2017全国二卷理科数学高考真题及答案

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题：本题共 要求的。理科数学（全国2卷）12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目.3 i 八1.1 iA. 1+2iB. 1-2iC. 2 iD. 2-i2.设集合 A = 1,2,4, B =x x2 4x+m =0上 若 Ap|B =仆，则 B =()A. 1,-3B. 1,0C. ：1,3?3 .我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.

2、1 盏B. 3 盏C. 5 盏D. 9盏4 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A. 90nB. 63nC. 42nD. 36n2x 3y-3<05 .设x, y满足约束条件<2x3y+3之0,则z =2x + y的最小值是（）y 3-0A. -15B. -9C. 1D. 96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种7 .甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说

3、：你们四人中 有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的 成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）/输入a /A.乙可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩8 .执行右面的程序框图，如果输入的A. 2B. 3C. 4B. 丁可以知道四人的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩a = -1 ,则输出的S =（）D. 5S=0,K=1S=S+a?<9.若双曲线22_ x yC: 2 2- =1 ( a > 0 , a bb>0）的一条渐近线被圆22(x-2) +y2 =4 所截得的弦长为2,则C的离心率为（）A. 2B. 3

4、3C. V210.已知直三棱柱 ABC -A1B1C1中,D.2.33"BC=120，AB =2, BC = CC1 =1 ,则异a=-aK=K+ 1/输出s/面直线ABi与BCi所成角的余弦值为（）aT215B. 510C. 53D.311.若x = 2是函数f (x) =(x2+ax1)ex,的极值点，则f (x)的极小值为()A. 1B. -2e "C.5e，D.1.12.已知 MBC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点，则PA，(PB+PC)的最小值是()A. -2B. -3C. -4D. -123二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13.一批

5、产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX = .214.函数 f (x ) = sinx . 33 cos x4, ,n 115 .等差数列an 的前n项和为Sn, a3=3, S4=10,则£= kSk16 .已知F是抛物线C: y2 =8x的焦点，M是C上一点，Rvl的延长线交y轴于点N .若M 为FN的中点，则FN =.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。2 B17.

6、(12 分)AABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 sin( A + C) =8sin .2求cosB (2)若a+c=6 , AABC面积为2,求b.18. (12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)其频率分布直方图如下：频率旧养殖法频率新养殖法(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg ”估计A的概率;(2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量V 50kg箱产量

7、 50kg1日养殖法新养殖法(3) 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01)K2n(ad -bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)p (八k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819. (12分)如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面 ABCD,1oAB =BC = AD,/BAD =/ABC =90 , £是 PD的中点.2(1)证明：直线CE/平面PAB(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为C45° ,求二面角M-AB-D的余弦值2x 220. (12

8、分)设O为坐标原点，动点 M在椭圆C: 一 + y =1上，过M做x轴的垂线，垂足为 N,点P满2足 NP = ,'2NM).(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且OP PQ =1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.221. (12 分)已知函数 f(x)=ax axxlnx,且 f(x)之 0.(1)求 a;(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点 x0,且e/ < f (x0)<2-.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22. 选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系 xOy

9、中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为Pcos9 =4 .(1) M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标 方程；(2)设点A的极坐标为(2,E)，点B在曲线C2上，求AOAB面积的最大值. 323. 选彳4-5:不等式选讲(10分)已知 a >0,b >0,a3 +b3 =2,证明：(1) (a +b)(a5 +b5)之4； a+bW2.,.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(n)试题答案、选择题1.D 2.C3.B4.B5.A6.D7.D 8.B9.A10.C11.A12.B

10、.二、填空题13. 1.9614. 115.2nn 116. 6三、解答题17.解:(1)由题设及 A+B+C =n得$mB=8sin2sinB =4 1-cosB)上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0解得 cosB= 1 (舍去)，cosB=1517,15 一 8(2)由 cosB=彳#sin B =又 S,ABC =2,1717皿 17贝1J ac =21.=一 acsin B24=一 ac17由余弦定理及a +c = 6得222b =a c-2accosB/、2=(a+c) -2ac(1 cosB)= 36-2 17 (1 15)二4 所以b=218.解:(1)记B

11、表示事件 归养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件新养殖法的箱产量不低于50kg”由题意知 P A)=P BC)=P B P C旧养殖法的箱产量低于 50kg的频率为(0.040 0.034 0.024 0.014 0.012 5=0.62故P(B)的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068 0.046 0.010 0.008 5=0.66故P(C )的估计值为0.66200 62 66 -34 3815.705100 100 96 104因此，事件 A的概率估计值为 0.62父0.66=0.4092箱产量50kg箱产量 50kg旧养嫡法6238新/广殖法3466(

12、2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K22由于 15.705 6.635故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg的直方图面积为(0.004 +0.020 +0.044 * =0.34 0.5 ,箱产量低于55kg的直方图面积为0.004 0.020 0.044+0.0685 =0.68 0.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+05-0.340.068 52.35(kg) .19.解:(1)取PA中点F ,连结EF , BF .1.一1因为 E 为 PD 的中点，所以 EFLAD ,EF = AD ,由 /BAD =/AB

13、C =90 得 BC/ AD ,又 BC =AD22所以EF工BC ,四边形BCEF为平行四边形， CE/ BF .又BF仁平面PAB ,CE0平面PAB ,故CE /平面PAB(2),.为单位长，建立如图所示的空间直由已知得BA_LAD ,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向,角坐标系A-xyz则B(1, 0, 0) , C(1, 1, 0), P(0, 1,曲),PC =(1,0, - 3)AB=(1,0,0)则BM =(x1, y,z),PM =(x, y-1, z-V3)因为BM与底面ABCD所成的角为45° ,而n =(0,0, 1)是底面ABCD的法向量，所以cos(

14、BM , n) =sin 450 ,(x -1)2y2 z2即(x-1) 2+y2-z2=0又M在PC上，设PM =KPC,则 x - ,y=1,z= 3- .3x=1-x=1 +二y=1(舍去),y=16由，得2 所以 m |1- ，1,从而AM = 1-设 m = x0, y0, z0谡平面ABM的法向量，则所以可取 m = (0,-赤，2).于是 cos(m, n，= mn =m n 5因此二面角M-AB-D的余弦值为叵520.解T(1)设 P (x,y) ,M (xo,yo),设 N (xo,0) , NP = (x _ %, y ), NM = (0, y° )由 NP =

15、 2 NM 得 x0=x, y0 二y22因为M (x0,y0)在C上，所以x_ +与=1因此点P的轨迹方程为x右 a=1,则 g'(x)= 1 -.当 0vxv 1 时，g1 (x 尸0, g (x 并倜递减；当 x>1 时，g'(x)>0, g(x)单倜递 x增.所以x=1是g (x )的极小值点,故g (x )之g(1 )=0 综上，a=1 +y2 =2(2)由题意知 F (-1,0).设 Q (-3, t) ,P(m,n),则T TOQ =(-3,t ), PF = (1 m, w ), OQJPF =3 +3m -tn ,TOP = m, n , PQ =

16、 -3 - m,t - n ,由 OP|_PQ =3|-3mm2 +tn - n2 =1 ,又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0T T T所以OQ|_PF = 0 ,即OQ _L PF又过点P存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21 .解:(1) f (x的定义域为(0, +叼 设 g (x )= ax - a - lnx ,则 f (x )= xg (x ), f (x )至 0 等价于 g (x )之 01因为 g (1 )=0, g (x ) > 0,故g' (1 )=0，而g' (x ) = a - - , g&

17、#39; (1 )=a -1,得a = 1x(2)由(1)知 f x =x2_x_xlnx,f'(x)=2x_2_lnx一,1设 h(x ) = 2x _2 _ln x,则h'( x) = 2 当 x w ：0,1 时，h ' (x 尸0 ;当 x e '1,+ oo时,h ' (x )>0 ,所以 h (x )在'o, 1 单调递减，在；+ oo 单调递增I1 ,+ oO '有唯一零点 1 ,且当 !2;h(x)>0 .一。 八一. f 1、又h (e -广0, h - <0, h (1) = 0,所以h (x )在

18、0,- 有唯一夺点 飞,在x (0,x0步，h(x广0 ；当 x w(x0,1)时,h(x尸0 ,当 x (1,+ 8)时,因为f '(x )=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点由 f ' (x0 ) = 0得 ln x0 =ax0 -1),故f (x0 )=x°(1 x°),g1由 x0 w(0,1 y导 f ?0 尸 4因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点，由e，W (0,1,f ' (e，) A 0得 12f (x。广f) = e_所以e % f (x0尸2-222 .解:由题设知(1)设P的极坐标为(P, H)(P> 0), M的极坐标为(已，日)(P1>0),nn 4OP = P, OM =4=一- 1 cos 日由om Lop = 16得C2的极坐标方程P=4cose(p> 0)22因此C2的直角坐标方程为(x2)+y =4(x#0)(2)设点B的极坐标为(Pb, 1a )(Pb>0 ),由题设知OA =2, Pb=4cos«，于是 aqab 面积.