九年级同步第1讲：相似形与比例线段-教师版

1、(d5相似形与比例线段内容分析5 / 22放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容， 主要对相似多边形的概 念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用.通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础.比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容， 主要对比例线段的有关概念 和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别， 熟练比例线段 之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题.通过对比例线 段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备， 另一方面服务于之 后相似三角形知识的学习.模块一：相似形的概念及性质I知识精讲1、相似形

2、的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形.2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1.例题解析【例1】相似的图形，它们的形状相同，它们的大小相同.（选填 定”或不一定”或定不）【难度】【答案】一定，不一定.【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论.【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形.【例4】下列说法不一定正确的是（）（A）所有的等边三角形都相似（B）有一个角是100的等腰三角形都相似（C）所有等腰直角三角形都相似（D）所有的直

3、角三角形都相似【难度】【答案】D【解析】直角三角形两个锐角角度不固定，形状不一定相同.【总结】对于三角形而言，只要三角形的角大小都相同，三角形即相似.5】下列各组中的两个图形一定相似的有(【例(1)两个等腰三角形；(4)两个等边三角形；(7)两个正方形；(A) 3 组(B)【难度】【答案】B【解析】相似的是(3) (4)【总结】考查相似图形的特征,于其它多边形来说(2)两个直角三角形；(5)两个矩形；(8)两个等腰梯形；4 组(C)(3)两个等腰直角三角形;(6)两个菱形；(9)两个圆.5组(D) 6组(9)形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对 除了考虑角的大小，还要考虑边的大

4、小对应.【例6】已知四边形 ABCD和四边形ABCD是相似的图形，并且点 A与点A、点B与 点B、点C与点C、点D与点D分别是对应顶点，已知 BC 4 , CD 3.6 , AB 3.3 , BC 3 , B 75 , C 105 , D 95 ,求 AB , CD的长和 A的 度数.【难度】【答案】AB 4.4, CD1 2.7, a1 85 .【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例.AB CD BC 4有一,将 CD 3.6, AB 3.3代入，求得： AB 4.4, C D 2.7 ,AB C D BC 3根据四边形内角和，可求得：a 360 BCD 360

5、 75 105 95 85，相似图形对应角相等可知a a 85 .【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系.【例7】如图,ABC和 ADE是相似形，顶点 A、B、C分别与点A、DE对应,已知 A 35 , B 65 , AE 1.2 , AB 2.5 ,AC 2 , ED 1 .求AD、BC的长和 AED的度数.【难度】5【答案】AD 1.5, BC - , AED 80 .3【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例.有空AEDE12 3,将 AB 2.5,ED 1 代入，可求得AD 1.5, BC 5,根ABACBC253据三角形内角和为 180,可求得

6、：C 180 A B 180 35 65 80 ,根据相似图形对应角相等可知AED C 80 .【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系.【例8】已知 ABC的三边长分别是3、4、5,与其相似的 ABC的最大边长是15, 求ABC的最小边长.【难度】【答案】最小边长为 9.15【解析】39.5【总结】考查三角形三边的对应关系，两个相似三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边.【例9】已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为4、6、8,乙三角形其中一边的长为2,求乙三角形的另外两边的长.【难度】【答案】3, 4或4 , 8或1, 3.332【解析】分类讨论.（1）乙三角形中边

7、长为 2的边对应甲三角形中边长为 4的边时，边长对2 111应比值为一 一，则另两边长分别为 6 - 3,6 - 4； （2）乙三角形中边长为 2的边 4 22221对应甲二角形中边长为6的边时，边长对应比值为-1 ,则另两边长分别为6 31 41 8 4 - ,8 - -；（3）乙二角形中边长为 2的边对应甲二角形中边长为4的边时，边3 33 321113长对应比值为,则另两边长分别为4 4 1,6 42 .【总结】三角形中，注意三边的对应关系，对题目指代不明确的，需进行分类讨论.模块二：比例的性质知识精讲1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量 a与b相除，叫做a与b的比，记作a: b(

8、或表示为-); b如果a : b c: d (或a bc -),那么就说a、b、c、d成比例. d2、比例的性质(1)基本性质:如果a -，那么ad bc ； b d如果a c,那么b d, a b, c d. b d a c cd a b(2)合比性质:如果 b如果a bc，那么d(3)等比性质：如果a c k ,那么-ac a - k . b db d b d例题解析7 / 22)(B)a8 ,b0.05 , c0.6 , d10(D)a9 ,b6, c 3, d 4【解析】只有A选项?黄足acbd可知其成比例.【总结】考查成比例的定义, 根据比例的基本性质即可确定.【例12(1)求J,而

9、,加的第四比例项;(2)若x 1 , x , x 4的第四比例项是4 ,求x .【难度】【答案】(1)屈；(2)2 .【解析】(1)根据比例的基本性质可得第四比例项=9邓 屈;2(2)依题意有x 1 :x x 4 : 4,根据比例的基本性质 x x 4 4 x 1 ,整理得x2 4,解得x 2 .【总结】考查比例的基本性质和比例中相关定义.【例13】(1) 6是a和b的比例中项，则7ab L ； ab(2) b是9和4的比例中项，则b ;(3)线段a 6厘米，b 16厘米，则线段a和b的比例中项是 .【难度】【答案】(1) 35; (2) 6； (3) 476cm . 6211 35【解析】(

10、1)由题息可知ab 6 ,由此JOb 6, vab6 - 一 ；ab6 6，(2)由题意可知b2 9 4 36,可解得b 6;(3) a、b都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为76F 4V6cm【总结】考查比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别.【例14】(1)若 2,则y 3 y若(2)2a ba b(3)2x5y0,则3xy : 4x 3y(1)(2)13;(3)17:14 .(1)根据比例的合比性,a b44 5,可信 a 5b,2x 5y 0,可得 x2原式=-4b5茎513;原式=52y5:4 y 3y217:14 .考查比例性质运用中的基本计算，确定单位“

11、1再准确计算.【例15】(1)已知：ab -,求2a 4b的值; a 33ab已知：-,求y 3z的值;3 5 73y 2z(3)已知：3x 2y z,求x y 2z的值.2x y z【难度】【答案】(1)1; (2) 26; (3) 11. 5_. . _ _ a b 2【解析】(1)令b 2 k ,得a 3k, ba 3,x y z(2)令一 -一 k ,得 x 3k, y 5k, z3 5 72 3k 4k3 3k k7k ,原式=- 3(3)令 3x 2y z k ,得 x【总结】考查换元思想，也可采用【例5k 3 7k5k26;2 7k2kk-2 k- 3kk- 2k- 3214】确

12、定单位“1的思想.11 / 22x y z x y z【例16】设线段x、y、z满足234 ，求x、y、z的值.x y z 18【难度】x 2【答案】y 6 .z 10【解析】由（1）可得 x23,再结合（2）18 ,可得:2 1894,由此可得到x y 8z x 12 ,结合（2）式可解得y z 16y 6 .z 10【总结】考查比例的等比性质的应用.【例17】设a_上b c c a ，求8a 9b 5c的值.a b 2 b c 3 c a【难度】人6ab 6 a b【答案】0.6 ab3bc2 ca6 ab6bc6 ca【解析】根据分式基本性质，得6k a b , 3 b c 6k bc,

13、2 c a 6k c a ,三式相加，即得 8a 9b 5c 0 .【总结】考查比例的性质的综合应用.3x 3y 3y 3z 3z 3x 【例18右m ,求m的值.z x y【难度】【答案】6或3.【解析】（1） x y z 0时，根据比例的等比性 m 3x 3y 3y 3z 3z 3x 6; z x y（2） x y z 0 时，可得 x y z,则 m 3 x y 33.z z【总结】考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论.【例19】已知3 _b_ 上 k,则一次函数y kx 3的图像一定经过第几象限？ b c a c a b【难度】【答案】三

14、、四.【解析】（1）a b c 0时，根据比例的等比性k a b c ，此时一次函数y lx 32 a b c 22经过一、三、四象限；（2） a b c 0时，可得b c a ,则k _a_ 1,此时一次函数y x 3经过二、三、a四象限；综上所述，函数必经过三、四象限.【总结】考查比例的等比性质， 注意根据分母是否为 0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联.模块三：比例线段知识精讲1、比例线段的概念对于四条线段a、b、c、d ,如果a : b c: d （或表示为a ）,那么a、b、c、d叫 b d做成比例线段，简称比例线段.2、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB （ A

15、P PB ）两段（如下图），其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段 AB的黄金分割点.其中，AP 5 1 0.618,称为黄金分割数，简称黄金数.AB 2例题解析【例20】在比例尺为1:40000的地图上，量得 A与B两地的距离是24厘米，则A与B两地 的实际距离是.【难度】【答案】9.6km .【解析】实际距离=图上距离寸匕例尺，可知两地实际距离为24 40000 960000cm 9.6km ,注意单位的转化.【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺 =图上距离 出际距离，公式转化.【例21】东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，则

16、这张地图的比例尺是()(A) 1:5(B) 1:500000(C) 1:5000000(D) 500000:1【难度】【答案】B32.5 100000500000【解析】比例尺=图上距离顷际距离，比例尺=65 一1一 .【总结】考查比例尺的定义，注意单位的换算.【例 22(1)若 AB 0.1 , CD 0.75 ,则 AB : CD ;(2)若 AB 1m, CD 25cm ,则 AB : CD ;(3)若 AB m, CD n ,则 AB: AB CD【难度】【答案】(1) 2:15； (2) 4:1； (3) m: m n .【解析】(1) 0.1:0.752:15 ； (2) 1m:2

17、5cm 100cm: 25cm 4:1 ； (3) m: m n【总结】考查比例的化简计算，注意比例中的项带有单位时，注意单位的统一.【例23】小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20厘米,则它的宽约为.(精确到百分位)【难度】【答案】12.36cm .【解析】这本书的宽约为 20叵12.36cm .2【总结】考查黄金比的定义及其相关比值.【例2例如图,已知在四边形 ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，.ABAEDCDF求证：(1)ABEBDCFC，【答案】略.【解析】证明:AE EBAE(D A AEDF FCDFDCDF AB DCEB FC根据比例的合比性质

18、,根据比例的合比性质,EBAEAE IEBFCDFEBAEEBDF FCFCDFFCAB DCEB FC根据比例的合比性质,AB DCEB FCAB DCEB FCABEBDCFC【总结】考查比例的合比性质的应用.【例25】如果 ABC和 ABC面积相等，且 AB:AB 9:25,那么边AB与边AB上的高的比为()(A) 9: 25(B) 25:9(C) 3:5(D) 5:3【难度】【答案】B【解析】面积相等的条件下，高与底边成反比，可知高之比为25:9 .【总结】考查成反比的相关计算.【例26】已知有三条线段的长分别为 3cm, 6cm, 9cm的线段，请再添一条线段，使这四 条线段成比例，

19、求所添线段的长度.【难度】【答案】18cm或4.5cm或2cm.【解析】设添加的线段长度为 acm ,将a当作一个比例外项，根据比例的基本性质有：(1)对应的外项是 3cm时，a 6 9 3 18cm；(2)对应的外项是6cm时，a 3 9 6 4.5cm;(3)对应的外项是 9cm时，a 6 3 9 2cmDEBC【总结】考查比例的计算，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论.【例27】在 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且处 些AB ACAE则 ,若 ADE的周长为90厘米，则 ABC的周长为厘米.EC【难度】 【答案】(1) 3; (2) 120.【解析】(1)由任W,可得AC

20、4,即AE ECAC 4 AE 3 AEAEECECAE(2)根据比例的等比性,ADABAE DEAC BCAD AE DEAB AC BC即 CADE CABC代人求得cabc 120cm.【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用.15/22【例28如图，在梯形 ABCD中，AD / BC ,对角线AC、(1)图中有哪几对三角形的面积相等？为什么?(2)求证：AO DOCO BO【答案】(1)S abdSACD ,Sf ABCS,1, BCD ,J.BD相交于点O .SABOS(CDO ,同底等高,减去公共部分面积相等;(2)略.【解析】(1)S“BDS.ABCS：,BCD ,同底等高,故

21、S；ABDS/AODSACD S AOD ,hlL27 / 22即 SABOSCDO ；JJ.(2)证明：、AOD和力AOB同高,S.AODDO-J -S.AOBBOoBAsdoDcs.【总结】考查梯形中的面积相等，基本图形面积的计算，等高条件下面积之比等于其高之比.【例29如图，在 ABC中，BD AC ,垂足为D , E是BC边上的一点，EF AC ,垂足为F , Sabd：S四边形abed 2:3,求AD:AF的值.【难度】【答案】AD : AF 2:3 .【解析】S ABD : S四边形 ABED2:3 ,SADB又 BD AC , EF AC ,BD / EF .S：BDFSiEDB

22、 ,S：BDFSADB1:2S； EDB即 FD BD : AD BD 1:2FD : AD 1:2 .AD: AD FD 2: 2 1 ,即 AD : AF 2:3 .【总结】考查等高或同高三角形面积之比等于其底边之比.【例30】已知线段AB的长度为l ,点P在线段上，PB AP,求线段AP的长. AP AB【难度】【答案】AP & 11 . 2【解析】根据题意，即有 3P 空，解得AP 11 , P点是AB黄金分割点.AP 12【总结】考查黄金分割点的定义.【例31(1)点P是线段AB的黄金分割点，AP BP , AB 6厘米，求BP的长；(2)已知点P是线段AB的黄金分割点，AB 75

23、1,求AP的值.【难度】【答案】(1) BP 9 3氐cm ； ( 2) AP 2或AP邪1 .5 1【解析】(1)根据黄金分割点定义，且 AP BP ,可知AP ”AB ,此时23535BP AB 69 3V5 cm；22(2)线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和3_J5,22故 AP 5-AB 2 或 AP 3 行 AB 娓 1 . 22【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个.【例32】如图，乐器上的一根弦 AB 80厘米，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点 D是靠近点A的黄金分割点，求

24、CD的长.【难度】 + * *【答案】80 5160 cm.4D.g【解析】根据黄金分割点定义，知 AC 在1 AB,故AD 1 互AB 3-5AB , 222CD AC AD 5 1AB 3 5 AB 提 2 AB ,得 CD 8。3 16。cm. 22【总结】考查线段的黄金分割点有两个.【例33如图，在矩形 ABCD中截取正方形ABMN ,已知MN是BC和CM的比例中项,CM 3 J5 ,求AD的长.【难度】【答案】2.【解析】由 MN 2 BC CM BM 2,2即 BC CM BC CM ,35可得CM BC，代入即得 AD BC 2 .2AN DA河【总结】考查黄金比的综合应用.【例

25、34如图，以长为2的线段AB为边作正方形 ABCD ,取AB的中点P ,连接PD .在BA的延长线上取点F ,使PFPD .以AF为边作正方形 AMEF，点M在AD上.(1)求线段AM、DM的长；(2)求证：AM2 AD DM ;(3)请指出图中的黄金分割点.【难度】【答案】(1) AM 41 , DM 3展；(2)略；(3) M是线段AD的黄金分割点，A是线段BF的黄金分割点【解析】(1) P是AB的中点，AB 2,可知AP 1 ,根据勾股定理得：3 J5 ；贝U PF PD J5 , AMAF PF AP V5 1 , DMAD AM_2_(2)证明：AMV5 1 6 275 2 3 v5

26、 AD DM ,即证;(3)根据定义可知M是线段AD的黄金分割点,类似的，我们可以得到AB2 BF AF 4,可知A是线段BF的黄金分割点.【总结】考查黄金比的综合应用，黄金分割题目中容易出现别的黄金分割.回如随堂检测【习题1】对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是()(A)图形中线段的长度与角的大小都保持不变(B)图形中线段的长度与角的大小都会改变(C)图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变(D)图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变【难度】【答案】D【解析】根据相似形的定义，在缩放的过程中，图形始终保持与原图形相似，可知其线段长 度可以改变，角度保持不变.【总结】考查相似的定义.

27、【习题2】在下图中，画出四边形 ABCD的相似四边形 A1RGD使AR ： AB 1： 2 .【难度】【答案】略【解析】如图即为所示.【总结】注意把握好相似图形的定义，形状完全相同， 各对应边比例相等，在不能 计算的情况下将图形分别 在横向和纵向进行分解即 可.【习题3】已知：a、b、c、d是四条线段，它们的长度分别是 a 1mm, b 0.8cm , c 0.02cm,d 0.4dm,它们是不是成比例线段？【难度】【答案】是【解析】将线段长度单位都转化为mm, a 1mm, b 8mm, c 0.2mm, d 40mm ,由a:c d :b ,可知线段a、b、c、d是成比例线段.【总结】讨论

28、成比例线段时要注意单位的统一性.【习题4】已知甲、乙两地之间的距离为10千米，画在一张地图上的距离为 5厘米，那么在这张地图上量得的距离为2厘米的A、B两地的实际距离为千米.【难度】【答案】4.【解析】同一张地图上比例尺相等，则有【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺5cm 2 cm 一口 ,可得AB 4km .10km AB=图上距离 叁际距离，公式转化应用.【习题5】已知点D是边BC上一点，且 ABC与 DAC是相似形，点A、B、C分别与点D、A、C 对应，CB:CA 3: 2 ,求 CD : DB 的值.【难度】【答案】4:5.【解析】依题意可得CACB3,则CD 2CA ,CB 3CA

29、,DB CB CD 5 CA,CDCA2326故 CD :DB -CA:5CA 4:5 .36【总结】考查相似形的对应关系.【习题6】若a :b x y : xy，贝U x: y【解析】根据比例的基本性质,y ,去括号得bxx: y a考查比例的基本性质.【习题7】直线l上顺次有四点A、 B、，且幽BCADDC3,ABCD1 6ABBCc AD 3BC , DC即得DC3,得AD3DCBC1ABAD6，CDDC32【总结】学会根据比例关系进行线段比例的转化.【习题8】点P是线段AB的黄金分割点,APAB的值.【难度】【答案】 逆或3-5 .【解析】根据黄金分割点的定义,AP2BP一. _ 2A

30、B ,即 APAB2AP 5AB2,可解得=AB 22BPby ax ay ,移项,则里ADAB BC DC 4BC ,AP AB ,两边同时除以AP BC，类似的可得亲=【总结】注意线段的黄金分割点有两个.课后作业【作业1】举出日常生活中相似的图形的实例.【难度】【答案】答案不唯一.例：镜子中的虚像和人体的实像.【解析】考查相似图形的特征是形状完全相同的图形.【总结】考查相似图形的特征，注意多观察.【作业 2】若 2x y : 3x 2y 1:2 ,则 x:2y .【难度】【答案】2.【解析】根据 2x y : 3x 2y 1:2,由比例的基本性质，则有 3x 2y 2 2x y得：x 4y

31、,故 x:2y 4y:2y 2.【总结】考查比例的基本性质.【作业3】下列各组四边形中是相似多边形的是()(A) 一组邻边为2厘米和5厘米与一组邻边为 3厘米和6厘米的矩形(B)有一个内角为30的两个菱形(C)边长分别为3厘米和4厘米的两个菱形(D)两个高相等的等腰梯形【难度】【答案】B【解析】菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，可知B选项正确；A选项边不对应成比例， C选项菱形有不稳定性， 形状不固定,D选项等腰梯形形状不固定.【总结】考查相似图形的特征.【作业4】已知 ABC的三边长分别是4、5、6 ,与其相似的 ABC的最小边长是12,求ABC的周长.【难度】【答案】45.【解析】两三角形对应相似，则必有最短边对