（精选）数论知识点Word版

1、进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一

2、得一。注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。3.进制：一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，共k个数码组成，且“逢k进一”进位制计数单位是，如二进位制的计数单位是，八进位制的计数单位是，4.进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式十进制表示形式：；二进制表示形式：；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上，表示是进位制的数如：，,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数5.进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为进制数的方法是：除以取余数，一直除到被除数小于为止，余数由下到上按从左到右顺

3、序排列即为进制数反过来，进制数化为十进制数的一般方法是：首先将进制数按的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+1639除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+1942除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，

4、所以23167除以5的余数等于2，两个余数差312.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23149除以5的余数等于4，两个余数差为35443.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×13。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那

5、么与除以m的余数也相同同余定理1、 定义整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即 ab（modm）2、 同余的重要性质及举例。1aa（modm）（a为任意自然）；2若ab（modm），则ba（modm）3若ab（modm），bc（modm）则ac（modm）；4若ab（modm），则acbc（modm）5若ab（modm），cd（modm），则ac=bd（modm）；6若ab（modm）则anbm（modm）其中性质3常被称为"同余的可传递性"，性质4、5常被称为"同余的可乘性，"性质6常被称为&

6、quot;同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则ab（modm）3、 整数分类：1用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，（奇数）；0，2，4，6，8，（偶数）2用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，（被3除余数是0）1，4，7，10，13，（被3除余数是1）2，5，8，11，14，（被3除余数是2）3在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，1（mod6）：1，7，13，19，25，2（mod6）：2，8，14，20，26，3（mod6）：

7、3，9，15，21，27，4（mod6）：4，10，16，22，29，5（mod6）：5，11，17，23，29，完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数因为完全平方数的质因数分解中每个质因数

8、出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且，则性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，

9、04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。奇数的平方除以四余1. 8.重点公式回顾：平方差公式： 质数与合数常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、3

10、7、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点： 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、质因数与分解质因数1质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.2 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三

11、个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：210=2×3×5×7，可知这三个数是5、6和7.3. 部分特殊数的分解；.4. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍

12、数之外1求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来例如：，所以；短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘例如：，所以；辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)例如，求600和1515的最大公约数：；所以1515和600的最大公约

13、数是152 最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以3 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法分解质因数的方法；例如：，所以；短除法求最小公倍数；例如： ，所以；2. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中

14、较小的数，最小公倍数是较大的数3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求例如： 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果为、的最大公约数，且，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公约数是、及最小公倍数的约数2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即，此性质比较简单，学生比

15、较容易掌握。3 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍数为性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。求约数个数与所有约数的和1 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。如:1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对