圆锥曲线之轨迹问题例题习题

1、专题：圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪 1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程

2、即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。 4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。 5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。二、小试牛刀 1.已知M（-3,0

3、），N（3,0）,则动点P的轨迹方程为 析： 点P的轨迹一定是线段MN的延长线。故所求轨迹方程是 2.已知圆O的方程为，圆的方程为，由动点P向两圆所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程为 析：圆O与圆外切于点M(2,0) 两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为 3.已知椭圆，M是椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹方程为 析：设P 又 由中点坐标公式可得： 又点在椭圆上 因此中点P的轨迹方程为 4.已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内的一定点，P是动点，若,则点P的轨迹一定过三角形ABC的 重 心。析：设点D为B

4、C的中点，显然有 故点P的轨迹是射线AD， 所以，轨迹一定过三角形的重心。三、大显身手1、直接法 例1、设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，若且,则P点的轨迹方程为 解：设 又 所以又 所以 而点与点关于轴对称，点的坐标为 即又 所以 这个方程即为所求轨迹方程。变式1、已知两点M（-2,0），N（2,0），点P满足,动点P的轨迹方程为 解:设则： 又 化简得所求轨迹方程为：2、定义法例2、已知圆A的方程为，点B（-3,0），M为圆O上任意一点，BM的中垂线交AM于点P，求点P的轨迹方程。解：由题意知：又圆A的半径为10，所以 即点P的

5、轨迹是以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆 （椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为变式2、已知椭圆的焦点为，P是椭圆上的任意一点，如果M是线段的中点，则动点M的轨迹方程是 解：因为M是线段的中点，连接OM，则由椭圆的定义知： 即点M到定点O、定点的距离和为定值，故动点M的轨迹是以O、为焦点，以为长轴的椭圆，其方程为（说明：此题也可以用代入法解决） 3、坐标转移法（代入法） 例3、从双曲线上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。解：设Q则由可得 N点坐标 设由中点坐标公式可得： 又点Q在双曲线上，所以 代入得 化简得 即为所求轨迹

6、方程。 变式3、自抛物线上任意一点P向其准线引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R，求点R的轨迹方程。解：设 抛物线的方程是所以 直线OP的方程是 直线QF的方程是 联立两方程得： 又 所以 化简得：即为所求轨迹方程。4、参数法 例4、设椭圆方程为，过点M（0,1）的直线交椭圆于A、B，点P满足,点，当直线绕点M旋转时，求： （1）动点P的轨迹方程； （2）的最大、最小值。解：（1）设直线的方程为代入椭圆方程得设 则 设动点P的坐标为，由可得消去参数即得所求轨迹方程为：当斜率不存在时，点P的坐标为（0,0）显然在轨迹上，故动点P的轨迹方程为。（2）P点的轨迹方程可以

7、化为所以可设点P的坐标为 则所以 当时 当时 变式4、过抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB.(1) 求弦AB的中点的轨迹方程；（2）证明：直线AB与x轴的交点为定点。解：（1）由题意知OA的斜率存在且不为零，设为则直线OA的方程为与抛物线联立可得点A的坐标为 同理可得点B的坐标为 设弦AB的中点为M（x,y）则 消去得弦AB的中点的轨迹方程为（2）直线AB的斜率为 所以，其方程为 令 得 故直线AB与x轴的焦点为定点（2,0）5、交轨法 例5、垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，为双曲线的顶点，求直线与的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状。解：.解：(1)设M点的坐标为(x1,y1)，则

8、N点坐标为(x1,y1),又有则A1M的方程为：y= A2N的方程为：y= ×得：y2=又因点M在双曲线上，故代入并整理得=1.此即为P的轨迹方程.变式5、设点A、B为抛物线上除原点以外的两个动点，已知OAOB,OMAB于M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解:设OA=y=kx, 则， 得 同理 B(2pk2, -2pk) AB: . 而op: . 为AB与的交点，联立 (1)×(2)消去k, y2=-(x-2p)x, x2+y2-2px=0(x0)即为所求.四、享受战果1、已知，则动点P的轨迹方程为 析:满足条件的点在线段上，故轨迹方程是 2、经过抛物线焦点的弦的

9、中点的轨迹方程为 析：设过焦点的弦AB所在的直线方程为代入抛物线方程消去的设 AB的中点为则 消去参数得 这就是所求轨迹方程。3、与圆外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为 析：若与圆外切，又与y轴相切的圆在轴的左侧，则所求轨迹方程为若与圆外切，又与y轴相切的圆在轴的右侧则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径2等于动圆圆心到轴的距离，故所求轨迹方程为 4、设是椭圆的左右顶点，是垂直于长轴的弦的端点，则直线与的交点的轨迹方程为 解析：设交点P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共线，A2、P2、P共线，解得x0= 5、已知椭圆的焦点为

10、，A是椭圆上任意一点，过点向的外角平分线作垂线于D，则点D的轨迹方程为 解：设的延长线交直线于P，由椭圆的定义知：=8 又 代入得 即为点D的轨迹方程。6、过原点的双曲线以F（4,0）为一个焦点，且实轴长为2，则此双曲线的中心的轨迹方程为 析：设双曲线的中心为，则双曲线的另一个焦点为 又双曲线过原点，且实轴长为2， 所以 即 化简得： 7、在中，已知B（-3,0），C(3,0),ADBC于D, 的垂心H分所成的比为。（1）求点H和点A的轨迹方程；（2）设P（-1,0），Q（1,0）那么能成等差数列吗？解 (1)设H点的坐标为,对应的A的坐标为, 则D的坐标为, 由H分有向线段 此即点H的轨迹方

11、程. (2)由(1)可知, P, Q分别为椭圆的左右焦点, 设H(x, y), 且数列, 则 8、 已知直线l与椭圆 有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.解： 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得化简后，得关于的一元二次方程于是其判别式 由已知，得=0即 在直线方程y=kx+m中，分别令y=0，x=0，求得 令顶点P的坐标为(x，y)，由已知，得 代入式并整理，得 即为所求顶点P的轨迹方程. 9、动点P到直线x=1的距离与它到点A（4,0）的距离之比为2，则点P的轨迹方程是 略解：由题意

12、知：点P到点A（4,0）与它到直线x=1的距离之比为 设P(x,y)则化简得： 10、已知A（0,7），B（0，-7）C（12,2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求椭圆的另一焦点F的轨迹方程。解：由题意得： 而 所以 故动点F的轨迹是分别以A、B为焦点，实轴为2的双曲线的下半支，其方程是 11、已知圆O的方程，若抛物线过点A(0，-1),B(0,1)，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点的轨迹方程。 解： 首先 设焦点为F（x,y）,准线（即圆的切线）为 L A到L的距离为a， B到L的距离为b 那么 根据抛物线的性质 有 a=|AF| b=|BF| 于是 |AF|+|BF|=a+b 而a+

13、b 恰是圆的直径(画个示意图 想想为什么) 既有 |AF|+|BF|=4 故 动焦点F的轨迹是分别以A,B为焦点的椭圆，而且半长轴是2 故所求轨迹方程是。 12、已知圆O的方程，圆的方程，由动点P向圆O和圆所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程。解:设由动点P向圆O和圆所引的的切线的切点分别为A、B，则由题意有： 即 设则 即为动点P的轨迹方程。 13、已知抛物线，过顶点的两弦OA、OB互相垂直，以OA、OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹方程。解：设 由OAOB 可得.可以求得，以OA为直径的圆的方程为： 即 .同理，以OB为直径的圆的方程为设，点P为两圆交点，则所以，可以看作是关于的方程的两根

14、整理得由根与系数的关系，可知 结合式，有 即 所以 P的轨迹方程为 故 点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉原点）.(另法)；解：设，直线AB的方程为（显然） 则 （两边同时除以） OAOB 则代入直线AB的方程：.OPAB OP的方程为： .、式联立消去，得到P的轨迹方程当AB轴时，斜率不存在，此时P点为AB中点，且在轴上，坐标为满足上面的方程，因此P点的轨迹方程为. 14、已知三点N (0，,P (,其中，动点满足且(1) 求动点M的轨迹方程；(2) 过点F作直线与动点M的轨迹交于A、B两点，求的面积的最小值。解：（1）动点满足，且 动点M的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线。 所以点M的

15、轨迹方程是.（2）显然直线AB的斜率存在设为k，则直线AB的方程为与抛物线方程联立消去y得： 设 则 而 所以 当时，面积的最小值为 15、已知点Q位于直线右侧，且到点F（-1,0）与直线的距离之和为4. （1）求动点Q的轨迹C的方程； （2）直线过点M（1,0）且交曲线C于A、B两点，点P满足,且 ,求点E的横坐标的取值范围。 解：（1）设由题意有动点Q的轨迹C为以为焦点，坐标原点为顶点的抛物线在直线右侧的部分.（2）由题意可设直线的方程为设 由可得由题意 解之得 由 可知：点P为线段AB的中点， 由可知 EPAB 整理得的取值范围是 16、设双曲线C1的方程为，A、B为其左、右两个顶点，P

16、是双曲线C1上的任意一点，引QBPB，QAPA，AQ与BQ交于点Q.（）求Q点的轨迹方程;（）设（I）中所求轨迹为C2，C1、C2的离心率分别为e1、e2，当时，e2的取值范围. （I）解法一：设P(x0,y0), Q(x ,y ) 经检验点不合 因此Q点的轨迹方程为a2x2b2y2=a4（除点（a,0）,(a,0)外） （I）解法二：设P(x0,y0), Q(x,y), A(a, 0), B(a , 0), QBPB, QAPA （I）解法三：设P(x0,y0), Q(x,y), PAQA （1）连接PQ，取PQ中点R17、如右图，给出定点A(a，0)(a0)和直线l：x1B是直线l上的动点

17、，BOA的角平分线交AB于C求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系依题意，记B(1，b)(bR)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=bx设点C(x，y)，则有0xa，由OC平分AOB，知点C到OA、OB距离相等根据点到直线的距离公式得依题设，点C在直线AB上，故有将式代入式得整理得 y2(1a)x22ax(1a)y20，若y0，则(1a)x22ax(1a)y2=0(0xa)；若y0，则b=0，AOB，点C的坐标为(0，0)，满足上式综上得点C的轨迹方程为(1a)x22ax(1a)y2=0(0xa)(i)当a1时，轨迹方程化为 y2x(0x1)此时，方程表示抛物线弧段；(i

18、i)当a1时，轨迹方程为所以，当0a1时，方程表示椭圆弧段；当a1时，方程表示双曲线一支的弧段18、已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；.解：(1)点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0)19、已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.解:（1）设由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ， 故， 所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，