2019全国各地中考数学压轴大题几何综合

1、2019全国各地中考数学压轴大题几何综合一、圆中的计算和证明综合j1. (2019杭州)如图，已知锐角三角形ABC内接于圆。，ODLBC于点、D,连接04.(1)若 N5AC=60。，1求证：。=20A.当OA=时，求aABC面积的最大值.(2)点 E 在线段 04 上，0E=0D,连接。七，设NABC=?N0ED, ZACB=nZOED3”，是正数)，若NA8CVNAC8,求证：机-+2=0.1则 N3OD= BOC=ZBAC=60q91 x：.ZOBC=30% ：.OD=2OB=2OA.BC长度为定值，AA8C面枳的最大值，要求边上的高最大，3_当 AD 过点。时.AO 最大，B AD=A

2、0+0D 2 ,113 3>/3 ABC 面积的最大值=2 xBCxAD= 2 x2OBsin60°x 2=4：(2)如佟I 2,连接oa设：ZOED=x,则 NA8C=/心 NACB=nx,1则 N3AC= 1800 - ZABC - ZACB=180° -c -，优=2 ZBOC= ZDOC.? ZAOC=2ZABC=2mx.，NAOD= ZCOD+ZAOC= 1800 - mx - nx+2mx= 180°+?lv - nx.；OE=OD, ：. ZAOD=180° - 2a,即:180°+mx-HA=180°-2x,化简

3、得一 -+2=0.2. (2019宁波)如图1,。经过等边ABC的顶点A, C (圆心。在ABC内)，分别与AB. C3的延长线交于点。，E,连结OE, BFLEC交AE于点、F.(1)求证：BD=BE.(2)当 AF： EF=3： 2, AC=6 时，求 AE 的长. AF(3)设EF =x» tanZDAE=y.求y关于x的函数表达式：如图2,连结。凡OB,若AEC的面积是。”面积的10倍，求y的值.图1图2证明：（1） 4BC是等边三角形.，NB4C=NC=60。，； NDEB=NBAC=60。, ZD=ZC=60°,:./DEB=/D,:BD=BE；（2）如图1,过

4、点A作AG_L8C于点G,:ABC是等边三角形，AC=6,5 BC.RC = 3:.bg=22,在 RlZA8G 中，AG=BG 3gVBF1ECJ.BF/AG,AF _ BG.丽瓯VAF： £F=3： 2,_2:BE=3bG=2,：.EG=BE+BG=3+2=5,在由八4叩中，AbJ/EG 2T （阪2/二2质（3）如图1,过点E作EHL4。于点从图1VZEBD=ZABC=60°,EH.帚。如 .在R5E中，丽】“60可.除 BE yBE ：.EH= 2, BH=2 ,险驾二；BG=xBE,:AB=BC=2BG=2xBE,1，AH=AB+BH=2xBE+2bE=（ 2.v

5、+ 2 ） BE,EH _当即如叫2户湖"1/.在 RlAAHE 中，tan/E4D=2 'V3 ）,=叔+1 ;如图2,过点。作。MLBC于点”，设 BE=a,BG研 .瓦苫 * CG -BG=xBE=ax» * EC = CG+BG+B E=a+2ax,X 1.EM= 2 EC 2+心 工：.BM=EM - BE=a. - %,: BF/AG,:EBFsAEGA,BF 二 BE 二 a 二 1 AG EG a+ax 1+x. 9VAG=V3BG=V3ax：.BF= x+1x+1 .即创1 -五一/1、f k 丫 夕 1.。尸3的面枳=2-2x+12,E'

6、n X ma式&+2ax).,.AEC 的面积=22,/ AAEC的面枳是aOFB的面积的10倍，.y x V3ax (a+ 2ax) =10 Xy X T77a) 乙乙,/. 2x2 - 7a+6=0,f 3 解得：12 2.涔婢,3. (2019温州)如图，在aABC 中，NBAC=90。，点、E 住 BC 边上,且 CA = CE,过 A, C,E三点的。交A8于另一点凡 作直径A。，连结OE并延长交AB于点G,连结CD, CF.(1)求证：四边形OCFG是平行四边形. 2(2)当BE=4, CO=XaB时，求。的直径长.(1)证明：连接AE, VZBAC=90%。/是。的直径，

7、9：AC=EC.：.CF±AE.,AD是。的直径， :.ZAED=90Q.即 GDLAE, J.CF/DG.:从。是。的直径，/. ZACD=9Q：.ZACD+ZBAC= 180°,：.AB/CD, 四边形DCFG是平行四边形；2(2)解：由 CD=*AB,设 CO=3x, A3=8x, *. CD=FG=3x9NAOF=/COD,：.AF=CD=3x,，8G=8x - 3x - 3x=2t,: GECF,理二跑二2 瓦奇7,TBE=4,AC=CE=6,，3C=6+4=10,.AB=V1 02-62=8 = 8x,/.x=h在 RtzMC产中，AF= 109 AC=6,cf

8、=Vs2-F62 = 3a/5 ,即。的直径长为3遍. . (2019武汉)已知A8是。的直径，AM和助V是。O的两条切线，OC与。相切于点E,分别交AM、BN于D、C两点.(1)如图 1,求证：AB2=4AD-BCt(2)如图2,连接OE并延长交AM于点凡 连接CF.若NAOE=2NOFC, AD=1,求图中阴影部分的面积.(1)证明：连接OC、0D,如图1所示:AM和8N是它的两条切线，J.AMLAB. BNtAB,：.NAO£+N3CE=180。切。于£：.ZODE= 2 NADE, ZOCE= 2 /BCE,：.NODE+NOCE=90。,：.NQOC=90。，NA

9、OO+NCO3=90。，NAOD+NAOO=90°,:.ZAOD=ZOCB.NOAD=NO8C=90。:./XAODsABCO,AD OA .-.BO=BC, :.oa2=adbc.x.二 AB） 2=AD-BC. ：.AB2=4ADBC；（2）解：连接OO, OC,如图2所示:ZADE=2ZOFC9：.ZADO=ZOFC.* ZADO= NBOC, NBOC= /FOC,：.ZOFC=ZFOC,:CF=OC.，CO垂直平分OF,：OD=DF,OC=CF - OD=DF 在CO。和CFO 中，CD二CD,：.ACODACFD (SSS),：.ZCDO=ZCDF, Z ODA+ Z C

10、DO+ Z CDF= 180。，：.ZODA=W=ZBOC,：.ZBOE=20q9叵在 Rt/kDAO, AO= 3 OA, RNOC 中，BC=«OB,：.AD： BC=1： 3,VAD=h：.BC=3. 08=6,X120- x(m)2'.图中阴影部分的面枳=2Sa8C - S i,niOBE=2x2xV3x3 -360=3/5 - ji.A D MA D FMBC NC N图1囱25.（2019宜昌）如图，点。是线段A”上一点，AH=3,以点。为圆心，04的长为半径作 。0，过点”作AH的垂线交。于C, N两点，点B在线段CN的延长线上，连接A8 交OO于点M，以AB，

11、8c为边作%BCD.（1）求证：AO是。的切线；（2）若OH=3AH,求四边形AHCO与。重叠部分的面积：15解：(1)证明：:四边形A3CD是平行四边形，J.AD/BC. ZAHC=90，NH4D=90c, Rp OALAD,又。4为半径，：.AD是。的切线；(2)解：如右图，连接0C, 。=2。八，AH=3,A 0/7=1, 0A = 2. 4 RtZkOHC 中，NOHC=90°, 0H= 2 0C.，NOCH=30。，/. ZA0C= ZOHC+ZOCH= 120°,120, 7rx 於 4兀:S , it；oAc=36°= 3 ,vcw=V22-12-V

12、3,x 返S： VHC= 2xlxV3 = 2 ,4兀V3工四边形ABCD ,j0O 1苴色部分的而积=S oac+S onc= 3 + 2 ： (3)设。半径 0A=r=OC, 0H=3r,在 RtZOC 中，om+HOnoc2,：.(3-r) 2+12=/，_5&Ar=3,则 0=3.5 915在 RtAABH 中，AH=3,4 + 1 = 4.则 AB= 4 ,在 RtZUC中，AH=3, CH=NH=1,得在BMN和8CA中，NB=/B, /BMN=/BCA,:BMNsBCA,5T理 BN JN_ 工AC = AB .、a/ 10 =4 = 3 ,逗:MN= 3 ,4 VT3，

13、OH=3, mn= 3 .6. (2019襄阳)如图，点E是aABC的内心，力上的延长线和A3C的外接圆00相交于点。，过。作直线OG8c.(1)求证：OG是。的切线；(2)若。E=6, BC=m,求优弧BAC的长.(1)证明：连接。交3c于从如图, 丁点E是ABC的内心，A。平分N8AC即 N3AD=NCAO,/.即=CD,J.ODLBC. BH=CH,: DGBC,：.ODLDG,是。的切线；(2)解：连接以入OB,如图，丁点E是ABC的内心，/. NABE=NCBE,： /DBC=NBAD,：.ZDEB= NBAD+NABE= ZDBC+ZCBE= NDBE,；DB=DE=6,x: BH

14、=?BC=m,BH 蓊 V3在 RtZXBD”中，sin ZBDH= BD = 62,/. NBDH= 60。,而 OB=OD,.08D为等边三角形，：.ZBOD=60 0B=BD=6,A ZBOC= 120%(360-120) 兀，6 _I1，优弧BAC的长=180=8九Z （2019鄂州）如图，也是。的切线，切点为A, AC是。的直径，连接OP交。于E.过A点作A31.P。于点。，交。于以连接8C, PB.（1）求证：PB是。的切线：（2）求证：七为用8的内心：(3)若 cos/P4B= 10 , BC=9 求 P。的长.A(1)证明：连结。3,VAC为。0的直径，NA8C=90。，9AB

15、±PO.J.PO/BC：.ZAOP=ZC, /POB=/OBC,OB=OC,；.NOBC=NC,：./AOP=NPOB,在ZkAO尸和50尸中，'OA 二OB< ZAOP=ZPOBPO=PO ,：./AOP/BOP (SAS),：.ZOBP=ZOAP,vm为。的切线，NOAP=90。，:.NO8P=90。，是。的切线：(2)证明：连结AE,*：PA为。的切线，；NHE+NOAE=90。,9：AD±ED.，NE4O+NAEO=90。，9：OE=OA,：.ZOAE=ZAED.：.ZPAE=ZDAE,即 EA 平分NBA。，9PA. P£为。的切线，平分N

16、AP8，E为用8的内心：(3)解：V ZPAB+ZBAC=90°9 ZC+Z5AC=90%：.ZPAB=ZC,Vio/. cosZC=cosZPAB= 10 ,BC J_ VIo6： RtzX/A5C lpt cosZC= AC = AC = 10 , Vio.,.ac=VTo. ao= 2 ,: 以 OsAAB。，PO _ AO.-.ac=bc,Vio访hAC 710.PO=BC = 1=5.8.(2019荆门)己知锐角ABC的外接圆圆心为O,半径为R.AC(1)求证：ninB =2R；(2)若A5C 中NA=45。，N8=60。，AC=、B,求 8。的长及 sinC 的值.解：(

17、1)如图1,连接AO并延长交。于D,连接CQ,则NCD=90。，ZABC= ZADC.AC _ ACV sin ZABC=sin ZADC= AD *2R,AC/. sinB =2R；AC(2) VsinB =2/?,AC AB 二 BC 同理可得：sinB sinC sinA =2/?,2R=sin60° =2, 3c=2RsmA = 2sin45。=血，如图2,过。作CEL48于E,返V6.：. BE=BUcosB=E3s600= 2 , AE=ACcos45°= 2 .：.AB=AE+BE= 2,48=ARsinC, AB 叵+圾/.sinC_ 2R =49. (20

18、19孝感)如图，点/是的内心，8/的延长线与ABC的外接圆。O交于点。, 与AC交于点E,延长C。、船相交于点凡NAOF的平分线交A尸于点G.(1)求证：DG/CA,(2)求证：AD=ID：(3)若。E=4, BE=5,求引的长.，N2=/7,QG 平分NAOF,/.Zl = 2 NA。尸，? ZADF= NA8C,AZl = Z2tVZ3=Z2,AZl = Z3t：.DG/ACx(2)证明：点/是A45C的内心,N5=N6,</ Z4=Z7+Z5=Z3+Z6,即 N4=NDV,：.DA=Dh(3)解：VZ3=Z7, ZADE=ZBAD.:DAEsADBA,：.AD： DB=DE： DA

19、, KJ AD： 9=4： AD.，AD=6.:D1=6,：.BI=BD-DI=9-6=3.10. （2019荆州）如图，AB是。的直径，点C为。上一点，点P是半径上一动点 （不与0, 8重合），过点P作射线1_LA8,分别交弦3G BC f。，七两点，在射线/ 上取点F，使FC=FD.（1）求证：FC是。的切线：（2）当点E是BC的中点时，若NB4C=60。，判断以O, B, E, C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由； 2若tan/ABC=4,且A8=20,求。七的长.解：(1)证明：连接OC,：OB=OC,：40BC=N0CB,PF LAB.：.N8PO=90。，AZO5C+ZB

20、DP=90%VFC=FD：.ZFCD=ZFDC； NFDC=NBDP：.ZOCB+ZFCD=90Q：.OC±FC，尸C是。的切线.(2)如图 2,连接 OC, OE, BE, CE,以O, B, E, C为顶点的四边形是菱形.理由如下:AB 是直径，NAC8=90。.VZBAC=60°, ：.AB0C=2Q点E是BC的中点，：.ZBOE=ZCOE=609：OB=OE=OC:BOE, OCE均为等边三角形，：.OB=BE=CE=OC四边形BOCE是菱形：3_若 lanNABC=4,且 A8=20,求 OE 的长.AC2BC-tanNA8c=4.设八。一3k, BC=4k由勾股

21、定理得AG+BC2!",即(3k) 2+)2=2* 解得k=4,"C=12, BC=16,.点E是BC的中点，：.OE±BC. BH=CH=8,：OExBH=OBxPE,即 10x8=1 OPE,解得：P£=8, 由勾股定理得 op-V0E2-PE2=V1 02-82-6.郎=08-。尸=10-6=4,DP333<? BP = tanZABC =，即 DP= &BP= 4=3：.DE=PE- DP=S-3 = 5.H. (2019株洲)四边形ABC。是。的圆内接四边形，线段A8是。的直径，连结AC、8。.点是线段8。上的一点，连结A”、CH

22、,且NAC=NC8。，AD=CH, BA的延长线与C。的延长线相交与点P.(1)求证：四边形AOC是平行四边形：(2)若 AC=8C, pb=4>PD, AB+CD=2 (加+1)求证：DHC为等腰直角三角形：求8的长度.证明：（1） : /DBC=/DAC, ZACH=ZCBD：.ZDAC= ZACHJ.AD/CH,且 AO=C.四边形ADCH是平行四边形（2）.A8是直径/. ZACB=90Q=ZADB,且 AC=3CNC45=NA8C=45。，：.ZCDB=ZCAB=45Q9AD/CH：.ZADH= NCO=90。，且NCO8=45。：.ZCDB= ZDCH=45Q：.CH=DH,

23、且NCHO=900:ZHC为等腰直角三角形：四边形A8CO是。的圆内接四边形，；NADP=NPBC,且NP=NP:.AADPsACBPAD _ PDA BC -PB ,且 pb=PD,AD 二 1.BC 正,AD=CH,CH 二 1.蔡飞VZCDB=ZCAB=45°, NCHD= NACB=90。:ZHDs xaCBCD 二 CD 二 1/. AB "BC "V5：.AB=CD9：AB+CD=2 (V5+l)的CD+CD = 2 (V5+l)：.CD=2,且OC为等腰直角三角形:CH=612. (2019 邵阳)如图1,已知。外一点P向。作切线以，点A为切点，连接

24、尸。并延 长交。于点5,连接A。并延长交。于点C,过点。作CD_LP8,分别交尸B于点E, 交。于点。，连接AD(1)求证：AAPOOCA：(2)如图2,当AO=A。时求NP的度数：连接A8,在。O上是否存在点。使得四边形APQB是菱形.若存在，请直接写出CQ 的值；若不存在，请说明理由.A ®1解：(1)证明：如图1, 丁阴切。于点A, AC是OO的直径,：.ZPAO=CDA=90Q:CD1PB：.ZCEP=90°：.ZCEP=ZCDAJ.PB/AD：.ZPOA = ZCAOOCA(2)如图2,连接ODAD=AO, OD=AO.,.O4D是等边三角形AZOAD=60C:

25、PB/AD：.ZPOA = ZOAD=6GQN 用 0=90。A ZP=900 - NPO4=90。- 60° = 30°存在.如图2,过点8作8QJ_AC交。O于。，连接尸。BC, CQ, 由得：NPOA=60。，ZB4O=90°：.ZBOC=ZPOA=60Q：OB=OC：.ZACB=60°：.ZBQC=ZBAC=30Q9：BQ±AC.：.CQ=BC；BC=OB=OA:CBQ9AOBA (AAS)：.BQ=ABVZOR4 = ZOM = 30°：.AB=AP：.BQ=AP9： PA LACJ.BQ/AP，四边形A30P是平行四边形9

26、：AB=AP，四边形月3QP是菱形：.PQ=ABPQ ABCQ =BC = tanZACB=tan600=V3图1图213. （2019益阳）如图，在RtA48C中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆。交AC于点M 延长MN至D,使ND=MN,连接A。、CD, CD交圆。于点£（1）判断四边形AMCO的形状，并说明理由；（2）求证：ND=NE;（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下:是RtABC中A8的中点，：.CM=AM,CM为。的直径，/. NCNM=90。，J.MDLAC,:.AN=CN, :ND=MN, 四边形AA/CO是菱形.（2）.四边形CEN时为。的内接四边形,:N

27、CEN+NCMN=180。, ； NCEN+/DEN=T80。,：/CMN=NDEN,;四边形4WCD是菱形，:CD=CM,：4CDM=/CMN,：.ZDEN= 4CDM,：.ND=NE.(3) ,: NCMN=/DEN, NMDC=NEDN,：.AMDCs4EDN, MDDC.而而，2x 二5DN=x,则 MD=2x,由此得 2 -x, 解得：1=“或=-泥(不合题意，舍去).?.MN=V5,二,MN为NXBC的中位线,:BC=2MN,，8C=2近14. （2019怀化）如图，A、B、C、。、E是。上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA,得到一个五角星图形和五边形MNFCH.（1）计

28、算NCA。的度数：（2）连接AE,证明：AE=ME；（3）求证：ME2=b%8£解：（1） TA、B、C、D. E是。上的5等分点, 360°，CD的度数=5=72°，Z COD=70°9： ZCOD=2ZCADAZCAD = 36°(2)连接AE:A、B、C、D. E是。O上的5等分点,-.AB=DE=AE=CD=BCZCAD= ZDAE= NAE8=36。：.ZCAE=12Q,且 N4E3=36。/. NAME=72。/. ZAME= ZCAE；.AE=ME(3)连接A3VxB=DE=AE=CD=BC/. ZABE= NDAE,且 NAEB

29、= /AEB:小ENs XBEkAE _ NE.沃 k：.AE2=BENE,且 AE=MEMVBE-NE.S=DE="S=CD=BC：.AE=AB, ZCAB=ZCAD= ZDAE= NBEA=NABE=36。:/BAD=/BNA=T2°:.BA=BN,且AE=ME：.BN=ME:BM=NE:ME=BE*NE=BM-BE15. （2019扬州）如图，AB是。的弦，过点。作OC_LOA, 0c交A8于P, CP=BC.（1）求证：是。的切线：（2）已知N3AO=25。，点。是AmB上的一点.求NAQB的度数：若。4= 18,求AmB的长.(1)证明：连接。& 04 =

30、 08,：.Z0AB=Z0BA,；PC=CB,：NCPB=NPBC, : NAPO=NCPB,：.NAP0=NCBP,9：0C±0A.：.NAOP=90。，：.ZOAP+ZAPO=90%：./CBP+NABO=9。,：.ZCB0=900, 8C是。的切线；(2)解：VZBAO=25°,/. ZABO=25Q, NAPO=65。,：.ZPOB=ZAPO- ZABO=40°9:.ZAQB= 2 ( ZAOP+ZPOB) = 2130°=65°：: NAQ8=65。，/. NAO3=130。，230兀 X 18/. AinB的长=AQB的氏=180

31、?37r.16. (2019泰州)如图，四边形A8C。内接于OO, AC为。的直径，。为尤的中点，过点。作。EAC,交5c的延长线于点£(1)判断。E与。的位置关系，并说明理由；(2)若。的半径为5, A8=8,求CE的长.理由：连接O。，AC为。的直径,/. ZADC=90%为AC的中点,.-.AD-CD,：.AD=CD.：.ZACD=45% 。4是AC的中点,，NO0C=45。,9DE/AC.A ZCD£=ZDCA =45°,AZOD£=90% 与。相切： （2） ;。的半径为5,：.AC=O,：.AD=CD=52, AC为。的直径，:.NA8C=9

32、0。， A8 = 8,：.BC=6. ； NBAD=NDCE, ? NABD=NCDE=45。./. ABDsACDE,AB AD .CD=CE,8572CE , 2517. （2019济宁）如图，A3是。O的直径，。是。上一点，。是尤的中点，E为0。延长 线上一点，且NCAE=2NC, AC与3。交于点H,与0E交于点F.（1）求证：AE是。的切线：2（2）若OH=9, tanC=4,求直径A8的长.To-J » 解：(1) £是AC的中点， ：.OE±AC.：.ZAF£=90% NE+NEAF=90°，V ZAOE=2ZC, ZCAE=2Z

33、C ，NCAE=NAO£ ，NE+NAOE=90。， ，NE4O=90。， ，AE是。的切线：(2) ,; NC=NB.：OD=OB,:NB=NODB, :"ODB=NC, HF 3.tanC=tanNODB=DF =4， ，设 HF=3x，DF=4x,:DH=5x=9, 9 ¥=y,3627：.DF= 5 , HF= 5， : nc=nfdh, ndfh=ncfd, :ADFHsCFD,DF FH,而=而，36 » 362748：.CF=5= 5 ,48 ：.AF=CF= 5 ,设04 = 0。=相36：.0F=x- 5 ,9：AP+OF2=OA2,4

34、836/. ( 5 ) 2+ (x- 5 ) 2=f,解得：x=10,，。4 = 10,，直径AB的长为20.18. （2019临沂）如图，A8是。的直径，C是。上一点，过点。作OOL4&交3C的延长线于。，交AC于点E, F是OE的中点，连接CF.（1）求证：CF是。的切线.（2）若乙4=22.5。，求证：AC=DC.(1)证明：是。的直径,:.ZACB=ZA CD=90°,.点F是ED的中点，:CF=EF=DF,：.ZAEO= NFEC=4FCE,9：0A = 0C.：.ZOCA = ZOAC,9ODLAB.：.ZOAC+ZAEO=90Q.：.ZOCA+ZFCE=90Q,

35、 RP OCLFC.C尸与。o相切：(2)解：9：ODLAB, ACLBD,：.ZAOE=ZACD=90V NAEO=NDEC,，NOAE=NCDE=225。,9：AO=BO.：.AD=BD.：.NAOO=N8OO=22.5。，/. ZADB=45°,：.ZCAD=ZADC=45Q,：.AC=CD.19. (2019聊城)如图，AWC内接于。，A8为直径，作OOL48交AC于点。，延长BC,。交于点凡过点C作。0的切线CE,交OF于点E.(1)求证：EC=ED；(2)如果OA=4, EF=3,求弦AC的长.ICE与。O相切，为C是。的半径,：.OC±CE.AZOC4+ZAC

36、E=90o,9：OA = OC.：.NA = NOCA,A NACE+NA=90。，9ODLAB.，NOOA+NA=90。，*： 40DA= 4CDE,：.ZCDE+ZA=90%：.ZCDE= NACE,：.EC=EDx（2）解：TAB为。的直径，:.ZACB=90°,在 RtZOCE 中，NDCE+NECF=90°, NDCE=NCDE,/.ZCDE+ZECF=90°,VZCDE+ZF=90°,:./ECF=4F,：.EC=EF.TEF=3,:EC=DE=3,.O£=V0C24-EcH42+32 = 5,：OD=OE- DE=2,在 RtZX

37、OA力中，y4D-VoA2+OB2=V42+22=r/5,在 RtAAOD 和 RtZVlCB 中，V ZA = ZA, ZACB=ZAOD,.,.RtzMODRtAACB,OAAD.而司4 二 2“即 AC - 8 ,AAC= 5 .20. （2019成都如图，AB为。的直径，C,。为圆上的两点，OC/BD,弦A。，8C相 交于点£ *. *.（1）求证：AC= CD.（2）若 CE=1, EB=3,求。的半径：（3）在（2）的条件下，过点C作。的切线，交3A的延长线于点尸，过点P作尸。 CB交OO于F,。两点（点尸在线段PQ上），求P。的长.证明:(1) 9：OC=OB：.ZOB

38、C= ZOCB90C/BD：.ZOCB=ZCBD：.NOBC= NCBD.A AC=CD(2)连接AC,；CE=1, E8=3,：.BC=4AC 二 CD:.zcad=zabc9 rzacb=zacb：.AACEABCAAC CB z.CE=AC：.AC2=CBCE=4x：.AC=2,'AB是直径:.ZACB=90°.。0的半径为遥（3）如图，过点。作OHL尸。于点从连接0。PC是。切线，AZPCO=90C> 且NAC8=90。: /PCA = /BCO= 4CB0,且NCPB=/C出/. AAPCsACPB他二曳二至二2八正都而q而：.PC=2PA, PC?=PA，P

39、B：.4PA2=PAx (+25)2-：.PA= 3&V5：P0= 39PQ/BC:/CBA = /BPQ,且/尸"O=NACB=90。"PHOsABCAacoh2 而二型望询而_ 4 _ 2a/5 _ 6"PH-5V "5即310_5:PH= 3 , oh=3, 2底»0=淑2_0H2= 310+2 备：.PQ = PH+HQ= 32L (2019泸州)如图，A8为。O的直径，点P在A8的延长线上，点C在。上，且PC?= PBPA.（I）求证：PC是。的切线:(2)已知PC=20, P8=10,点。是AB的中点，OEJ_AC,垂足为E

40、, DE交AB于点、F, 求EF的长.（1）证明：连接0C，如图1所示:PA PC t：PC2=PB*B,即 PC=FB,:4 P=4P,:ZBCsAPCA,：.ZPCB=ZRC.为。O的直径，/. ZACfi=90%/. NA+NABC=90。，：OC=OB,：.ZOBC=ZOCB,：.ZPCB+ZOCB=90即0.PC是。的切线；（2）解：连接OO,如图2所示：VPC=20. PB=iO, PC=PB%PC2 202：.PA= PB = 10 =40,：.AB=PA - P8 = 30,: APBCsAPCA,AC PA /.BC=PC=2,设BC=x,则AC=2匕在 RtZXABC 中，

41、+ （2x） 2=302,解得：x=6泥,跳8c啦,.点。是岖的中点,A3为。O的直径, NAOD=90。，9 ： DE LAC.：.NAEF=90。， ZACB=90°,J.DE/BC,：./DFO= ZABC,:DOFs/ACB,OF BC ?.OD=AC =¥t1_15.,.OF- OD 2 ,即 AF= 2 ,；EFBC, 空空工aBC=AB = <22. （2019广元）如图，A8是。的直径，点P是84延长线上一点，过点P作。O的切线PC,切点是C,过点。作弦C£>_LAB于E,连接CO, CB.（1）求证：P。是。的切线；X（2）若 A8=10, tan§=2,求弟 的长：（3）试探究线段A3, OE, O尸之间的数量关系，并说明理由.J解：(i)证明：连接。，.尸。是。的切线，A ZPCO=90°, HPZPCD