【高考】2017年江苏省高考数学试卷

1、2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1. （5分）已知集合A=1,2 ,B=a,，+3 .若AH B=1,则实数a的值为2. （5分）已知复数z=（1+i） （1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是3. （5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400, 300, 100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4. （5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是16（开始一/ /（结束）X 15. （5分）若 tan （ a）二.tan a二 . 466. （5分）如图，在圆柱

2、O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均 相切，记圆柱O1O2的体积为V1,球。的体积为V2,则）的值是.7. （5分）记函数f （x） =/6+l J定义域为D-在区间-4, 5上随机取一个数x,则xC D的概率是.I 28. （5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2=1的右准线与它的两条渐'-1近线分别交于点P, Q,其焦点是Fi, F2,则四边形F1PF2Q的面积是.9. （5分）等比数列an的各项均为实数，其前n项和为S,已知9普，9与， 贝 U a8=.10. （5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次， 一年的总存储费用为4x万元

3、.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是.11. （5分）已知函数f （x） =x3 - 2x+ex ,其中e是自然对数的底数.若f （a e-1） +f （2a2） <0,则实数a的取值范围是.12. （5分）如图，在同一个平面内，向量 五S,屣，充的模分别为1, 1,V2,0A与左的夹角为 %且tan a =7而与M的夹角为45°.若B?=m5J+noE （m, n R）,贝U m+n=13. （5分）在平面直角坐标系xOy中，A （ -12, 0）, B （0, 6）,点P在圆O: x2+y2=50上.若而国U 20,则点P的横坐标的取值范围是 .14. （

4、5分）设f （x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间0, 1）上，f （x）='''口，其中集合D=x| x=n 1 , nCN*,则方程f （x） - lgx=0的解的个Ki K 如n数是.二.解答题15. （14分）如图，在三棱锥 A- BCD中，AB±AD, BC± BD,平面 ABDL平面 BCD,点E、F （E与A、D不重合）分别在棱 AD, BD上，且EF! AD.第3页（共31页）求证：(1) EF/平面ABC;(2) ADI AC16. (14 分)已知向量 a= (cosx, sinx) ,口=(3, 6),xC0,可.(1)若求

5、x的值；(2)记f (x)三可，求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的化17. (14分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆E:+弓=1 (a> b>0) 的左、右焦点分别为F1, F2,离心率为方，两准线之间的距离为8 .点P在椭圆 E上，且位于第一象限，过点 F1作直线PR的垂线11,过点F2作直线PF2的垂线 12.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线1i, l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.18. (16分)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I和正四棱台形玻璃容器n 的高均为32cm,容器I的底面对角线AC的长为10/7cm,容器II的两底面对角 线EG

6、E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器I和容器H中注入水，水深 均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略 不计)(1)将l放在容器I中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CG上，求l没 入水中部分的长度；(2)将l放在容器II中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG上，求l没 入水中部分的长度.寄骂I容器II19. (16分)对于给定的正整数k,若数列an满足：an-k+an-k+i+an-i+avi+ai+k i+an+k=2ka对任意正整数n (n>k)总成立，则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”

7、；(2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列.20. (16分)已知函数f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, b C R)有极值，且导函数f (x)的极值点是f (x)的零点.(I )求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(n )证明：b2>3a；(田)若f (x), f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-土,求实数a的取 值范围.非选择题，附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分）21. 如图，AB为半圆。的直径，直线PC切半圆。于点C, API PC, P为垂足.求证：(1) /PACW

8、 CAB(2) AG=AP?AB第4页(共31页)选彳4-2:矩阵与变换22.已知矩阵 A= ； ；，B= ；(1)求 AB；22(2)若曲线Ci：/+匚=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线 Q,求82C2的方程.选彳4-4:坐标系与参数方程a=-8+t尸工(t为参数)，曲线C的参数方程为 卜二2= (s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到 y=2V2s直线l的距离的最小值.选修4-5:不等式选讲24 .已知 a, b, c, d 为实数，且 a2+b2=4, c2+d2=16,证明 ac+bd< 8.【必做题】25 .如图，在平行六面体 ABCA AiBiGDi中，AAi,平

9、面 ABCR 且 AB=AD=2 AAi=73, /BAD=I20.(I)求异面直线AiB与AG所成角的余弦值；(2)求二面角B-AiD-A的正弦值.26 .已知一个口袋有m个白球，n个黑球(m, n C N*, n>2),这些球除颜色外 全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为i,2,3, m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1, 2, 3,，m+n).123m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E (X)是X的数学期望，证明E (X) <第7页(共31页)2017

10、年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1. (5分)已知集合A=1,2, B=a, a2+3 .若AAB=1,则实数a的值为 1 【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：.集合 A=1, 2, B=a, a2+3. AH B=1,a=1 或 a2+3=1,当 a=i 时，A=1, 1, B=1, 4,成立；a2+3=1 无解.综上，a=1.故答案为：1.【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义 及性质的合理运用.2. (5分)已知复数z=(1+i) (1+2i),其中i是虚数单位，则z的模是二叵【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】

11、解：复数 z= (1+i) (1+2i) =1-2+3i=- 1+3i,I z| =7 (-i)2+32=/K1 .故答案为：MTo.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题.3. (5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400, 300, 100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件.【分析】由题意先求出抽样比例即为 磊，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目.【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60

12、件进行检验,抽样比例为1000 100则应从丙种型号的产品中抽取 300X_L=18件,100故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的 结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取.4. （5分）如图是一个算法流程图:【分析】直接模拟程序即得结论.若输入x的值为，则输出y的值是 -2【解答】解：初始值x=15,不满足x>1,所以 y=2+log2=2- lo氏2Q=- 2,故答案为：-2.【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题.5. (5分)若 tan ( a-【

13、分析】直接根据两角差的正切公式计算即可第8页（共31页）【解答】解：:tan （ a-卷）7Ttan CI -tarrK1+tan tarrr4=11 =-tan Cl +1 66tan a 6=tan 廿1,解得tan a ;，故答案为：1.【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6. （5分）如图，在圆柱OiC2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均 相切，记圆柱O1O2的体积为Vi,球。的体积为V2,则白的值是【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.【解答】解：设球的半径为R,则球的体积为：I-ttR3,圆柱的体积为：兀2?2R=2兀F.故答案为：-1.

14、【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法， 考查空间想象能力以及计算 能力.7. （5分）记函数f （x）力6+工定义域为D-在区间-4, 5上随机取一个数x,则x D的概率是二-一.y【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解：由 6+x x2>0 得 x2 x 600,得2& x& 3,则 D= -2, 3,则在区间-4, 5上随机取一个数x,则x D的概率P&R 坦 5-（-4） 9故答案为：一【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.28. （5分）在

15、平面直角坐标系xOy中，双曲线y2=1的右准线与它的两条渐3近线分别交于点P, Q,其焦点是Fi, F2,则四边形FiPF2Q的面积是【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P, Q坐标，求出焦点坐标,第10页（共31页）尸±争,然后求解四边形的面积.【解答】解：双曲线y2=1的右准线：x=-,双曲线渐近线方程为:所以 P（宗 亨,Q （一，-辛），Fi （-2, 0）. F2 （2, 0）.则四边形FiPEQ的面积是：Vx4X«=2/j.故答案为：2V3.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.9. （5分）等比数列an的各项均为实数，其前n项和为S,

16、已知潼普，S6号,则 a8= 32 .【分析】设等比数列an的公比为qwl, S3=, S6=,可得二，444a. （1 -q6'） 63一笠,联立解出即可得出.1-Q4【解答】解：设等比数列an的公比为qid3.,a-q）上勺 CL-毯W &F，a8q=2.=32.故答案为：32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题.10. (5分)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次， 一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 30 .【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储

17、费用之和 3Kd+4x,利用基本 不等式的性质即可得出.【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和 互弛父6+4x14X2 X科匚1=240 (万元).当且仅当x=30时取等号.故答案为：30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题.11. (5分)已知函数f (x) =x3-2x+ex-其中e是自然对数的底数.若f (a e-1) +f (2a2) <0,则实数a的取值范围是 -1,曰.【分析】求出f (x)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f (x)在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f (x)为奇函数，原不等式即为2a2&

18、lt; 1 - a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解：函数f (x) =x3-2x+ex-4的导数为： eKf ' (x) =3x2 - 2+ex*-2+2卜三二0,可得f (x)在R上递增;又 f ( x) +f (x) = ( x) 3+2x+e x ex+x3 2x+ex=0, e可得f (x)为奇函数，贝U f (a- 1) +f (2a2) <0,即有 f (24) < - f (a 1)由 f (一 (a 1) = f (a 1),f (2a2) <f (1 -a),即有 2a201 - a,解得-1&a&L, 2故答案为

19、：-1, t.【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题.12. (5分)如图，在同一个平面内，向量51,底，5?的模分别为1, 1,V2, 0A与左的夹角为 鹏 且tan a =7而与M的夹角为45°.若'而=m+n5S (m, nC R),贝U m+n= 3【分析】如图所示，建立直角坐标系.A (1,0) .由演与加的夹角为a,且tana= 7可彳马 cos a - I , sin oe -.Cf- 7 -) . 口彳马 cos ( a+45 ) ="-. sin ( 0

20、+45) 5V25y2 S 55.BV，" 禾J用尾m5I+n5§ (m, n C R),即可得出.【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.A (1, 0).由6J与前的夹角为%且tan a = 7 17cos a ;=, sin a 二一.cos ( a+45 ) "三(cos a- Sin a =725sin ( a+45 ) =X- (sin +cos & =-.; OC=mDA+nOB (m, nC R),二m n，=0+-n第17页(共31页)则 m+n=3.，喘解得【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力, 属于中档

21、题.13. (5分)在平面直角坐标系xOy中，A ( -12, 0), B (0, 6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PAPB&2。，则点P的横坐标的取值范围是55叵 1【分析】根据题意，设P (xo, yo),由数量积的坐标计算公式化简变形可得 2xo+yo+5<0,分析可得其表示表示直线 2x+y+5< 0以及直线下方的区域，联立直线与圆 的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案.【解答】解：根据题意，设P (xo, yo),则有xo2+yo2=5o,* *PA *PB=( - 12 - xo, y0)?( - xo, 6 - yo) = (12+xo) xo

22、 - yo (6 - yo) =12xj+6y+x02+yo2 <2o,化为：12xo-6yo+3o<o,即2x0 - yo+5< 0,表示直线2x- y+5=0以及直线上方的区域，'22_联立1 口 口 ,解可得xo=- 5或x0=1,/5-尸口+5 = 0结合图形分析可得：点P的横坐标xo的取值范围是-蚯，1,【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化 简变形得到关于xo、yo的关系式.14. (5分)设f (x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0, 1)上，f (x) r 2 r=''”口，其中集合D=x| x=I

23、 , nCN*,则方程f (x) - lgx=0的解的个 Ki K 知n数是 8 .【分析】由已知中f (x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0, 1)上，f 2 f(x) = ' ' K ” ,其中集合 D=x| x=, n N*,分析 f (x)的图象与 y=lgx x旬n图象交点的个数，进而可得答案.r 2 匚【解答】解：在区间0, 1)上，f (x)=，虻D ,Ki X0第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f (x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间1, 2)上，f (x) =./'/,此时f (x)的图象与y=lgx有且 x-L x知只有一个交点;同

24、理: 区间2, 3)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间3, 4)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间4, 5)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间5, 6)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间6, 7)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间7, 8)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间8, 9)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间9, +00)上，f (x)的图象与y=lgx无交点；故f (x)的图象与y=lgx有8个交点；即方程f (x) - lgx=0的解的个数是

25、8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质, 转化思想，难度中档.解答题15. (14分)如图，在三棱锥 A- BCD中，AB±AD, BC± BD,平面 ABDL平面 BCD,点E、F (E与A、D不重合)分别在棱 AD, BD上，且EF± AD.求证：(1) EF/平面ABC;(2) AD± AC.【分析】(1)利用AB/ EF及线面平行判定定理可得结论；(2)通过取线段CD上点G,连结FG EG使得FG/ BC,则EG/ AC,利用线面 垂直的性质定理可知FG±AD,结合线面垂直白判定定理可知 A

26、DL平面EFG从 而可得结论.【解答】证明：(1)因为AB, AD, EF±AD,且A、B、E、F四点共面，所以 AB/ EF,又因为EF?平面ABC, AB?平面ABC,所以由线面平行/U定定理可知： EF平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG EG使得FG/ BC,则EG/ AC, 因为 BC± BD, FG/ BC,所以FG± BD,又因为平面ABD±¥面BCR所以FG,平面ABD,所以FG±AD,又因为 AD±EF,且 EFA FG=B所以ADL平面EFG所以AD± EG, 故 ADXAC.【点评】

27、本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思 想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累， 属于中档题.16. (14 分)已知向量 a= (cosx, sinx),另二(3,一行)，xC0,可.(1)若H求x的值；(2)记f (x)三吊，求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的化【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=-卓，问题得以解决，(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：(1)a= (cosx, sinx), 口= (3,-聪),a / L ,一 :;cosx=3sinx tanx= 一. xC

28、0,句，sinx) =2丐cos (x+2L),6(2) f (x)耳E=3cosx-6sinx=2/3 (Lcosx-x 0,句，得亲叫一- 1 <cos (x+)62当x=0时，f (x)有最大值，最大值3,当x=5”时，f (x)有最小值，最小值-23.6【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数 的性质，属于基础题17. (14分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆E: £ +£=1(a> b>0) / b2的左、右焦点分别为Fi, F2,离心率为十,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点 Fi作

29、直线PR的垂线li,过点F2作直线PK的垂线12.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±-,则2xH3=8,即可求得a和c的值，则b2=a2-c2=3,即可求得椭圆方程； C(2)设P点坐标，分别求得直线 PF2的斜率及直线PF的斜率，则即可求得l2及li的斜率及方程，联立求得 Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得yo2=x32 - 1,联 立即可求得P点坐标；方法二：设P （mPF? ID-1FF iHl,求得直线li及li的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±

30、; n2,联立椭圆方程，即可求得P点坐标.【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率,贝U a=2c,椭圆的准线方程x=±C由解得：a=2, c=1,2二8, c第20页(共31页)则 b2=a2 - c2=3,椭圆的标准方程:（2）方法一：设P （xo, yo）,则直线PF2的斜率k则直线12的斜率k2=-,直线12的方程y=41（x一1），直线PFi的斜率k配+14则直线12的斜率kl = -,直线li的方程y=(x+1),量qT),尸一")工力+1y=(x+1) 兀由P, Q在椭圆上,Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则2 oyK一 o,解得:y02=x02 - 1

31、 ,2 160"3布7又P在第一象BM,所以P的坐标为:方法二：设P (m, n),由P在第一象限，则m>0, n>0,当m=1时，不存在，解得：Q与Fi重合，不满足题意,当m*1时，kF% rti-1由 ll±PF, l2，PF2,则 k=ilm+L直线li的方程y=-nH-L(x+1),直线12的方程y=一(x-1),联立解得：x=- m,则Q ( - m,),由Q在椭圆方程，由对称性可得:Y-ln=± n2,即 m2 - n2=1,或 m2+n2=1,由P (m, n),在椭圆方程,22ni -n22JU 32 16 ni 二 72 _ 9n =

32、7或,12- 21-m -n22I 4 3 1解，又P在第一象BM,所以P的坐标为:【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公 式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题.18. （16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I和正四棱台形玻璃容器n 的高均为32cm,容器I的底面对角线AC的长为10万cm,容器II的两底面对角 线EG E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器I和容器H中注入水，水深 均为12cm.现有一根玻璃棒1,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略 不计）（1）将1放在容器I中，1的一端置于点A处，另一端置于侧棱CG上，求

33、1没 入水中部分的长度；（2）将1放在容器II中，1的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG上，求1没 入水中部分的长度.【分析】（1）设玻璃棒在CC上的点为M,玻璃棒与水面的交点为 N,过N作 NP/ MC,交AC于点 P,推导出 CC，平面 ABCRCCAC,NP±AC,求出 MC=30cm, 推导出AN匕AAMC,由此能出玻璃棒1没入水中部分的长度.（2）设玻璃棒在GG上的点为M ,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP± EG 交EG于点P,过点E作EQ,E1G1,交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形， 求出EQ=24cm, EE=40cm,由正弦定理求出sin

34、ZGEM4,由此能求出玻璃棒1 5没入水中部分的长度.【解答】解：（1）设玻璃棒在CC上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N, 在平面ACM中，过N作NP/ MC,交AC于点P,.ABCA A1B1C1D1 为正四棱柱，. CCL平面 ABCRX v AC?平面 ABCRCGLAC, a NP±AC, .NP=12cm,且 AM2=AC?+MC2,解得 MC=30cm, v NP/ MC, . .AN'AAMC,.M忆NP得 AN=16cm.AW NO 40 30玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面EiEGG中，过点

35、N作NP±EG 交EG于点P,过点E作EQI EiGi,交EiGi于点Q,EFGI+ EiFiGiHi 为正四棱台，. EE=GG, EG/ 日Gi,EGw EiGi,EEGiG为等腰梯形，画出平面EiEGG的平面图，= BGi=62cm, EG=i4cm EQ=32cm NP=i2cm,BQ=24cm,由勾股定理得：BE=40cm, .sin/ EEiGi, sinZ EGM=sinZ EEiGi , cos/ EGM=-, 555根据正弦定理得： Z岛G，'Sin/EMG券，cos EMG堂， sin/ GEM=sin (/ EGM+Z EMG) =sin/ EGMcos

36、Z EMG+cosZ EGMsinZ EMG二,1 wp 12EN=理中20cm. ginZGEM A5第22页（共31页）【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能 力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.19. ( 16分)对于给定的正整数 k,若数列an满足:an k+an k+1+Tan l+an+1+Tan+k i+an+k=2kan对任意正整数n (n>k)总成立，则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”；(2)若数列an既是“P(2

37、)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列.【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质，an 3+an 2+an 1+an+1 +an+2+an+3= (an3+an+3)+ (an 2+an+2)+ (an-1+an+1)2 x 3an,根据 “P(k)数列”的定义，可得数列an是“P(3)数列”；(2)由已知条件结合(1)中的结论，可得到an从第3项起为等差数列，再通 过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知an为等差数列.【解答】解：(1)证明：设等差数列an首项为a1,公差为d,则an=ai+ (n-1)d,贝U an 3+an - 2+an 1 +an+1+an+2+

38、an+3,=(an 3+an+3)+ (an 2+an+2)+ (an 1+an+1),=2an+2an+2an,=2 x 3an,.等差数列an是“P(3)数列”；(2)证明：当 n>4时，因为数列an是P (3)数列，则 an 3+an 2+an1 +an +1 +an+2+an +3=60n , 因为数列an是 “P(2)数列”，所以 an-2+an-1+an+1+an+2=4an,贝U an-l+an+an+2+an+3=4an+1, , + 一，得 2an=4an i+4an+i - 6an,即 2an=an-i+an+i, (n > 4),因此n4从第3项起为等差数列，

39、设公差为d,注意到a2+a3+a5+a6=4a4,所以 a2=4a4 - a3 - a5 - a6=4 (a3+d) - a3 - (a3+2d) - ( a3+3d) =a3- d,因为 ai+a2+a4+a5=4a3,所以 ai =4a3- a2- a4-a5=4(a2+d) - a2- (a2+2d) - (a2+3d) =a2 - d,也即前3项满足等差数列的通项公式，所以an为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算， 考查转化思想，属于中档题.20. (16分)已知函数f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, b C R)有极值

40、，且导函数f(x)的极值点是f (x)的零点.(I )求b关于a的函数关系式，并写出定义域;(n )证明：b2>3a；(田)若f (x), f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-三,求实数a的取 值范围.【分析】(I )通过对 f (x) =x3+ax2+bx+1 求导可知 g (x) =f'(x) =3x2+2ax+b, 进而再求导可知g' (x) =6x+2a,通过令g'(x) =0进而可知f'(x)的极小值点 为x=从而f (-用)=0,整理可知b=2： £(a>0),结合f (x) =x3+ax2+bx+1(a>0

41、, bCR)有极值可知f'(x) =0有两个不等的实根，进而可知 a>3.(n )通过(1)构造函数 h (a) =b2- 3a=4a -+-=(4a3 27) (a3813 ” 81 a2-27),结合a>3可知h (a) >0,从而可得结论;,利用韦达定理及完(田)通过(1)可知f'(x)的极小值为f'(-1) =b-J+2,进而问题转化为解不全平方关系可知y=f (x)的两个极值之和为胃乙IJ£27卷因式分解即得结论.第24页(共31页)【解答】(I )解：因为f (x) =x3+ax2+bx+1,所以 g (x) =f '(x

42、) =3*+2ax+b, g' (x) =6x+2a,令 g' (x) =0,解得 x=-由于当x>-时 g'(x) >0, g (x) =f'(x)单调递增；当 x<时 g'(x) < 0, g (x) =f'(x)单调递减;所以f' (x)的极小值点为x=,3由于导函数f'(x)的极值点是原函数f (x)的零点,所以f (-2)=0,即-+J_-327 927 9abT+1=0,所以b=(a>0) .第26页（共31页）所以b-32792 a因为 f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>

43、0, b C R)有极值,所以 f' (x) =3x2+2ax+b=0 的实根，所以 4a212b>0,即 a2-21i+l>0,解得 a3,3 a所以b考一总(a>3). 9 a(H)证明：由(1)可知 h (a) =b2- 3a=- -+-L- (4a327) (a3Hl 3 / 81 m-27),由于 a>3,所以 h (a) >0,即 b2>3a；2(田)解：由(1)可知f'(x)的极小值为f'(-£)=b-, JJ设 xi, x2 是 y=f (x)的两个极值点，则 xi+x2=-, xix2=-, 所以 f (x

44、i) +f (x2)=xj+x2'+a (工 I沁产 +b (xi+x2)+2 =(xi+x2) (xi+x2)2 3xix2+a (xi+x2)2 - 2xix2+ b (xi+x2)+2 -4aJ 2absF -2，又因为f (x), f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-因为 a>3,所以 2a3 63a 54<0,所以 2a (a2-36) +9 (a-6) < 0,所以(a-6) (2a2+12a+9) <0,由于 a>3 时 2a2+12a+9>0,所以a-6<0,解得a<6,所以a的取值范围是（3, 6.【点评】

45、本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查 转化思想，注意解题方法的积累，属于难题.二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1:几何证明选讲】（本小题满分0分）21.如图，AB为半圆。的直径，直线PC切半圆。于点C, API PC, P为垂足.求证：（1） /PACW CAB【分析】（1）利用弦切角定理可得：/ACP=/ ABC.利用圆的性质可得/ACB=90.再利用三角形内角和定理即可证明.（2）由（1）可得：/XAPBAACE5,即可证明.【解答】证明：（1） .直线PC切半圆。于点C,ACPq ABC.AB为半圆。的直径，./ ACB=90.v API PC

46、, a Z APC=90.丁. / PAC=90- / AC" / CAB=90 - / ABC, . / PAC=/ CAB.（2）由（1）可得：APBAACB, 义正.AB AC. AC2 =AP?AB【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的 判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.选彳4-2:矩阵与变换22.已知矩阵 A= ； B= ；(1)求 AB；22(2)若曲线Ci： jj=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线 Q,求 82Q的方程.【分析】(1)按矩阵乘法规律计算；Ci的方程化简即可.(2)求出变换前后的坐标变换规律，代入

47、曲线 【解劄解：(DabK；)*(2)设点P (x, y)为曲线G的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P' (xo, yo),则即刈=2x=w, y=y-,丹一十3一二 1,即 xo2+yo2=8,:曲线C2的方程为x2+y2=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题.选彳4-4:坐标系与参数方程 23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为第27页(共31页)曲线C的参数方程为工二2y (s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到 y=2V2s直线l的距离的最小值.【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离 d关于参数s 的函数，从而得出最短

48、距离.【解答】解：直线l的直角坐标方程为x-2y+8=0,. P到直线l的距离d才辱+8|，加.二当s«时，d取得最小值上 "J5vS5【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题.选修4-5:不等式选讲24.已知 a, b, c, d 为实数，且 a2+b2=4, c2+d2=16,证明 ac+bd< 8.【分析】a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cos 4 b=2sin /c=4cos 0 d=4sin .0代入 ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd) 2< (a2+b2) (c2+d2),即可得出

49、.【解答】证明：，a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cos为 b=2sin 勾 c=4cos ft d=4sin 0ac+bd=8 (cos a cos+sin a sin) p=8cos (a一位 < 8.当且仅当 cos ( a 0) =1 时取等号.因止匕ac+bd< 8.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd) 2< (a2+b2) (c2+d2) =4X 16=64,当且仅当-一时取等号. c d. . - 8<ac+bd<8.【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题.【必做题】25.如图，在平行六面体 ABCA A1B1GD1中，AAiL平面 ABCR 且 AB=AD=2第27页(共31页)AAi=、氐 /BAD=120.（1）求异面直线AiB与AG所成角的余弦值;（2）求二面角B-AiD-A