2021届卓越联盟新高考省份高三9月份检测数学试题(解析版)(1)

1、2021届卓越联盟新高考省份高三9月份检测数学试题一、单选题1.若全集U=1,2,3,4, " = 1,2, N = 2,3,则知)4以%)=()A. 4B. 1,2,3C. 2D. 1,3,4【答案】A【解析】根据集合的运算法则运算即可.【详解】因为全集。=1,2,3,4, M=1,2, N = 2,3,所以LM = 3,4, ” = 1,4,则（。加用（。%）=4.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，属于简单题.2 .已知1为虚数单位，若色 （。£用为纯虚数，则实数。的值为（） a + i11A. 2B.-2C.-D.-22【答案】B【解析】先由更数的除法运

2、算，化简上上，再由纯虚数的概念，即可得出结果. a + i【详解】(l + 2z)(a-z) a + 2 +(2”l)i+a2 +1又上吆（awR）为纯虚数，所以。+ 2 = 0,即。=一2. a + i故选：B.【点睛】本题主要考查由更数类型求参数，考查复数的运算，属于基础题型.3 .将函数y = 2sin12x-gj图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变,则所得函数图象的解析式为（）【答案】D【解析】根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果.【详解】函数y = 2sm(2x-g)图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变,乃所得函数图像的解析式为y = 2sin x-.

3、')故选：D.【点睛】本题主要考查求三角函数图像变换后的解析式，属于基础题型.4 .已知点4(0,3), 6(3,2),向量云= (6,2),则向量而与记()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【答案】D【解析】由向量的坐标运算法则计算出而，再判断而与正的关系.【详解】而=(3,-1) = 一/，所以向量丽芳与何平行且反向.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及向量垂直、共线的判断，属于简单题.5 .若f(x)是偶函数且在0,+8)上为增函数，又"2) = 1,则不等式/(工一1)<1的 解集为()A. 止 1cx<3B.或x>3C

4、. 小<-1 或0cx3d. x|x>l或一3vx0【答案】A【解析】利用函数y = /(x)为偶函数将所求不等式变形为f(卜一力</(2),利用该 函数在区间0,+s)上的单调性可得出卜1| <2 ,解此不等式即可得解.【详解】由于函数y = f(x)为偶函数，则2)= -2)= 1,且函数y = /(x)在0,+8)上为增函数,由/(x-i)vi,可得卜一1|)</(2), /.|x-l|<2,即一2vxlv2,解得一l<x<3.因此，不等式的解集为止l<x<3.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查

5、计算能力，属于中等题.6 .股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某只股票, 在接下来的交易时间内，这只股票先经历了 3次跌停，又经历了 3次涨停，则该股民在 这只股票上的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况【答案】B【解析】根据题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】由题意，该股民在经历了 3次跌停，又经历了 3次涨停后，股票价格为原来的(1 0.1)3 (1 + 0.1)3 = 0.993、0.97 ,即略有节损；故选：B.【点睛】本题主要考查指数运算，属于基础题型.7 .已知A(3,o), 3是

6、圆/+。-4=1上的点，点夕在双曲线122 = 1的右支上, 45则|尸川+ |尸8|的最小值为()A. 9B. 2、/?+4C. 8D. 7【答案】C【解析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计 算方法，求解出，利+|尸目的最小值.【详解】如图所示：设圆心为C,双曲线右焦点为A'（3,o）,且归6|n|PC| -1, |P4| = |RT| + 4, 所以|PB|+|EA闫Pq+|EA+3N|4q + 3 = 8,当且仅当H, B, C三点共线时取 得等号.本题考查根据双曲线的定义求解线段和的最小值，难度一般.（1）求解和椭圆、双曲线 有关的长度和的最

7、值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一 定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.8.从“舞蹈、相声、小品”等5个候选节目中选出4个节目参加“艺术节”的汇 演，其中第一出场节目不能是“舞蹈”，也不能是“相声”，则不同的演出方案种数是（）A. 48B. 72C. 96D. 108【答案】B【解析】先在不是“舞蹈”和“相声”的三个节目中选一个安排在第一个出场有 = 3种，再从剩下的四个节目中选三个节目依次演出有4二24,最后根据分步乘法计数原 理得共有3 x 24 = 72种演出方案.【详解】第一步，先安排第一出场节目，第一出场节目不能是“舞蹈”也不能是

8、“相声”则有 A； = 3种选法；第二步，在剩下的4个节目中选择3个节目并编排顺序，则有4： = 24种方法;所以，共有3x24 = 72种演出方案.故选：B.【点睛】本题考查排列问题，解题的关键在于分布完成问题，是基础题.二、多选题9.已知。,/是空间不同的三个平面，则正确的命题是（）A. alip, p/ly => allyb. aLp ,4 _Ly=>a_Lyc. ap, /71/=>a/yd. alip, /7_Ly=>a_Ly【答案】AD【解析】本题根据条件直接判断选项AD正确，再举反例判断BC错误即可得到答案.【详解】解：因为a/7, /7/,所以a7,故选

9、项A正确；因为2/0, 0上y ,所以a_Ly,故选项D正确;在正方体AS。A瓦G2中，以平面45CD为平面。，以平面乃为平面夕， 以平面AdGR为平面则a_L/7, Z?1/,但是a7,故选项B错误;在正方体ABC。A4GR中，以平面45CD为平面。，以平面A4蜴6为平面夕， 以平面为平面/,则a_L/7, /?!/,但是故选项C错误;故选：AD【点睛】本题考查命题真假性判断、平面与平面的平行与垂直的判断，是基础题B.两条回归直线的交点为（3.5,2.5）A.变量）'与x呈正相关C. % > a2 【答案】ABD【解析】根据线性回归的思想、回归直线的特点判断即可.【详解】由表格

10、中数据的特点可知，y与不呈正相关，a正确；又工=3.5，歹=2.5,所以回归直线过样本中心(3.5,2.5), B正确;当机=2时,3bl + q = 23.5b + q = 2.5解得q =-1 ；第1页共6页当机= 2.5时，有，解得生= 2.5, c错误;3b2 +a2 = 2.53.5b2 +a2= 2.5由数据的规律可知，当m = 2时，相关性越强，则弓，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查线性回归的思想及线性回归方程的特点，较简单.11.若Ova<l,贝!I ()A. loga(l-«)<logrt(l+«)B. log(l+a)<0c. (

11、1排 <(1/D. al-a <1【答案】BD【解析】利用指数函数的图象及性质，对数函数的图象性质分析即可.【详解】当Ova<l时，则0<1 <1+。，又函数 y = logn x(O < a v 1)在(0, +。)上是减函数，所以 log, (1a) > 0 ,loga(l+a)<0, A错误，B正确；) = (14是减函数，所以一年，C错误，=屋也是减函数，所以4<a° = l，D正确.故选：BD.【点睛】本题考查指数式、对数式比大小问题，考查指数函数、对数函数的图象及性质的运用, 难度一般.12.在aABC中，角A、B、C

12、的对边分别为。、b、c, a2=b2+bcf则()A. sin2 A - sin2 B = sin B sin CB. c = b(l+2cosA)C. A = 26D. aABC可能为锐角三角形【答案】 ABCD【解析】根据题中条件，先由正弦定理，可判断A正确；根据余弦定理，可判断B正 确；根据两角和与差的正弦公式，可判断C正确；根据特殊值可判断D正确.【详解】因为/ =b? +bc ,由正弦定理可得，sin2 A = sin2 B + shiBsillC ,即A正确；又由a2 =b2= +c?-2Z?ccosA可得b = c2bcosA,即c = b(l+2cosA),所以B正确：由 b

13、= c, 2b cos A 可得siii B = siii( A+B)- 2 sin B cos A = siii A cos B-sinB cos A = sin( A - B),所以A = 25或5 + A 5 =%(舍)，故C正确；由上推导可知，A = 26 O / =/+历，所以aABC可能为锐角三角形，如：A=80。,5 = 40。，C = 60°,所以 D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题主要考查正余弦定理的简单应用，涉及两角和与差的正弦公式，属于常考题型.三、填空题13 .(2工一3)展开式的常数项为-【答案】240【解析】根据二项式定理展开式公式求解即可.【详解】解

14、：展开式的通项公式为：加=以(2工广，二=(一琰21。袅5故令63% = 0,解得后=2所以常数项为 7；+ = C：(2x)4,3) =15x16 = 240故答案为：240【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键在于熟练应用二项式定理展开式的通项公式， 是基础题.14 .已知等比数列4的前项和为s“，且S4 = l, S§ = 3,则5壮=.【答案】7【解析】根据等比数列的片段和性质，列出对应等式求解出S?的值.【详解】由等比数列片段和的性质可知：SS$, Sn-Sg成等比数列，故x(S23)=(3_l)2=7 ,故答案为：7.【点睛】本题考查等比数列前项和的性质，难度一般.

15、已知S”为等比数列的前几项和，则S”凡S”凡”一S%,成等比数列(当且仅当qw1或为奇数)15 .已知尸是抛物线寸= 2px(P>°)的焦点，A, 8是抛物线上两点，A在第一象限，6在第四象限，满足衣=4万，则直线的斜率为.4【答案】-【解析】设直线A6的倾斜角为夕，过点4，6作准线的垂线，垂足分别为过尸作人从的垂线，垂足为O, |AF| = |A4j = |AO| + |AZ)| = p + |AF|cose,进而得| AF| =P ,同理得|BF| = P,再根据AF = 4而得，=1功 ,1-COS。1 + COS 0l-COS。1 + COS。4进而得L = tan6

16、= .3【详解】解：设直线A6的倾斜角为夕，过点4，6作准线的垂线，垂足分别为A，d，过尸作的垂线，垂足为。，则根据抛物线的性质得：尸|=|A4j = |AD| + |AQ| = P + |4lcose,所以|AF| = P一，同理得忸/=一B一 1-C0S。1+C0S。又乔=4而，, p4P八 3, 八 4故=> cos 8 = => & = tan 6 =一l-cos。 1 + cos 夕534故答案为：-3【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键在于焦半径的推导，是中档题./12(3、16 .函数/(x) = + 0<x<7的最小值为.3-2x x 2)【

17、答案】3【解析】注意到(32x)+2x = 3,故“x)=- + 2 = ?K-+,1(3 - 2x) + 2x,再结合基本不等式求解即可得答案.【详解】解：因为(32x)+2x = 3,所以1(x)= : +工=: +4(3_2x)+2x3-2x x 3 3-2x 2xJL1_ 2x 4(3-2x)1 1 八，=-5 +- >-x9 = 3,31 3-2x 2x J 3当且仅当二2x),即工=1时，取最小值3.3-2x 2x 故答案为：3【点睛】本题考查基本不等式求函数最值问题，是基础题.四、解答题17 .已知数列,是首项为1,公比为2的等比数列，其前"项和为S“，是否存在正

18、项数列4, eN*,满足4=1,且当之2时，有?请在“一或t = Sn94 +4+% = % ,4=或_】q ,这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，若数列"存在，求出其通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】若选择条件，"=2"" 2（£N"）：若选择条件,2”7g2,£N*)n(«-l)M% ；若选择条件' 【解析】先由题意，得到% =2"，S“=2” 1；若选择条件，根据题中条件，由累加法，即可求出5;若选择条件，由» =即可得出结果；若选择条件，根据累乘法，即可求出结果.【详

19、解】因为数列4是首项为1,公比为2的等比数列，其前项和为S“，由等比数列的通项公式和求和公式可知,凡=2"，S“=2-l,（1）若选择条件或一"t = S”，则有：4 =1, b2-b1 =22-1,4一仇= 23 1,，b”"i = 2" -1, 以上各式相加可得：当之2时，bn=T-n-ly 经检验当 =1时，4=1满足上式，故 =2E一一2（7*）（2）若选择条件4+么+=，则有:两式相减可得：当之2时，。=2"7；“+ 瓦 + + = 2t 向+4+瓦一=2"7(之2)2n-2（n>2,neN经检验当 =1时，4=1不满

20、足上式，故"'、 1（ = 1）（3 ）若选择条件“=% 则有:b =1 匕=2 b = 2? . A_ = 2tn(w-l)以上各式相乘可得：当之2时，b =2,«"("T经检验当 =1时，4=1满足上式，故H=2k(£N*).【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和求和公式，考查由递推公式求数列的通项，属于常 考题型.18 .已知函数f (x) = Msin(ox+0XM >0,0>0,6<乃)的部分图象如图所示.(1)求“X)的解析式；(2)在 aABC 中，角 A、B、C 的对边分别为“、b、c, a = l,

21、 c = 2, /(A) = l, 求的值.【答案】(1)/(x) = 2sin2x-; (2) b = 6【解析】(1)利用图象可得出函数> = /(x)的最大值，可得出”的值，由图象确定函 数y = /(x)的最小正周期，可求得/的值，再将点(泉2/j坐标代入函数y = x) 的解析式，结合夕的取值范围可求得夕的值，由此可求得函数y = f(x)的解析式；(2)由/(A) = 1结合角A的取值范围可求得角A的值，然后利用余弦定理可求得方的 值.【详解】由图象可得M = /(x)g=2,最小正周期丁 = 2*仔+今)=万，."=竿=2,7t7t'：<(D<

22、 222万74 旧2万 汽 f 7t可得7一1+。二，则=+夕=7，可得。=一二，636326因此，/（x） = 2sin（2x-看）；(2)由 )(A) = 2sin 2A-：V 6)=1,可得sin(2A_*.Ov Av；r7t 71冗当 2A=时，则4 =,由余弦定理得 a? =Z?2+c2-2bccosA，6 66整理得/一2回 + 3 = 0,解得b = J?；当2A § = ¥时，则A = g,此时aABC为直角三角形，但c,矛盾，故舍去. 662综上所述，b=3【点睛】本题考查利用函数图象求函数解析式，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题

23、.19.如图(1)所示，在直角梯形 A6CQ 中，AB/CD, ZBAD = 90° , DC = 2ABtad = Qab, e为bc的中点,连接oe,将三角形。石c沿着。石翻折成图Q）所示的四棱锥CA5ED,使得8C = "4B.（1）证明：平面CDE，平面45石。.（2）求二面角。一6。一人的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） 1,【解析】（1）分别证得CE_LOE，CE1EB,结合线面垂直的判定定理，证得CE_L 平面ABED,进而证得平面CDEJ平面ABED.第1页共6页(2)由(1)可知CELEB, DE上BE，CE1DE,分别以EO,E6,EC所在的直线

24、为x,y,Z建立空间直角坐标系，分别求得平面A8C和平面5C。的一个法向量，结 合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)在直角ABO中，由 AO = "46,可得 BD = AB2 + 心=2 AB，在直角梯形488中，可得BC = CZ) = 2A5,所以三角形6c。为等边三角形，又E为6C的中点，可得0EJL6C,所以CE_LD石，在6EC 中，由 BC他AB，CE = BE=AB,可得 BC' = CE2 + BE?,所以NCE6 = 90。，即CEJ_EB,又因为DEcBE = E，BE,CEu平面ABED，所以CE_L平面46石。，又由CEu平面CDE,所以平面。

25、七_1_平面45瓦).(2)由(1)可知CEJ_EB, DE1BE，CE1DE,分别以EO,E5,EC所在的直线为y,z建立空间直角坐标系，如图所示：设45 = 1，则OE = JJ，BE = CE = Y易得:0,0), C(0,0,l), 5(0,1,0), A y,|,oL第1页共6页=0=0y-z = o"t+y = 0，令 y = JT 有：n =设平面ABC的法向量为n = (x,y, z)，所以所求二面角O6C A的余弦值为:-1+3+3|/n| |?|" x y/1同理可得平面5co的法向量为五=(一1,造,布卜【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定与证明，

26、以及空间角的求解问题，意在考查学生的空 间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严 密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用 空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆石：, + = 1（。0乃0）的离心率为：，G是椭圆石的上顶点，F是其的左焦点，尸的周长为3 + JJ,。是坐标原点.（1）求椭圆石的方程；（2）过椭圆左焦点尸的直线与椭圆交于A、8两点（A、8都位于轴的左侧），过 A、8作） 轴的垂线，垂足分别是用、N ,求四边形A5NM面积的最大值.【答案】（1）+ = 1;（2） 3.43a

27、 2【解析】（1）根据题意得（a + b + c = 3 + JJ,解得。=2, b = 6 c = l，故椭圆石 a2=b2 + c2的方程为工+工=1； 43（2）根据题意，设直线A5的方程为工二）一1，4（演，弘），5（9,%），则M（0,yJ，N（O,yJ,将 x =代入方程 3/ + 4V=12 中，得（3 /+4）y2-6” 9 = 0 ,进而得州+处=岛A = 144（r + 1）,所以 Sam”48 +1（3r2 + 4）2【详解】 解（1）：由题可得：c _ 1a 2< a + b + c = 3+ 垂,=a = 2, b =6,c = l，a2 =b2 + c222椭

28、圆E的方程为二十二=1 43（2）由题可知直线AS的斜率不会为0，故可设直线45的方程为工="一1，A（X，M）, B（x29y2）,则 M（0,yJ, N（0,y2）,将 x = ） - l 代入方程 3/+ 4 尸=12 中, （3+4）/-6-9 = 0,由韦达定理有：%+ % = 5三,为=1三，A = 144（r + 1） 由题：s.“用乩限讣西守“闪 这里：|y_y,卜瓜=124P 3产+4 3r+4_ 486 + 1所以、ABNM 一 , （3 广+ 0设 7W = " +1 > 1»则/=/n2-lc _48？所以如“一记了所以（S.w）&#

29、39; = 4；，；：）<°在川中，+8）成立，所以函数Sabnm在相七L”）上单调递减，故当机=1,，= 0时，Sabmw的最大值为3.【点睛】(1)由题意可得:平均数为(55 x 0.005+65x 0.024+75 x 0.035+85 x 0.028+95x 0.008)x 10 = 76 分， 由频率分布直方图可得，50,60)对应的频率为0.005x10 = 0.05： 60,70)对应的频率 为0.024x10 = 0.24； 70,80)对应的频率为0.035x10 = 0.35,则中位数位于 70,80)；口八 *2,r八 0.5 0.24 0.05 1八 .

30、且中位数为70 Hxl0 = 76分；0.35(2)由(1)可知每篇作文在每个评委老师处的打分达76分的概率尸= 0.5；设每篇作文的批改费用为X ,其可能值为：2, 3, 4, 5.p(X =2) = 0.52=0.25p(X = 3)= 0.53 + 0.53 + 0.53 = 0.375p( X = 4) = C； x 0.5 x 0.5? x 0.5 = 0.1875p( X = 5) = q x 0.5 x 0.52 x 0.5 = 0.1875故每篇作文的批改费用的数学期望为E(X) = 0.25x2+0375x3+0.1875x4+0.1875x5 = 3.3125从而1000篇作文的批改总费用的数学期望为1000x3.3125 = 3312.5> 3000,故这1000篇作文的批改费用会超过预算的.【点睛】22.已知函数/(x) = xlnx+ b->(1)求。和的值；(2)求证：/(x)>-3.【答案】(1)。=-1，b = -2【解析】(1)先对函数求导，+ bx的图象在x = 1处的切线方程