【数学】湖南省2020届高三上学期期末统测数学(理)试题

1、湖南省2020届高三上学期期末统测数学(理)试题一、单选题1 .设集合 A x|y JTW, B x|1 x 9,则(eRA)IB()A. (1,3)B, (3,9)C. 3,9D.【答案】A【解析】求函数定义域求得集合 A,由此求得 eraB.【详解】因为 A x|x 3,所以 erAB (1,3).故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题 5i2 .已知复数z 5i ,则|z| ()2 iA.近B. 572C. 372D. 2亚【答案】B【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得 z【详解】z 2 5i 5i(2 i) 5i 1 7i,故 |z| &quo

2、t;( 1)2 72 5后.2 i5故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.13 .设城，b log!2,c12 ,则()a33c3A. b a cB. c b aD. c a b【答案】C【解析】利用0,1分段法”比较出a,b,c三者的大小关系.【详解】1因为 a 33 1, b logi2 0，0c 121,所以 bca.故选：C【点睛】本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题_24 .函数f （x） cos X 的取小正周期为（）3A. -B. 2【答案】DC. 一D.【解析】利用降次公式化简 f X表达式，再由此求得最小正周期因为 f(x)

3、 cos2 X - 3cos2x 2321cos 2x 2231 ,所以最小正周期为2故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题5 .左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件 骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（）A. 1B. C. 1D. 16 1232【答案】B【解析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率骰子向上为6点的概率为1,硬币向上为正面的概率为 工，故所求事件的概率为 11. 626 212故选：B【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题6 .设m,n,l为三条不同的直线，a,为两个不同的平面，则下面结论正确的

4、是()A.若 m, n,/ ，则 m/nB.若 m/,n/,m n,则C.若 m,n, ，则m nD.m/,n/,l m,l n,则 l【答案】C【解析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项A选项中，m,n可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有 m,n相交才可推出l .C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直 .故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题7 .若执行如图所示的程序框图，则输出的S ()A. 31n2B. 2ln3C. ln7D. ln10【答案】A【解析】根据程序框图运行所计算的

5、S的表达式，结合对数运算，求得输出的S的值.【详解】 运行程序框图中的程序，可得_23482348S ln - ln ln L ln lnL ln8 3ln 2.12371 2 37故选：A【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，考查对数运算，属于基础题8,已知函数 f(x) 3|xa| 2,且满足 f(5 x) f(3 x),则 f(6)()A. 29B.5C.3D. 11【答案】D【解析】根据f (5 x) f (3 x)求得f x的对称轴，也即求得 a的值，从而求得f 6的值.【详解】因为f(5 x) f (3 x),所以f(x)的图象关于x 4对称，所以a 4, f (

6、6) 36 4 2 1 1 .故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数值的求法，属于基础题29 .已知抛物线C:y12x的焦点为F, A为C上一点且在第一象限，以 F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B, D两点，且A,F,B三点共线，则|AF |()A. 16B. 10C. 12D. 8【答案】C【解析】根据圆的几何性质，结合抛物线的定义，根据 F到准线的距离，求得AF .【详解】因为A,F,B三点共线，所以AB为 圆F的直径，AD BD.由抛物线 定义知11AD| 2|EF| |AF| 11ABi'所 以 ABD 30 .因为F到准线的距离为6,所以|AF | |B

7、F | 2 6 12.故选：C本小题主要考查圆的几何性质，考查抛物线的定义和几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10 .已知函数f(x)是偶函数，当x 0时，f(x) xlnx 1 ,则曲线y f (x)在x 1处的切线方程为()A. y xb. y x 2 C. y xD. y x 2【答案】A【解析】首先根据函数的奇偶性，求得当 x 0时，f x的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.【详解】因为 x 0, f(x) f( x) xln( x) 1, f( 1) 1, f (x) ln( x) 1, f ( 1)1,所以曲线y f(x)在x1处的切线方

8、程为y 1 x 1 ,即y x.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题11 .南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为垛积术”现有高阶等差数列，其前 7项分别为1, 4, 8, 14, 23, 36, 54,则该数列的第19项为()(注：.2 92 .22 n(n 1)(2n 1)123 l n6A. 1624B. 1024C. 1198D, 1560【答案】B【解析】根

9、据高阶等差数列的定义，求得等差数列Cn的通项公式和前n项和，利用累加法求得数列an的通项公式，进而求得 a19.【详解】 依题意an： 1, 4, 8, 14, 23, 36, 54,两两作差得bn： 3, 4, 6, 9, 13, 18,两两作差得cn： 1, 2, 3, 4, 5,设该数列为an，令bnan 1 an,设bn的前n项和为Bn,又令gbn 1bn ,设Cn的前n项和为Cn .23 n(n J)* 1n 3,22222易 Cnn, cnn nn n,进而得bn 13 Cn 3 ,所以bn22则 Bnn(n 1)(n 1) 3n ,所以 an 1 1 Bn ,所以 a19 102

10、4 .6故选：B本小题主要考查新定义数列的理解和运用,考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.在三棱锥 D ABC 中，AB BC CD DA 1,且 AB BC,CD DA,M ,N 分别是棱BC , CD的中点，下面四个结论: AC BD ；MN 平面ABD ;三棱锥A CMN的体积的最大值为J2；12AD与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（）D.A.B.C.【解析】通过证明AC 平面OBD,证得ACBD ；通过证明MN /BD ,证得MN /平面ABD；求得三棱锥 A CMN体积的最大值，由此判断的正确性；利用反证法证得 AD与BC定不垂直【

11、详解】设AC的中点为。，连接OB,OD,则AC OB, AC OD ,又OBI OD O,所以AC 平面OBD,所以AC BD , 故正确；因为 MN /BD ,所以MN /平面ABD ,故正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，Vacmn最大，最大值为VA CMN VN ACM ，故错误；若 AD 与3 4448BC垂直，又因为 AB BC ,所以BC，平面ABD ,所以BC BD ,又BD AC ,所以BD 平面ABC ,所以BD OB ,因为OB OD ,所以显然BD与OB不可能垂直，故 正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想

12、象能力和逻辑推理能力，属于中档题 .二、填空题13 .已知数列 an是等比数列，ai 1岛 36,则a? .【答案】6【解析】根据等比数列通项公式，首先求得q,然后求得a2.【详解】2设an的公比为q,由ai 1,a3 36 ,得q 36,q6 ,故a?6 .故答案为：6【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题rrr r14 .已知向量a (4, 3),b ( 1,2), a, b的夹角为 ，则sin 【解析】利用两个向量夹角计算公式,求得cos的值，再根据同角三角函数的基本关系式求得sin的值.【详解】10一”,sin.1 cos25.555r r a b依题意 0,九

13、,所以cos-r一|a|b|故答案为：立5【点睛】 本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题31 815 . (2x-)展开式中常数项为 .【答案】112【解析】求得二项展开式的通项，令3(8 r) r 0 ,解得r 6,代入即可得到展开式的常数项.【详解】i-4-t-'TffTEESTT4 at、ts TH?、/,-i-r- r3、8 r , 1、rr- r c8 r / .、 3(8 r) r由题思，一项展开式的通项为Tr 1C8(2x ) ( )C82 ( 1) x (,x令3(8 r) r 0 ,解得r 6 ,所以常数项为T7 C：28 6(

14、1)6 1 12 .【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了 推理与运算能力，属于基础题.2x16.双曲线二222yxy台1 a20,b20与椭圆台b2a1b11 a1b10有相同的焦点，且左、右焦PF1F2,且椭圆与双曲线的点分别为F1，F2,它们在第一象限的交点为P,若sin F1PF2 2sin离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为【解析】利用正弦定理求得 F1F2 2 PF2,利用椭圆和双曲线的定义求得ei e2 1列方程，并转化为含有双曲线离心率e2的方程，由此求得双曲线的离心率设椭圆的离心率为e,双曲线的离心率为 e,PF2F1F

15、2F1F2 2c ,由正弦定理得sin PF1 F2sinF1PF2sin F1PF2 2sin PF1F2,响 2 PF2 pf2c.PF1PF22a1PF1PF22a2,PF12a1 c 2a2c, 0a2c.又a1 a2a2 ca22a2a2c ,两边除以a；并化简得e故答案为:本小题主要考查椭圆和双曲线的定义,考查双曲线离心率的求法，考查正弦定理进行边角互化，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题 三、解答题17.在 ABC 中，a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边，且(3a c)cos B bcosC 0.(1)求 sin B ；(2)若a 1,b 2收求 ABC的面积.【

16、答案】(1) sin B2、27,2【解析】(1)利用正弦定理化简已知条件，求得cosB的值，进而求得sinB的值.(2)利用余弦定理列方程，由此求得c,再利用三角形的面积公式求得三角形ABC的面积.【详解】(1)因为 (3a c)cos B bcosC 0,所以 3sin AcosB sinCcosB sin BcosC 0所以 3sin AcosB (sin BcosC sinCcosB) sin A.1因为sin A 0 ,所以cosB = ,所以sin B 3一。 o oo o 2(2)由余弦te理得 b a c 2accosB a cac.3因为 a 1,b 2J2,所以 c2 2c

17、 7 0,即 3c2 2c 21 (c 3)(3c 7) 0, 3所以c 7.3所以ABC的面积为1acsinB , 1 L返迤 22339【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题18.如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上 (P不与B , C重合)，E为线段BC 的中点，现将正方形 ABCD沿BC折起，使得平面 ABCD 平面BCP .(1)证明：BP 平面DCP.(2)三棱锥D BPC的体积最大时，求二面角 B PD E的余弦值.a-15【答案】(1)见解析(2)二55【解析】(1)利用面面垂直的性质定理证得 CD 平面BPC ,由此

18、证得DC BP,根据圆的几何 性质证得BP PC ,由此证得BP 平面DCP.(2)判断出三棱锥 D BPC的体积最大时P点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面 BPD和平 面EPD的法向量，计算出二面角 B PD E的余弦值.【详解】(1)证明：因为平面 ABCD 平面BPC, ABCD是正方形,所以DC 平面BPC .因为BP 平面BPC ,所以DCBP.因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP PC.又DC PC C ,所以BP 平面DCP .(2)解：显然，当点 P位于BC的中点时,BCP的面积最大，三棱锥D BPC的体积也最大.不妨设BC 2,记AD中点为G ,uut uuu UU

19、Ur以E为原点，分别以 EB, EP, EG的方向为x轴、y轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系E xyz,则 E(0,0,0), B(1,0,0), D( 1,0,2), P(0,1,0),uuruuurBD ( 2,0,2), ED (uuur1,0,2), PD ( 1, 1,2)r设平面BDP的法向量为mULUV rBD m 则 ULUV rPD m2xi 2zi 0,X1y12zi令X11 ,得0,设平面DEP的法向量为X2,y2,Z2 ,ULUV r w ED n 则 ULUT rPS nX2X2所以 cos m, nr2z20,y2 2Z2令X20,2,得n(2,0,1)

20、由图可知，二面角B PD.155、3 .5E为锐角,155故二面角B PD E的余弦值为B本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频19.生男生女都一样，女儿也是传后人 会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地60.率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为(1)完成下列2 2列联表，并判断能否有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200(2)在抽取的20

21、0户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望附：P K2 k0.150.050.010.001k2.0723.8416.63510.828K2 （a 坊霁（：7）9 d）（其中 n a b c d）.(2)分布列见解析,【答案】(1)见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关EX167【解析】(1)根据题目所给数据，计算并填写出2 2列联表，计算出 K2的值，由此判断出有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关(2)利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算

22、出所求X的分布列及数学期望【详解】(1)因为头胎为女孩的频率为0.5,所以头胎为女孩的总户数为200 0.5 100.因为生二孩的概率为 0.525,所以生二孩的总户数为200 0.525 105.2 2列联表如下:生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040100头胎为男孩455510合计105952002200(60 55 45 40)2600K3.841 )105 95 100 100133故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关7户，则这7户(2)在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了家庭中,头胎生女孩的户数为4,头胎生男孩的户数为3,则X的可能取值为

23、1, 2, 3, 4.P(Xi)c4 C3C4435'P(X2)C2 C2C41835；P(X3)C3 C3C41235 ；P(X4)CC4135418EX 1 2 3535c12,1163一4一一35357X的分布列为X1234P43518351235135【点睛】 本小题主要考查2 2列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题2220.已知冗下2分别为椭圆C:人-y- 1的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于 x轴的动弦， 43直线m:x 4与x轴交于点A ,直线MF2与直线AN的交点为B.(1)证明：点B恒在椭圆C上.(2)设直线n与椭圆C只有一个公共点

24、 P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点 T ,使得 PTQ 恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由2【答案】(1)见解析(2)存在，T(1,0)【解析】(1)根据题意求得 F2,A的坐标，设出 M,N的坐标，求得直线 MF2, AN的方程，由此求得B的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到1,由此判断出B恒在椭圆C上.(2)首先判断直线n的斜率是否存在.然后当直线n斜率存在时，设出直线n的方程y kx b ,判断出T的位置并设出T的坐标.联立直线n的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得 k,b的关urnTQ0列方程，结合等式恒一一uur系式，进而求得P的坐标，结合

25、Q点坐标以及PTQ ,利用TP2成立求得T的坐标.【详解】2(1)证明：由题意知 F2(1,0), A(4,0),设 M (s,t), N(s, t),则显44)直线MF2的方程为y (x 1),直线AN的方程为y L(x s 1s 4联立可得xB 5s8, yB即B的坐标为 5s8L-2s 5 2s 52s 5 2s 5222222因为组近(5s 8)12t(5s 8)36 9s 1434(2s 5)24(2 s 5)2'所以B点恒在椭圆C上.(2)解：当直线n的斜率不存在时，不符合题意 .不妨设直线n的方程为y kx b,由对称性可知，若平面内存在定点T ,使得 PTQ 一恒成立，

26、则T 一定在x轴上，故设T Xo,0 ,2y kx b,由x2v2可得4k23x28kbx4b212 0.-1,43因为直线n与椭圆C只有一个公共点，所以64k2b2 4 4k2 3 4b2 1248 4k2 b2 3 0,4k3所以 xP, yP kxP b -.bb又因为 Q(4,4k b), PTQuir uuu 一,所以TP TQ 24k 3xo, 7 b4 x0,4k b0,日口4k /3(4k b)八即 x0 x0 4 0bb所以x2 4x0 3 k 4x0 40对于任意的满足4k2 b2 3 0的k,b恒成立,b4x0 4 0,所以20, 解得 i.x2 4x0 3 0,故在平面

27、内存在定点 T (1,0),使得PTQ二恒成立.2本小题主要考查直线与直线交点坐标，考查点与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题，、，-a21.已知函数f(x)lnx12ax有两个不同的极值点为8.x(1)求a的取值范围.(2)求f(x)的极大值与极小值之和的取值范围 .411(3)若m 0,- ,n -, ，则f(m) f (n)是否有最小值？若有,求出最小值；若没有，说22明理由.1【答案】(1) 0 a (2) (, 2ln 2 1)(3)f(m) f(n)没有最小值.见解析4【解析】(1)先求得函数f

28、 x的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得a的取值范围(2)根据(1)求得X1X2 a,Xi X2 1 ,求得f X1f X2的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.(3)由(2)假设f(x)极小值fX1, f(x)极大值 fX2, 则f(m)f(n)minfX1f X2 ,由此判断出这个表达式没有最f X2的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性,小值，也即f(m) f(n)没有最小值.2(1) f X定义域为0,x x a2X因为f (X)有两个不同的极值点X1, X2 ,且4a所以x2 x a0有两个不同的正根,X1X2(2)因为 X1X2a, X1X2X1X20, 0解

29、得01 ,不妨设X1所以f (x)极小值x1 , f (X)极大值f X2所以f(x)极小值f (x)极大值f X1f X2In X1X22(12a)a X1 x2 X1X2X1X2Ina 2 4a.令(a) In a 4a 2 ,则1(a) 一 a,1% 所以(a)在0,-上单调递增，所以4(a)2ln 2即f (x)的极大值与极小值之和的取值范围是1).(3)由(2)知 X1X2 a,X1 X2.因为0，i12,X2 ，所以 f(m)min f % ,f(n)maxX2所以f(m) f(n)minf X1X2InX1X2X2X1axX1X1X2 ,1 x2 八八，因为 Xi 1 X2,所以

30、f(m) f (n) min In 2 2x2 1X21In 1 x2 In x2 4x2 2 x2 1 _1令 h(x) ln(1 x) In x 4x 2 -2,11x 1 ，则 h (x)4x 1 x(2x 1)2x(x 1)0,1所以h(x)在2，1上单倜递减，h(x)无最小值, 故f(m) f(n)没有最小值本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转1cos ,2 口，-( 是参数)，以原点为极点,1 .sin2化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题x22 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是yx轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转一，