /DEDvDE?DE?Dv 以以B为基点求为基点求vD,DvBDDBD Bvv v 大小大小方向方向？ ？ 理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动vB060060vDvDBvB060060(1)求求DE杆的角速度。杆的角速度。 杆杆AB作定轴转动，作定轴转动，vB 大小为大小为 1.5m/sBvl 以以B 点为基点，应用速度合点为基点，应用速度合成定理，成定理，D 点的速度可表示为点的速度可表示为方向与方向与 AB 垂直。垂直。其中，其中，D 点绕点绕 B 的转动速度的转动速度 vDB

20、的方向与的方向与 BD 垂直，垂直，D 点点的速度的速度 vD 与与DE 垂直。垂直。 DBDBvvv理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动由速度合成矢量图可得由速度合成矢量图可得于是可得此瞬时杆于是可得此瞬时杆BD的角速度为的角速度为 又又vDB 为为D点绕点绕B的转动速度，的转动速度，有有 其转向为逆时针。其转向为逆时针。1.5m/sDDBBvvvDBDBvBD/5rad/sBDDBvlvB060060vDvDBvB060060则有则有/5rad/sDEDvl转向为顺时针。转向为顺时针。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体

21、的平面运动vBvCvCB其中其中vB大小和方向均为已知，大小和方向均为已知，vCB 方向与方向与 BD 杆垂直，大小为杆垂直，大小为 CBC Bvv vvBABCDE060060/20.75m/sCBBDvl 由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC 的方向恰好的方向恰好沿杆沿杆BD，大小为，大小为221.3m/sCBCBvvv以以B点为基点，应用基点法，点为基点，应用基点法，C 点的速度可表示为点的速度可表示为理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动如图平面机构，由四根杆依次铰接而成。已知如图平面机构，由四根杆依次铰接而成。

22、已知ABBC2r，CDDEr，AB 杆与杆与ED杆分别以匀角速度杆分别以匀角速度 1 和和 2 绕绕A、E 轴转动。在图示瞬时轴转动。在图示瞬时AB 与与CD 铅直、铅直、BC 与与 DE水平，试求该水平，试求该瞬时瞬时 BC 杆转动的角速度。杆转动的角速度。 ABCDE12【思考与讨论思考与讨论】 理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动ABCDE12BvBvCDvCBvDvDv【分析分析】分别以分别以B点和点和D点为基点分析点为基点分析C点的速度，其速度矢点的速度，其速度矢如图所示。如图所示。CBCBvvvCDCDvvv结合上述两式，即可求解。结合上述两

23、式，即可求解。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动三、速度瞬心法三、速度瞬心法理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动1 1速度瞬心的概念速度瞬心的概念 一般情况下，在每一瞬时，平面图一般情况下，在每一瞬时，平面图形形S及其延伸扩展部分上都唯一地存在及其延伸扩展部分上都唯一地存在一个速度为零的点，该点称为速度瞬心。一个速度为零的点，该点称为速度瞬心。 如图所示，已知点如图所示，已知点A的速度为的速度为vA，图形角速度大小为图形角速度大小为 ，转向如图所示。，转向如图所示。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章

24、刚体的平面运动刚体的平面运动如以点如以点A为基点，为基点，则在则在vA的垂线的垂线AN上（由上（由vA到到AN的转向的转向与角速度的转向一致）任意一点与角速度的转向一致）任意一点M的速度的速度vM的大小为的大小为随着点随着点M在垂线上的位置的变化，在垂线上的位置的变化， vM的大小也随之变化，因此总可以在的大小也随之变化，因此总可以在AN上找到一点上找到一点C（该点是唯一的），（该点是唯一的），使得该瞬时的使得该瞬时的vC为零。显然，只要令为零。显然，只要令AvAC AMvvAM则0ACvvAC点C称为瞬时速度中心，简称速度瞬心速度瞬心。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平

25、面运动刚体的平面运动CDABvDvAvBC(a)(b)2. 2. 平面图形内各点的速度及其分布平面图形内各点的速度及其分布如果以速度瞬心如果以速度瞬心C为基点，为基点，图（图（a)中各点的速度可以中各点的速度可以写成写成DCDCCDBCBCCBACACCAvvvvvvvvvvvv大小为DCvvBCvvAvvDCDBCBACA 这样，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，与图这样，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似（图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似（图b)。因此，。因此，平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。平面图形的运动可看成为绕速度

26、瞬心的瞬时转动。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 需要强调的是，速度瞬心在平面图形及扩展部分上的需要强调的是，速度瞬心在平面图形及扩展部分上的位置是随时间变化的。位置是随时间变化的。（1）已知图形上一点的速度 和图形角速度可以确定速度瞬心的位置。（C点）且C在 绕A点顺转向转90的方向一侧, , AAACvACvAvAv几种确定速度瞬心位置的方法几种确定速度瞬心位置的方法理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 (2)已知某瞬间平面图形上已知某瞬间平面图形上A,B两点速度两点速度 的方向，的方向，且且 ， 过过A

27、, B两点分别作速度两点分别作速度 的垂线的垂线,交交点点C即为该瞬间的速度瞬心。即为该瞬间的速度瞬心。BAvv ,BAvv 不平行BAvv ,C理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动ABvvbBAB , )(反向与vvAABvvaBABA , )(同向与vv （3） 已知某瞬时图形上A ,B两点速度的大小,且BAvv ,ABABBAvv ,CC理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 （4）已知某瞬时图形上）已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，两点的速度方向相同，且不与且不与AB连线垂直。此时连线垂直。此时, 图

28、形的瞬心在无穷远处图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等图形上各点速度相等, 这种情这种情况称为瞬时平动况称为瞬时平动. (此时各点的加速度不相等此时各点的加速度不相等)理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 例如例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动作瞬时平动此时连杆此时连杆BC的图形角速度的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等但各点的加速度并不相等设匀设匀 ，则，则)(2ABaanBB而的方向沿而的方向沿AC的，的，瞬时平动与

29、平动不同瞬时平动与平动不同cacBaa 0BC理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动（5）已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动）已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 则则图形与固定面的接触点图形与固定面的接触点C为速度瞬心为速度瞬心 C理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动. . 速度瞬心法速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法。称为速度瞬心法。 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬

30、心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若若P点为速度瞬心，则任意一点点为速度瞬心，则任意一点A的速度的速度方向方向 AP，指向与，指向与 一致。一致。 APvA（1）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。的。在任一瞬时是唯一存在的。 （2）速度瞬心处的速度为零）速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动。加速度不一定为零。不同于定轴转动。（3）刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不）刚体作瞬时平动时，虽然各点的

31、速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。一定相同的。不同于刚体作平动。. . 注意的问题注意的问题理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动【解】机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。 例例10-4 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄取柄OA以匀以匀 转动。转动。 试用速度瞬心法求当试用速度瞬心法求当 =45时时, 滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速杆的角速度。度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动)(2/,lBPvllAPvlAPlvABBAABA（）研究

32、AB，已知的方向，因此可确定出P点为速度瞬心。如图所示。BAvv ,理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例10-510-5 在图中，杆在图中，杆AB长长l，滑倒时，滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。已端靠着铅垂墙壁。已知知A点以速度点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆端沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速点的速度及杆的角速度。度及杆的角速度。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动方法一：选方法一：选A点为基点，点为基点， A点的点的速度速

33、度vA=v，则则B点的速度可表示点的速度可表示为为 BAABvvv式中式中vB方向沿方向沿OB向下，向下，vBA方向方向垂直于杆垂直于杆AB，由速度合成矢量，由速度合成矢量图可得图可得, tanvvB, sinvvBAABvOABsin1lvlvBAAB所以( 逆时针 )理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动ABBAvvv, tanvvB, sinvvBAsin1lvlvBAAB所以( 逆时针 )理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 cot cos sinvllvBCvABB sinlvACvAB理论力学电子教程理论

34、力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动如图所示，节圆半径为r的行星齿轮II由曲柄OA带动在节圆半径为R 的固定齿轮 I 上作无滑动的滚动。已知曲柄OA以匀角速度O 转动，求在图示位置时，齿轮II节圆上M1，M2，M3和M4各点的速度。图中线段M3M4垂直于线段M1M2。 例 题 10-6理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动运运 动动 演演 示示理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动解:OOArROArACv)(所以轮 II 上 M1，M2 ，M3 和 M4 各点的速度分别为： 01CvvOrRCMv

35、)(222OrRCMvv)(2343各点的速度方向如图所示。 因为A点的速度行星齿轮 II 上与固定齿轮 I 的节圆相接触的C点是齿轮II的速度瞬心，所以可利用瞬心法求齿轮 II 上各点的速度。为此先求轮 II 的角速度。因此轮 II 的角速度OrrR（逆时针）OOAM2M4M1M3CRrv2v3v4vA理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动图所示平面机构中，曲柄OA=100 mm，以角速度 = 2 rads1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面滚动。已知CD = 2CB，图示位置时A，B，E 三点恰在一水平线上，且CDED，试求此瞬时E点的速

36、度。 例 题 10-73060理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动运运 动动 演演 示示理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动解：由速度投影定理，杆AB上 A，B点的速度在 AB 线上投影相等，即 ABvv30cos1sm 231.030 cos30 cosOAvvAB摇杆 CD绕C点作定轴转动1sm 462.02BBDvCDCBvv轮E沿水平面滚动，轮心E的速度水平，由速度投影定理，D，E 两点的速度关系为DEvv30 cos速度投影法速度投影法1sm 533.0Ev求得3060理论力学电子教程理论力学电子教程 第

37、十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动第三节第三节 平面图形内各点加速度的求解平面图形内各点加速度的求解已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的 , （某一瞬时）。求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。Aa理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动由由reaaaa以及对应关系以及对应关系rae aaaaaaBABA可得可得nt BABAABAABaaaaaa即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这一方形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。

38、这一方法称为法称为基点法基点法，又称为，又称为加速度合成法加速度合成法。其中其中2nt ABaABaBABA理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动【分析】：大小 ？ 2 方向 ？ 故应先求出 。ntPOPOOPaaaaRvO/ （）【解】轮O作平面运动，P为速度瞬心，有OvOa例例10-810-8半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度 及加速度 ,求车轮与轨道接触点P的加速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由于此式在任何瞬时都成立，且由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而点作直线运动，故

39、而RadtdvRdtdOO1（） 由此看出，速度瞬心由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心心P的加速度指向轮心。的加速度指向轮心。以以O为基点，有为基点，有 其中：其中： 做出加速度矢量图，由图中看出：做出加速度矢量图，由图中看出： （ 与与 等值反向）等值反向） 即即RvRvRRaaRaOOPOOPO222nt)( , npoaaPOatPOa)(/2RvaOPntPOPOOPaaaa理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动

40、刚体的平面运动如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆O1O = l，以匀角速度1绕O1轴转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在轮上只滚不滑。设A和B是轮缘上的两点，A点在O1O的延长线上，而B点则在垂直于O1O的半径上。试求点A和B 的加速度。 例 题 10-10理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动轮作平面运动，其中心O的速度和加速度分别为：1lvO1rlrvO轮的速度瞬心在C点，则轮的角速度因为1和都为常量，所以轮的角加速度为零，则有解：1. 求求A点的加速度点的加速度。选O为基点，应用加速度合成定理ntAOAOOAaaaa0tAOa21laO理论力学电

41、子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动A点相对于基点O的法向加速度沿半径OA，指向中心O，大小为2122nrlraAO)1(2121221nrllrllaaaAOOA所以由图可知A点的加速度的方向沿OA，指向中心O，它的大小为理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动ntBOBOOBaaaa2212n21 rllaaaBOOB所以B点的加速度大小为它与半径OB 间的夹角为lrrllaaBOOarctanarctanarctan21221n2. 求求B点的加速度。点的加速度。选O为基点，应用加速度合成定理,2122nrlraBO,21

42、laO0tBOa其中链1 思考2理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例10-9 10-9 曲柄滑块机构如图所示，曲柄曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA长长R，连杆，连杆AB长长l。设曲柄以匀角速度设曲柄以匀角速度沿逆钟向绕定轴沿逆钟向绕定轴 O 转动。试求当曲柄转动。试求当曲柄转角为转角为 时滑块时滑块B的加速度和连杆的加速度和连杆AB的角加速度。的角加速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动vAvAvBvBA=)sin()2sin()2sin(BBAAvvvOABaAaAatBA理论力学电子教程理论力学电子教程

43、第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动RvBAcoscossinsinlRcoscoslRlvBAABvAvBvBABxy22理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动OABaAaAatBAntBABAABaaaa2nRaaAAABBAABattBAa理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动OABaAaAatBAn)cos( cosBAABaaan)cos( cos1BAABaaaBantBABAABaaaatBAatBAa2nABBAABanBAa理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面

44、运动ntBABAABaaaa)sinsin(cos1ntBAABAaaa)sinsin(cos1ntBAABAABaalABasin cos sin0ntBABAAaaa理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动第四节第四节 运动学运动学综合应综合应用用 在求解此类问题时，首先要依据各刚体的运动特征，分辨它们各自作在求解此类问题时，首先要依据各刚体的运动特征，分辨它们各自作什么运动，是平动、定轴转动还是平面运动，什么运动，是平动、定轴转动还是平面运动， 其次，刚体之间是靠约束连接来传递运动，这就需要建立刚体之间连其次，刚体之间是靠约束连接来传递运动，这就需要建

45、立刚体之间连接点的运动学条件。特别是两刚体间的连接点有相对运动的情形。接点的运动学条件。特别是两刚体间的连接点有相对运动的情形。 例如，用滑块和滑槽连接两刚体时，连接点的速度和加速度是不相同例如，用滑块和滑槽连接两刚体时，连接点的速度和加速度是不相同的。需要应用点的合成运动去建立连接点的运动学条件。如果被连接的的。需要应用点的合成运动去建立连接点的运动学条件。如果被连接的刚体中有作平面运动的，则需要综合应用点的合成运动和刚体平面运动刚体中有作平面运动的，则需要综合应用点的合成运动和刚体平面运动和理论去求解。和理论去求解。 求解时，应从已知运动条件的刚体开始，然后通过已建立的运动学求解时，应从已

46、知运动条件的刚体开始，然后通过已建立的运动学条件过渡到相邻的刚体，直至最后将解全部求得。条件过渡到相邻的刚体，直至最后将解全部求得。 在工程实际中需要综合应用很多平面运动机构皆是复杂的和综合的，在工程实际中需要综合应用很多平面运动机构皆是复杂的和综合的，因此对其运动分析是运动学理论。而其难点一般出现在因此对其运动分析是运动学理论。而其难点一般出现在点的合成运动理点的合成运动理论与刚体平面运动理论的综合应用论与刚体平面运动理论的综合应用中。中。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动例例10-1110-11 导槽滑块机构。导槽滑块机构。已知： 曲柄OA= r

47、, 匀角速度 转动, 连杆AB的中点C处连接一 滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O,A,O1三点 在同一水平线上, OAAB, AO1C= =30。 求：该瞬时O1D的角速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动（2）用合成运动方法，求用合成运动方法，求O1D杆上与滑块杆上与滑块C 接触的点的速度。接触的点的速度。 【解解】OA, O1D均作定轴转动均作定轴转动, AB作平面运动。作平面运动。（1）研究）研究AB: , 图示位置图示位置, 作作瞬时平动瞬时平动, 所以所以rvvrvAcB;rvA 动点动点: AB杆上C (或滑块C ), 动

48、系动系: O1D杆, 静系静系: 机架绝对运动绝对运动：曲线运动，方向相对运动相对运动：直线运动，方向/ O1D牵连运动牵连运动：定轴转动，方向 O1Drvvca?rv?ev理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动根据，作速度平行四边形作速度平行四边形reavvvrrvvCe2330coscoslrlrCOvCOveDODOe23sin/223 1111又 这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题论求解的综合性问题。理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平

49、面运动例例10-1210-12 如图所示，已知OA=20 cm,O1B=25cm,曲柄OA的转速n=70 r / min,当筛子CD运动到与OO1同一水平线上时，试求此瞬时筛子CD 的速度。906030，ABCDEO1O理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动【解解】滑块滑块A在滑槽内运动，则取滑块在滑槽内运动，则取滑块A为动点，动坐标系为动点，动坐标系固接在固接在BO1E上，则上，则A点之绝对速度、牵连速度和相对速度如点之绝对速度、牵连速度和相对速度如图所示。图所示。sradnOA/33. 7307030ABCDEO1OrvavevA理论力学电子教程理论力

50、学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动701sin30sin302073.25/302eaOAvvOAcm scmOAAO405 . 02030sin1由此可得到BO1E的角加速度为：sradAOveO/83. 14025.7311111.83 2545.78/BOvOBcm s筛子CD 作平动，则CDCvv求得vC的速度，即求得筛子CD的速度。BC杆作平面运动，如图所示，由速度投影定理：rvavevACvBvB60CABCDEO1O理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动cos60cos0cBvv45.78 291.56/cvcm s即筛子

51、CD的速度大小为91.56 cm / s, 方向如图所示。ABCDEO1O理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动1.选择题选择题(1)平面图形上任意两点A、B的加速度在其连线上的投 影分别用 和 表示，A、B两点的速度在其连线上的投影分别用 和 来表示，则（ ）ABAaABBaABAABBA.可能有 ， 必有 ABBABAaaABBABAB.必有 ,ABBABAABBABAaaC.必有 ,ABBABAABBABAaaD.可能有 ， ABBABAaaABBABA【思考与讨论思考与讨论】 A理论力学电子教程理论力学电子教程 第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动RMOCr A.22raMB.2)2(rAaMC.2)2(rRRrraMD.2)2(rRRrRaM C