第3章截面图形的几何性质

1、第第3 3章章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 3- -1 形心、静矩形心、静矩3- -2 惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积3- -3 平行移轴定理平行移轴定理3- -4 转轴定理转轴定理2()0rrkCiiGG rkrkCiiGG即rGrGCii由合力矩定理 yxizirkjcGiGicrrrCiiGGrriiCGG故3 3-1 -1 形心、静矩形心、静矩一、形心一、形心 3 3-1 -1 形心、形心、 静矩静矩3上式两边分别投影iiiiiiCCCG xG yG zx,y,zGGG , rriiCiiimG = m gm当gi相同时，质心与重心重合. 质心质心: :ii

2、iiiiCCCm xm ym zx,y,zmmm投影:rriiCGG 3 3-1 -1 形心、形心、 静矩静矩4重心质心与形心的定义本质上是独立的。均质薄平板的形心均质薄平板的形心 iiCiiiVm =VVrr形心形心:当 为常数时(均质),形心与质心重合iiiiiiiCCCV xV yV zx,y,zVVV投影投影: :,g 同为常数，则三心合一。AzAzAyAyiiCiiC, 3 3-1 -1 形心、形心、 静矩静矩5计算方法：计算方法：1)积分法2)组合法AzdAzAydAyACAC，AzAzAyAyciiCciiC, 3 3-1 -1 形心、形心、 静矩静矩6可分割为4个矩形或2个矩形

3、求图示均质薄片重心(形心)。yxC1400 mm50mm16 mm16 mm16 mm828 mmAyAyCiiC0AxAxCiiC8821334860140071782813347008601400mm2 .511 3 3-1 -1 形心、形心、 静矩静矩二、静矩（二、静矩（S S）zyOdAzy面积对轴的一次矩称为静矩或一次矩。AzydASAyzdAS1.静矩的单位：长度的三次方;2.静矩可正可负也可能为零。 3 3-1 -1 形心、形心、 静矩静矩 3 3-1 -1 静矩、形心静矩、形心三三. .静矩与形心的关系静矩与形心的关系,ASyzCASzyC截面图形对于某一轴的静矩若为零，则该轴

4、必定经过截面的形心；截面图形对于形心轴的静矩恒等于零。四、组合图形的静矩四、组合图形的静矩iCiyzASiCizyAS3 3-2 -2 惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积一、定义一、定义面积对轴的二次矩称为惯性矩或二次矩。AzdAyI2AydAzI21.1.惯性矩：惯性矩：2.2.极惯性矩极惯性矩APdAI2zyOdAzy3.3.惯性积惯性积AyzyzdAI4.4.惯性半径惯性半径AIizzAIiyyzyPIII 3 3-2 -2 惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积 1. 单位：长度的四次方；3.惯性矩恒为正，而惯性积可正可负也可等于零；2.同一截面对于不同的坐标轴

5、的惯性矩和惯性积一般不同；4 4. .若若y、z轴有一个为对称轴，则轴有一个为对称轴，则Iyz恒等于零。恒等于零。二、常见图形的惯性矩和积惯性矩二、常见图形的惯性矩和积惯性矩zy2h2h2b2bC123hbIy123bhIz）（2212hbbhIP1.1.矩形矩形 3 3-2 -2 惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积y,z为形心对称轴2.2.圆形圆形zyC432dIp464dIIzy）（44132DIp）（44164DIIzya)实心(d)b)空心(D、d、 )Dd三、组合图形的惯性矩、积惯性矩、惯性积三、组合图形的惯性矩、积惯性矩、惯性积iyyIIippIIi zyzyII 3

6、 3-2 -2 惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积zyC431128dIIIzzz右半圆：答？右半圆zI41ii zzII421128dIIIzzz上半圆 3 3-2 -2 惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积464dIIzy解：解：？上半圆zI求例题例题3-2-1. 实心圆，直径为d，3 3-3 -3 平行移轴定理平行移轴定理已知Iy，Iz ，Iyz (y、z轴过截面形心C)，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。平行移轴定理平行移轴定理是指平面图形对于相互平行轴的惯性矩及惯性积之间的关系。1zC,bzz1ayy1AzdAyI211AdAay2)(222AaydAadA

7、yAAAydAzI211AdAbz2)(222AbzdAbdAzAAC点的坐标为（a，b） 3 3-3 -3 平行移轴定理平行移轴定理 1y1zy1yy1oz1zzabdA由于y、z轴通过图形的形心，则Sy=Sz=0。1.过形心的惯性矩最小；2. (a,b)表示C点的坐标，惯性积没有上述结论。AzydAyzI1111AdAbybz)(AabydAazdAbzydAAAA221AaaSIIzzz221AbbSIIyyyAabbSaSIIyzyzzy11即： 3 3-3 -3 平行移轴定理平行移轴定理 21AaIIzz21AbIIyyAabIIyzzy11例题例题 3-3-1 求图示截面图形的求图

8、示截面图形的Ic。iiicAyAy2012020120602012013020120)mm(9522221121dAIdAICCzz2335201201220120)mm(4410884233512020121202021zzzIIIc 3 3-3 -3 平行移轴定理平行移轴定理 解：解：2012012020zyCyczC3 3-4 -4 转轴定理转轴定理转轴定理转轴定理是研究坐标轴系绕原点转动时，平面图形对于这些坐标轴的惯性矩与惯性积之间的变化规律。cossin1zyzsincos1zyyAzdAyI211AdA)cosysinz(2AAAyzdAdAydAzcossin2cossin222

9、2已知Iy，Iz ，Iyz ， (逆时针转为正) ，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。O Oz一、转轴公式一、转轴公式 3 3-4 -4 转轴定理转轴定理 1y1yyyz1z1zz2sin2cos222sincossin221yzyzyzyzyzyIIIIIIIII同理可得：22211cosIsinIIIyzyzzy2sin2cos222sinsincos221yzyzyzyzyzzIIIIIIIII即： 3 3-4 -4 转轴定理转轴定理 11yzyzIIII二、主惯性轴、形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩二、主惯性轴、形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩 主(惯性)轴：对于该轴系的惯性积为零。形

10、心主轴：过形心的主惯性轴。主惯性矩：相应主惯性轴的惯性矩。形心主惯性矩：相应形心主惯性轴的惯性矩。011zyI令：yzzyIIItan220得：2222zyyzyzminmaxIIIIIII形心主惯性平面：形心主轴与杆轴线所组成的平面。 3 3-4 -4 转轴定理转轴定理 3 3-4 -4 转轴定理转轴定理 三、小结三、小结 1.若截面图形有对称轴，则对称轴为形心主轴；2.任意正多边形的形心轴都是形心主轴；3.当截面图形有三根货三根以上的对称轴时，则图形的形心轴均为形心主轴；4.若已知图形对某一对主轴的惯性矩相等，则通过该点的任意轴为主轴，其惯性矩相同。例题例题3-4-1 求图示图形的形心、惯

11、性矩、惯性积、惯性主轴及主惯性矩。10533012015030120105301206030120Czz90yO903030301201、形心、形心903301201653012090301201530120CyCzCy2、惯性矩、惯性矩23239030120121203015301201230120zI4231013284165301201230120i zzIIiiCiCAzAziiCiCAyAy 3 3-4 -4 转轴定理转轴定理 解：解：z90yO90303030120CzCy,10142564yI41012636yzI26142561328412636220tan0001469133.或4101125minI41026415maxI3、惯性主轴、惯性主轴4、主惯性矩、主惯性矩2222zyyzyzminmaxIIIIIII 3 3-4 -4 转轴定理转轴定理 同