课堂作业讨论题分析

1、作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学作业作业）以下两题）以下两题任选一题任选一题1 1、一个普通单摆，摆长为、一个普通单摆，摆长为, ,小球质量为小球质量为m m，不考虑摆杆质量和阻尼，分，不考虑摆杆质量和阻尼，分析单摆受扰动偏离垂直位置一个小角度析单摆受扰动偏离垂直位置一个小角度0 0后的受扰运动和平衡状态特征。后的受扰运动和平衡状态特征。2 2、试分析下面非线性系统的平衡状态邻域的受扰运动和平衡状态特征。、试分析下面非线性系统的平衡状态邻域的受扰运动和平衡状态特征。)xx(xxx)xx(xxx2221212222112111若将上述系统稍作改动，如下式，试分析平

2、衡状态邻域的受扰运动和若将上述系统稍作改动，如下式，试分析平衡状态邻域的受扰运动和平衡状态特征平衡状态特征)xx(xxx)xx(xxx1122212122221121作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学解题解题1：)t (sinmg)t (ml.),t ()t (x),t ()t (x21令并设0000)(,)(则,)t (xsinlg)t (x)t (x)t (x1221)B(,k ,kxe12100结合实际情况可知xe=0 x,在xe附近对B-1式线性化得到：)B( ,)( x ,)t (x)t (xlg)t (x)t (x20001002121作业分析作业分析

3、线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学从而解出)B( , 1lg,tsintcos) t (x) t (x30021设1x2x右图描绘出了x(t)的运动轨迹。由于B-2式只在 很小时成立0解B-3和图中状态轨迹只是平衡状态邻域局部正确 i.s.L稳定不论给定正数 多么小，只要取 ，并令,000就可保证02)t ( x作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学解题解题2-1：)1C()xx(xxx)xx(xxx，由2221212222112111xex0显然 是平衡状态，为方便将上式改写成极坐标形式，令)C( ,)(,sinxcosx211则上式改写为221C-2

4、式解为)C( ,t)t ()ke()t (t310212其中，待定常数k和 由初始条件 和 决定。例如取0)t (0)t (02011k),(),(则0000作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学分析：1）若x(0)受扰动位于单位圆上，k=0,状态轨迹以=1的频率在单位圆上反时针旋转1122210)t (x)t (xt)t ()t (或2）若x(0)受扰动位于单位圆外，k0,则状态轨迹以=1的频率由x(0)开始反时针旋转式逼近单位圆,与2）不同的是从单位圆内部可知：极限环-单位圆是稳定的单位圆是稳定的，但平衡状态平衡状态Xe=0并不符合李氏稳定并不符合李氏稳定定义。作

5、业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学解题解题2-2：)4C( ,)1(1为2方程改写)C( ,t)t ()ke()t (t510212解为2011k),(),(则0000仍假定初态三种和，对111000情况分析作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学分析：1）若x(0)受扰动位于单位圆上，k=0,状态轨迹仍以=1的频率在单位圆上反时针旋转1122210)t (x)t (xt)t ()t (或2）若x(0)受扰动位于单位圆外，k0,则状态轨迹以=1的频率由x(0)开始反时针螺旋式逼近平衡状态xe.可知：平衡状态Xe=0不仅符合李氏稳定定义，且只要

6、受扰后初态位于单位圆内，受扰运动将随时间增长逐渐逼近平衡状态，因而还是渐进稳定的渐进稳定的。而极限环-单位圆则是不稳定单位圆则是不稳定的，即一旦有扰动使原来处于极限环上的状态x(t)在某时刻脱离极限环，此后的状态将永远离开极限环。tek2)t (通过求解微分方程，根据解的性质判断通过求解微分方程，根据解的性质判断作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学上例也可不求解微分方程，通过李亚普诺夫第二法直接判断上例也可不求解微分方程，通过李亚普诺夫第二法直接判断)xx(xxx)xx(xxx1122212122221121)xx)(xx(xxxx)x(Vxx)x(V1222则取2

7、221222122112221的取xex0邻域R为单位圆，V(x)在单位圆内正定， 则为负定。)x(V所以状态空间原点是渐进稳定平衡状态，渐进稳定区域以0 x为圆心的单位圆作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学1、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统为xy,uxx0525100050250100010试判断：1）系统是否为渐进稳定；2）是否为BIBO稳定；并解释。2、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态是否为大范围渐近稳定：2211221xxxxxx上述两题求解参见上述两题求解参见线性系统理论习题集线性系统理论习题集5.1/5.3郑大钟郑大钟 清华清

8、华作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学提示：题2中，若取2221xx)x(V则只能得到半负定的)x(V此时，可使用定理定理8-21* 中 沿状态方程非零解不恒为0条件判断。)x(V作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学1001111 1xxuyx 例：例：考虑系统讨论其BIBS、BIBO稳定及BIBS、BIBO全稳定。解：解：系统是不可控但可观测的，可控模态是1。根据定理8-6（全体可控模态收敛），系统BIBS稳定，但非全稳定（须全体不可控模态不发散）。 又系统可控、可观的模态是1（收敛），故系统BIBO稳定。但不可控、可观的模态是1（发散

9、），故系统也非BIBO全稳定。12111100cAc)c ,A( ;Ab, b)b ,A(题1的求解可类似讲义第二部中定理定理8-7应应用用作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学0*12 31g ( )(1)(2)1k13=-3=-222)-534g( )ss ssjs，讨论题：给定单输入单输出连续时间线性时不变受控系统传递函数试： ）确定一个状态反馈阵 ，使闭环系统极点为，确定特征值均为 的一个降维观测器；）按综合结果画出整个闭环控制系统的结构图；）确定闭环控制系统的传递函数。第七章讨论题参考：第七章讨论题参考：作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北

10、京理工大学解：本题属于按配置期望特征值综合状态反馈矩阵和降维状态观测器的基本题。首先导出给定受控系统传递函数的一个状态空间描述：11112221220100001,0,1000231BAAABCBAA 1）按配置期望特征值确定状态反馈阵k，系统可控，因而可配置期望闭环特征值 系统特征多项式： 期望特征多项式： 考虑到（A，B）为能控规范形，可定出状态反馈阵：32( )det()320ssIAsss*321313( )(3)()()4432222sssjsjsss *001122304243321k作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学2）按配置特征值均为-5确定降维观

11、测器，系统可观，因而可构造特征值均为-5的m=n-rankC=3-1=2维降维观测器。考虑到（A,B,C）已为设计降维观测器所要求的标准形，即变换阵P=I2212222*2101,10231( )detdet3223( )(5)(5)102525223710372AAsssIAssssssssllT l 由7-72式和7-74式可定出降维状态观测器及系统状态x的重构状态10071470710,43341201yxyzzzyuzly 作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学3）基于上述结果，可画出对应的闭环控制系统结构图xAxBuyCx12zFzGyHuxQ yQ z x

12、yvu4）观测器的引入不改变状态反馈系统传函1320100001,0 ,10034411( )()443ABKBCg sC sIABKBsss 由可定出：作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学1()1)TA-FT=GC;2)H=TB;3)FxAxBuyCxxALC xLyBuzFzGyHuxTz讨论题：考虑连续时间线性时不变系统：已知它的一个全维状态观测器为试论证：上述观测器必是全维状态观测器的一类特殊情况，既也满足条件：特征值均具有负实部作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学解：本题属于对全维状态观测器属性的证明题，训练演绎推证能力 比较：

13、 和 可以看出，对给定全维状态观测器，有：()xALC xLyBu1zFzGyHuxTz,FALCGLHBxzTI再结合全维状态观测器要求（A-LC）特征值具有负实部，可验证满足：1)()()2)3)FGCLCAALCIAALC ITAFTHBIBTBALC特征值均具有负实部特征值均具有负实部证得：1(),xALC xLyBuzFzGyHuxTz是全维状态观测器的一类特殊情况作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学陈4-1 试求下列齐次方程的基本矩阵和状态转移矩阵 p124112221122( )( )01( )( )0( )( )1( )( )01tx tx tx t

14、x ttx tx tex tx t郑3.1 分别定出下列常量阵A的矩阵指数函数Ate201)03212)02003)10014)40AAAA作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学郑4.1&4.3 判断下列连续时间线性时不变系统是否完全能控、能观测010101)0010124311142xxuyx作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学例：例：利用秩判据判断系统的可控性利用秩判据判断系统的可控性（书上（书上P141P141例例7 7） 如设如设x x1 1(0)=10, x(0)=10, x2 2(0)=-1,(0)=-1,需要施加什么样

15、的力使平台需要施加什么样的力使平台在在1 1秒秒内静止？内静止？2讨论讨论:作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学随堂4:(郑)题6.2 给定单输入连续时间线性时不变系统:121310 xxu 1)是否可用状态反馈任意配置全部特征值?2)若能,求出使闭环特征值配置为 的状态反馈阵k2j (郑)题6.6 给定单输入连续时间线性时不变系统:21000020010020100021xxu 1)是否可用状态反馈任意配置全部特征值?是否可用状态反馈镇定?2)若不能,是否存在状态反馈阵k,使闭环特征值配置到 (1) (2) (3)1,2,3,42 1,2,343,2 1,3,423,4 作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学0*12 31g ( )(1)(2)1k13=-3=-222)-534g( )ss ssjs，讨论题：给定单输入单输出连续时间线性时不变受控系统传递函数试： ）确定一个状态反馈阵 ，使闭环系统极点为，确定特征值均为 的一个降维观测器；）按综合结果画出整个闭环控制系统的结构图；）确定闭环控制系统的传递函数。作业分析作业分析线性系统理论线性系统理论北京理工大学北京理工大学1()1)TA-FT=GC;2)H=TB;3)FxAxBuyCxxALC xLy