专题讲座一知能训练轻松闯关

1、 1(2014 高考浙江卷改编)已知函数 f(x)x33|xa|(a0)，若 f(x)在1，1上的最小值记为 g(a)求 g(a) 解：因为 a0，1x1，所以 (1)当 0a1 时， 若 x1，a，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(a，1)上是增函数 所以 g(a)f(a)a3. (2)当 a1 时，有 xa，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(1，1)上是减函数，所以 g(a)f(1)23a. 综上，g(a)a3，0a1，23a，a1. 2某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费 t(百万元)，可

2、增加销售额为t25t(百万元)(0t3) (1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？ (2)现在该集团准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造经预算，每投入技术改造费 x(百万元)， 可增加的销售额约为13x3x23x(百万元) 请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大 解：(1)设投入广告费 t(百万元)后由此增加的收益为 f(t)(百万元)，则 f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3) 所以当 t2 时，f(t)max4， 即当集团投入两百万元广告费时，才能使集团由广告费而产生的收益最大 (2)

3、设用于技术改造的资金为 x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为 g(x)13x3x23x (3x)25(3x)313x34x3(0 x3) 对 g(x)求导，得 g(x)x24， 令 g(x)x240， 得 x2 或 x2(舍去) 当 0 x2 时，g(x)0，即 g(x)在0，2)上单调递增； 当 2x3 时，g(x)0，即 g(x)在(2，3上单调递减 当 x2 时，g(x)maxg(2)253. 故在三百万元资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样集团由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元 3(2015 贵州省六校联盟第一次

4、联考)已知函数 f(x)2ln xx2ax(aR) (1)当 a2 时，求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程； (2)若函数 g(x)f(x)axm 在1e，e 上有两个零点，求实数 m 的取值范围 解：(1)当 a2 时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2x2，切点坐标为(1，1)， 切线的斜率 kf(1)2，则切线方程为 y12(x1)，即 y2x1. (2)g(x)2ln xx2m， 则 g(x)2x2x2（x1）（x1）x， x1e，e ，当 g(x)0 时，x1.当1ex0；当 1xe 时，g(x)0. 故 g(x)在 x1 处取得极大值 g(1)m1. 又 g1em21

5、e2，g(e)m2e2，g(e)g1e4e21e20，则 g(e)0g1em21e20，解得 1m21e2， 实数 m 的取值范围是1，21e2. 4(2015 河南省洛阳市统考)已知函数 f(x)1xaxln x1. (1)若函数 f(x)在1，2上单调递减，求实数 a 的取值范围； (2)若 a1，kR 且 k1e，设 F(x)f(x)(k1) ln x1，求函数 F(x)在1e，e 上的最大值和最小值 解：(1)由题设可得 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax1ax2. 显然 a0.函数 f(x)在1，2上单调递减， 当 x1，2时，不等式 f(x)ax1ax20 恒成立， 即1ax 恒成立 1a2，0a12， 实数 a 的取值范围是0，12. (2)a1，kR，f(x)1xxln x1， F(x)f(x)(k1)ln x11xxkln x， F(x)x（1x）x2kxkx1x2. 若 k0，则 F(x)1x2，在1e，e 上，恒有 F(x)0，F(x)在1e，e 上单调递减， F(x)minF(e)1ee，F(x)maxF1ee1. 若 k0，F(x)kx1x2kx1kx2. ()若 k0，在1e，e 上，恒有kx1kx20，ke，x1k0， kx1kx20， F(x)在1e，e 上单调递减， F(x)minF(e)1eekln e1ek1， F(x)m