高等代数(北大版)第7章习题参考答案

1、第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1)2)3)4)在线性空间V中，A 在线性空间V中，A 在 P3 中，A (x1, x2, x3) 在 P3 中，A(X1，X2,X3)，其中 V是一固定的向量;其中V是一固定的向量；(X；,X2 X3, X2).(2X1 X2,X2 X3, X1).5)6)在 P X中，A f (x) f (x 1);在 PX中，Af(x)f (Xo),其中 x0 PTH固定的数;7)8)解把复数域上看作复数域上的线性空间,在P1)当2)当n n 中，AX=BXC 其中 B,C Pn0时，是;当 0时,不是。0时，是;当0时,不是。An是两个固定

2、的矩阵.3)不是.例如当(1,0,0), k2 时，kA ( ) (2,0,0), A(k ) (4,0,0),A(k ) kA()。4)是.因取(X1,X2,X3),A () = A (x1 y1 , X2= (2x12 y1 x2二 (2X1 X2, X2 =A + A ,A(k )A(kx1,kx2,kx3)(y1，y2, y3),有丫2?3 y3)y2,x2 y2 x3 y3,x1 y1)x3,x1) (2y1 y2,y2 y3,y)(2kx1(2kx1=k A (kx2, kx2kx2, kx2)，kx3,kxi)kx3,kxi)3故A是P3上的线性变换。5)是.因任取 f (x)

3、Px, g(x) u(x) f (x) g(x)则A(f (x) g(x) = Au(x) = u(x 再令 v(x) kf (x)则 A(kf(x)故A为PX上的线性变换。6)是.因任取 f (x)Px, g(x)Px,并令1) = f (x 1)A(v(x)Px则.A(f(x)g(X)=f(Xo) g(Xo) A(f(x)A(kf(x)kf(xo) kA(f(x)。7)不是，例如取g(x 1)=A f(x) + A(g(x),v(x 1) kf (x 1) k A (f (x),A(g(x),a=1,k=I ,贝U A(ka)=-i , k( Aa)=i, A(ka) kA(a)。8)是，

4、因任取二矩阵 X,Y Pnn,则 A(X Y) B(X Y)C BXC BYC aX+aY,A(kX尸B(kX) k(BXC) kAX ,故A是Pnn上的线性变换。2 .在几何空间中，取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换， 以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换，以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明： A 4 =B 4 =C 4 =E,AB BA,A 2 B 2=B 2 A 2 ,并检验(AB) 2 =A 2 B 2是否成立。解任取一向量1)因为a=(x,y,z),则有Aa=(x,-z,y),A 2 a=(x,-y,-z)A3a=(x

5、,z,-y),A 4 a=(x,y,z),Ba=(z,y,-x),B 2 a=(-x,y,-z)B3a=(-z,y,x),B 4 a=(x,y,z),Ca=(-y,x,z),C2 a=(-x,-y,z)C3a=(y,-x,z),C 4 a=(x,y,z),所以A4=B4 =C 4 =E。2)因为 AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y) , BA (a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x), 所以AB BA。3)因为 A2 B 2 (a)=A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B A (a)=B (x,-y,-z)=(-x,-y,z),所以 A2B2=B2A2 4)因为(A

6、B)2(a)=(AB)(AB(a)_=AB(z,x,y)=(y,z,x) , A 2 B 2 (a)=(-x,-y,z),所以(AB) 2 A2B2。3 .在 Px中，A f (x) f (x), B f (x) xf(x),证明：AB-BA=E。证任取f(x) Px,则有:一. 一一. 一一.(AB-BA ) f (x) =AB f (x) -BA f (x) =A (xf (x) -B( f (x) = f (x) xf (x)-xf (x) = f (x)所以 AB-BA=E o4 .设 A,B 是线性变换，如果 AB-BA=E ,证明：A k B-BA k = kAk 1 (k1)。证

7、采用数学归纳法。当 k=2时A 2 B-BA 2 =(A 2 B-ABA)+(ABA-BA 2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a,结论成立。归纳假设k m时结论成立，即 AmB-BA m=mAm 1。则当k m 1时，有A m 1 B-BA m 1 =(A m 1 B-A m BA)+(A m BA-BA m 1)=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+ m Am1A=(m 1)Am。即k m 1时结论成立.故对一切k 1结论成立。5 .证明：可逆变换是双射。证 设A是可逆变换，它的逆变换为A 1。若a b ,则必有Aa Ab,不然设Aa=A

8、b,两边左乘 A 1 ,有a=b,这与条件矛盾。其次，对任一向量 b,必有a使Aa=b,事实上，令A 1b=a即可。因此，A是一个双射。6 .设1, 2，, n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A 1,A 2， ,A n线性无关。证因 A ( 1 , 2 , n )=( A 1 ,A 2 , ,A n )=( 1 , 2 , n )A ,故A可逆的充要条件是矩阵 A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是 A 1,A 2 , ,A n线性无关，故A可逆的充要条件是 A 1,A 2, ,A n线性无关.。7 .求下列线性变换在所指定基下的矩阵：1)第 1 题 4)中变换

9、A 在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3=(0,0,1)下的矩阵；2) o;1, 2是平面上一直角坐标系 人是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，B是平面上的向量对2的垂直投影，求 A,B,AB在基1, 2下的矩阵；3)在空间Pxn中，设变换A为f(x) f(x 1) f(x),1 试求 A 在基 i = x(x 1) (x I 1)- (I=1,2,n-1)下的矩阵 A;i!4) 六个函数1 =e ax cos bx, 2=eaxsInbx,3 = x eax cosbx , 4 = x e ax sinbx ,1 = 1 x2eaxcosbx, 1= 1 e

10、ax x2sinbx ,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空 22间，求微分变换D在基i(i=1,2,6)下的矩阵；2=（1，0，-1），3=（0，1,1）下的矩阵是5）已知P 3中线性变换A在基1=（-1,1,1），求 A 在基 1=（1，0，0），2=（0，1，0），3=（0，0，1）下的矩阵;6）在P 3中,A定义如下:（5，0，3）（0, 1,6）,（5，1,9）其中1,0,2）（0，1,1），（3，1，0）求在基 1二（1，0，0），2=（0，1，0），3=（0，0，1）下的矩阵;7）同上，求A在1，2，3下的矩阵。解1）1=（2，0，1）=2 1+ 3, A2 = （-1,

11、1，0）=-3 =（0，1，0）=2 ，故在基3下的矩阵为2）取（10）,2= （0,故A在基2下的矩阵为又因为B1）,则11+21A 2=21+122A= 2B 2=2,所以B在基12下的矩阵为0B=0（AB）2 =A所以AB在基1 ,2下的矩阵为0AB =03）因为X, 2x(x 1)2!x(x 1) x (n 2)(n 1)!所以A 0110,A 1 (x 1) x 0 ,L L L L(x 1)x x (n 3) x(x 1) x (n 2)A n 1 (n 1)!(n 1)!2)x(x 1) x (n 3)= (x 1) x (n(n 1)!0 10 1所以A在基0, 1，, n1下

12、的矩阵为A =104)因为 D 1 =a 1 -b 2D 2 =b 1 -a 2， 6，D 3 = 1 +a 3-b 4 ,D 4 = 2 +b 3 + a 4 ,D 5= 3 + a 5 -b 6 ,D 6 = 4 +b 5 + a 6，0000100 。01a bb aab10ba0100ab所以D在给定基下的矩阵为D=00ba000000005）因为（3)3)=( 1 ,故A在基3下的矩阵为二（B=X 1AX=6）因为（所以A（但已知A（故A( 1, 2,3 )=(3 )=A(2 , 3 )=(3 )=(3)3)3)= (1,23)5743) Y2720757183)X,20727247

13、272J767 J371717777777）因为（1，2，1033)=( 1 , 2 , 3 )0112101 03所以 A( 1 , 2， 3 )=( 1,2,3)011210235=(1,2,3)101 1 102 28.在P 中定义线性变换A 1 (X)=a baX, A 2 (X)=Xc dcbd , A 2 (X)=求 A 1 , A 2 , A 3 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵。解因 A1E11 =a E11+cE12, A1E12=a E12 + c E22A1E21 =bEn+dE21 , AiE22= bE 21 +d E 22 ,故A1

14、在基E11, E12, E 21 , E22下的矩阵为 A1 =又因 A2En=a En+b E12 , A?Ei2= cEn+dE12,A 2 E 21 =aE 21+ bE 22 , A 2E 22 =cE 21 +d E22,ac00bd00故人2在基E11, E12, E 21 , E22下的矩阵为A2 =00ac00bd又因 A3Eii= a2En+abE12+acE21 +bcE22，A3E12= acE11+adE12+c2E21+cdE22 ，A 3 E 21 = abEn +b2 E2+adE21 +bdE22，A3E22 = bcE11+bdE12+cdE21+d2E22,

15、a2ac ab bc2故人3在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为A3ab ad b bd2ac c ad cd2bc cd bd d9.设三维线性空间V上的线性变换 A在基1, 2, 3下的矩阵为all a12A= a?i a22a31 a321) 求A在基A(k2 )= ka121 + a22 (k)+ ka32a13a23 ，a333, 2, 1下的矩阵;2）求A在基i,k 2, 3下的矩阵，其中且;3）求A在基12, 2, 3下的矩阵。解 1)0 A 3= a33 3 +a23 2A 2 = a32 3 a22 2a12 1，A 1= a31 3 a21 2 a11 1 ,

16、a33a32a31故A在基3, 2, 1下的矩阵为B3 a23 a 22 a21 。a13a2a11a21 ,2) 因 A 1=a11 1+ (k 2)a31 3 ,ka23 ,A 3= a131 +(k 2)+ a33k故A在1,k 2, 3下的矩阵为 B2ana21ka31ka12a22ka321323ka333)因A( 1)=(a11a12 )( 13 )+( a21a22a11a12 ) 2+( a31a32) 3，2 = a12 (2 )+(a22a12)3= a13(2 )+( a23a13 )2 + a33 3，a11ai2ai2ai3故A基12, 2,3下的矩阵为B3a21a2

17、2a11ai2a22 a12a23 a13 10.设A是线性空间V上的线性变换，如果a31a32a32a33k0,但A=0 ,求证:,A , Ak 1 (k0)线性无关。证设有线性关系1112A1kAk 10,用Ak 1作用于上式，得11 Ak 1 =0(因 An0对一切n k均成立）一 . k 1又因为A0,所以110，于是有12AI3A21kAk10,再用Ak 2作用之，得12 Ak 1 =0.再由，可得12=0.同理，继续作用下去，便可得I11k 0 ,即证,Ak 1Ak1（k0）线性无关。11.在n维线性空间中,设有线性变换 A与向量 使彳# An 10,求证A在某组下的矩阵证由上题知

18、，V的一组基。又因为,A,A21线性无关，故,A,A2,An1为线性空间0 A2 +0An 1A(A )=0+0 A +1 A2 +0 AA (An1 ) =0+0 A +0 A 2 +0 An 1,故A在这组基下的矩阵为01 01。01 012 .设V是数域P上的维线性空间，证明：与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数 乘变换。证因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换 的方阵必为数量矩阵 kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换Ko13 . A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换， 证明：如果A在任意一组基下的矩阵都 相同，那么是数乘变换

19、。证设A在基1, 2, , n下的矩阵为A=(aj),只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一 非退化方阵，且(1, 2 , n )=( 1 , 2, n )X ,则1, 2,L , n也是V的一组基，且 A在这组基下的矩阵是 X 1AX ,从而有AX=XA ,这说明A与一切非退化矩阵可交换。若取12X1，n则由 A X二 XA 知 a。=0(i j),即得anAa22ann再取3333017801000010X2 =00011000由AX2=X2A,可得a11 a22ann。故A为数量矩阵，从而 A为数乘变换。14.设1, 2, 3, 4是四维线性空间 V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵

20、为10211213125522 121） 求 A 在基 112 24,23 234 , 334,42 4 下的矩阵;2）求A的核与值域；3）在A的核中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵；4）在A的值域中选一组基，把它扩充为 V的一组基，并求A在这组基下的矩阵。解1）由题设，知100 0_230 0( 1 , 2 , 3, 4 )=( 1 , 2 , 3, 4 )/八，01101112故A在基1, 2, 3, 4下的矩阵为B= X1AX =100 0230 001 1 011 1 2233224101033338 J6 40 40一 ，、1、_12)先求A (0).设 A (

21、0),它在1, 2, 3，4下的坐标为(1，2, 3, 4),且A在1, 2, 3, 4下的坐标为(0,0,。)，则1021X101213X2_01255X3=022 12X40因 rank(A)=2 ,故由X12x3x40x1 2x2X33x43可求得基础解系为X产(2, -,1,0) ,X2 = ( 1, 2,0,1)。2右 V 1 =( 1, 2, 3 , 4 )X 1，2 =(2, 3 , 4 )X 2，则1, 2即为A 1(0)的一组基，所以1 一 ，、A (0)= L( 1, 2)。再求A的值域AV。因为A 1= 1232 4,2324,A 3 = 2125 34,A 43= 13

22、 25 32 4,rank(A)=2 ,故 A1 ,A 2 , A 3, A4的秩也为2,且A 1 ,A 2线性无关，故A 1 ,A可组成AV的基，从而AV=L( A 1,A1,2 ,1 , 2是V的一组基，又232114)由2)知1, 2是A(0)的一组基，且知1 0_0 1(1 ,2 , a1 , a2 )=( 1 , 2, 3 , 4 )0 0故A在基1, 2 ,1, 2下的矩阵为1102110211021301320121213B=2200101255001000012212000152 0 09 -10 0=212 0 022 0 04)由 2)知 A 1= i 232 4,A 2=

23、2 22 32 41）写出由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过度矩阵;易知A 1, A 2,3, 4是V的一组基，且(A 1 , A 2 , 3, 4 )=(故A在基A 1, A 2 ,100120C=12112 05229131=2200000015.给定P3的两组基1(1,0,1)2(2,1,0)3(1,1,1)定义线性变换A:A i= i(i =1,2,3),10121, 2, 3, 4) 12123, 4下的矩阵为1010201210125122 112O001(1,2, 1)2(2,2, 1)3(2, 1, 1)0 00 01 00 11100 03120 051210212 0

24、 12）写出在基1, 2, 3下的矩阵;3）写出在基1, 2, 3下的矩阵。解1)由(1, 2, 3)=( 1, 2, 3)X,引入 P3的一组基 e =(1,0,0), e2 =(0,1,0), e3=(0,0,i),则(1, 2, 3)=(9,%) 0 11 =(9,%3小，所以12(1, 2, 3)=( G ,e2,e3) 2211211 =(6,%3汨=(G,e2,e3)AB,12)因故由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过度矩阵为X= A 1 B=112 110 1121 0 112A( 1, 2, 3)=( 1 , 2, 3)=( 1, 2, 3)11323212323252故A

25、在基1, 2, 3下的矩阵为A= 13232123232524)因 A( 1, 2, 3 尸A( 1, 2, 3)X=( 1 , 2 , 3 )X ,故A在基1, 2, 3下的矩B仍为X.o16.证明i1i2相似，其中(i1，i 2 , in )是 1,2,，n的一个排列。证设有线性变换A,使则A(A(n) = ( 1 ,2,n)i1=(n)D1，ii ,i2 ,， in ) = (i1 , i2 ,i2in=(ii ,i2 ,in )D 2，inD 2为同一线性变换 A在两组不同基下的矩阵，故i2i1相似。in17.如果A可逆，证明AB与BA相似。证因A可逆，故A 1存在，从而A(AB)A=

26、( A1A)BA=BA，所以AB与BA18.如果A与B相似，C与D相似,证明:相似。证由已知，可设B=X 1 AX, D=Y1CY，相似。这里X019 .求复数域上线性变换空间 V的线性变换 A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩 阵为：31)A=52)A=3)A=4)A=5)A= 0 16)A=7)A=解1）设A在给定基2下的矩阵为A,A的特征多项式为2-5 -14=(7)(2),故A的特征值为7,-2。先求属于特征值=7的特征向量。解方程组4x15x14x2 05x20-，一，1,它的基础解系为，1因此A的属于特征值的全部特征向量为k 1 （k0),其中 1= 1+ 2。再解方程组5x

27、15x14x24x20,它的基础解系为04，一,因此A的属于特征值5-2的全部特征响向量为k2(k 0),其中2 =4 1-52）设A在给定基2下的矩阵为A,且当A=0,所以 E故A的特征值为1 = 2=0o解方程组0x10x10x20x20,它的基础解系为0的属于特征值0的两个线性无关特征向量为其特征向量。当a 0时,的任一非零向量为2=(ai)(ai）,故A的特征值为1 = ai,2 = - ai o1=ai时，方程组aix1ax1ax2aix20 ,一，的基础解系为0i ,故A的属于特征值ai的全1部特征向量为k 1（k 0）,其中1 =- i2= -ai时,方程组aix1ax2012的

28、基础解系为ax1aix20,故A的属于特征值-ai的全部特征向量为 k 2 （k0),其中 2=i 1 +3）设A在给定基4下的矩阵为A,因为二（2)3(2),故特征值为1 = 2= 32,42。2时，相应特征方程组的基础解系为1111000 ,X21 ,X30001,故AX1的属于特征值的全部特征向量为k1 1 + k2 2+ k 3 3（k 1*2*3不全为零），其中2时，特征方程组的基础解系为X4,故A的属于特征值-2的全部特征向量为4 (k0 ),其中 4 = 1 -4)设A在给定基1, 2, 3下的矩阵为A,4=(2)(1、, 3)(1 。3),故A的特征值为1=2 ,2=1+ ，3

29、1-6。当1=2时，方程组的全部特征向量为k 13x1 6x23x30x1X12x22x2头33x30 的基础解系为(k 0),其中 1= 2 1 - 2。21 ,故A的属于特征值2当=1+J3时，方程组(4 .3)x1 6x2 3x3 03x1 (1 J3)x2 x3 0的基础解系为 1x1 2x2 (2 . 3)x302 .3的属于特征值1+J3的全部特征向量为k 2 (k 0),其中 2 = 3 1- 2+(2J3) 3=1-J3时，方程组(43)x1 6x23x3 0x1(1 3)x2 x30的基础解系为x1 2x2(2. 3)x3031 ，故A2 , 3的属于特征值1J3的全部特征向

30、量为k 3 (k 0),其中3=3 1- 2+(2 J3) 35)设A在给定基1, 2, 3下的矩阵为A，因01E A= 010 =(101)2(1),故A的特征值为11, 31。12,31,方程组13的基础解系为x1x3 0100 , 1 ,故A的属于特征值110的全部特征向量为k1 1 k2 2(k1,k2不全为零)，其中113, 22x1 x301当31时，方程组 2x2 0的基础解系为0 ,故A的属于特征值-1的全x1 x301部特征向量为k 3(k 0),其中313。6)设A在给定基1, 2, 3下的矩阵为A，因21E A = 23( 2 14)= (v14i)(足i),13故A的特

31、征值为10, 2g4i, 3J14i。2x2x310时，方程组 2x1Xi3x33x200的基础解系为31 ,故A的属于特征值0的全2部特征向量为k 1(k 0),其中2 3。,14i当2 用i时，该特征方程组的基础解系为3“14i，故A的属于特征值，4i10的全部特征向量为 k 2(k 0),其中2(614i)(2 31)中，求微分变换D的特征多项式,是对角阵。2X解取PX n的一组基1,x,2010.0001.0D=,000.1000.0n 1，则D在此基下的矩阵为 (n 1)!10 . 001 . 0从而 E D . . . .000.1000.故D的特征值是0(n重)，且D的属于特征值

32、0的特征向量 只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是 1,它小于空间的维数 n,故D在任一组基下的矩阵都不可能是对 角形。14222 .设 A= 03 4 ,求 Ak0 434234(1)(5)(5),43故A的特征值为11, 25,5,且A的属于特征值 1的一个特征向量为X1 (1,0,0) , A的属于特征值5的一个特征向量为X2 (2,1,2) , A的属于特征值-5的一个特征向量为X 3 (1, 2,1)。于是只要记T=(X1,X2,X3)1 21一一 1_0 12 ,则 T AT0 211000 50B,0 05100且 Bk 05k0k0 0(5)于是 A k TBkT 11

33、211001k0 12 0 500k0 210 0 ( 5)00112552 15523.设 1, 2125k11(1)k 1=05k 1 1 4( 1)k025k11(1)k 15k 1 4 ( 1)k 12 5k 1 1( 1)k 15K 1 4 ( 1)k3, 4是四维线性空间V的一个基，线性变换A在这组基下的矩阵为5243313 2c195。32221031171)求A的基112 234,22 13 23,33，44下的矩阵;2)求A的特征值与特征向量；3)求一可逆矩阵T,使T 1 AT成对角形。12 0 0解1)由已知得(1, 2, 3, 4)(1, 2, 3, 4)X ,10 0

34、10162故求得A在基1, 2, 3, 4下的矩阵为006510 054B=X AX cc73002200522) A的特征多项式为f ()E A E B 2(12)(1)，1所以A的特征值为120, 3，41。2A的属于特征值0的全部特征向量为k1 1 k2 2,其中k1,k2不全为零，且2124 0A的属于特征值1 ,一的全部特征向量为k3 3 ,其中k30 ,且234 12 23+6 4 A的属于特征值1的全部特征向量为k4 4,其中k40 ,且3)因为1为对角矩阵。212131所求可逆阵为 T=10014321 口 1，且 T 1AT1124.1)设1, 2是线性变换A的两个不同特征值

35、,1, 2是分别属于1, 2的特征向量，证明:1 2不是A的特征向量;2)证明：如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换。证1)由题设知A( 1)11, A( 2)2 2,且1若12是A的特征向量，则存在0使A(12)=(12 ) = 12,A(12)=112 2=12,即(1) 1( 2)2。再由1, 2的线性无关性，知 10,即12 ,这是不可能的。故12不是A的特征向量。2)设V的一组基为1, 2n,则它也是A的n个线性无关的特征向量，故存在特征彳1,2 ,，n,使A( i) i i (i 1,2,.,n)。由1)即知12 n k。由已知，又有A()

36、 k ( V),即证A是数乘变换。25.设V是复数域上的n维线性空间，A, B是V上的线性变换，且 AB=BA.,证明：1)如过0是A的一个特征值，那么 V 0是B的不变子空间;2) A, B至少有一个公共的特征向量。证1)设V 0 ,则A 0 ,于是由题设知A(B )=B(A )=B( 0 )0(B ),故B V 0 ,即证V 0是B的不变子空间。3)由1)知V 0是B的不变子空间，若记B|V 0 =Bo ,则B0也是复数域上线性空间 V的一个线性变换，它必有特征值0,使B 0 B= 0 B (B V 0 ,且B 0),显然也有A(B尸0B,故B即为A与B的公共特征向量。26.设V是复数域上

37、的n维线性空间，而线性变换 A在基1, 2,，n下的矩 阵是一若当块。证明：1) V中包含i的A-子空间只有 V自身；2) V中任一非零A-子空间都包含n ；3) V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。证1)由题设，知1 A( 1 , 2 ,., n )=( 1, 2，n )，1A 112A 223即 ，A n 1n1na n n设W为A-子空间，且1 W,则A 1 W,进而有2Al 1 W A 2 W,3 A 22 W A 3 W,n A n 1 n 1 W,故 W=L 1, 2,，n=V。2)设W为任一非零的A-子空间，对任一非零向量W,有不妨设10 ,则AnA n2 )+W,同理可得

38、2)知从而 n W,即证V中任一非零的 A-子空间 W都包含 3）设W1, W2是任意两个非平凡的 A-子空间，则由n W1 且 n W2,是n W1 W2，故V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。27.求下列矩阵的最小多项式:1) 0112) 3解1）设A10 ,因为A2-E=0,所以201是A的零化多项式，但A-E 0,A+E0,的最小多项式为 mA（）2 1。2）因为f（4,所以A的最小多项式为3,44之一,代入计算可得A的最小多项式为mA(二补充题参考解答1.设A,B是线性变换,A 1)如果(A+B) = A, B 2 =B 证明：=A+B 那么 AB=0 ;2) 如果，AB=BA

39、 那么(A+B-AB) 2 =A+B-AB.证 1)因为 A2 = A, B 2 =B, (A+B)2 =A+B由(A+B)2 =(A+B) (A+B尸 A 2 +AB+BA+ B 2,故 A+B= A +AB+BA+ B, 即 AB+BA=0.又 2AB=AB+AB=AB-BA= A 2 B-B 2 A= A 2 B+ABA= A (AB+BA尸 A0=0所以AB=0.2)因为 A 2 = A, B 2 =B, AB=BA 所以(A+B-AB) 2 = (A+B-AB) (A+B-AB)=A 2 +BA- AB A+ AB+ B 2- AB 2 -A 2 B-BAB +ABAB=A+AB -

40、 AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB=A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB=A+B- AB。2 .、一2 .设V是数域P上维线性空间，证明：由V的全体变换组成的线性空间是n维的。证 因 E11,L E E21,L , E2n,L , Eni,L Enn是 Pnn的一组基，Pnn是 n2维的。V的全体线性变换与 Pn n同构，故V的全体线性变换组成的线性空间是n2维的。3 .设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：1)在Px中有一次数n2的多项式f(x)，使f(A) 0;2)如 果 f(A) 0,g(A) 0,那 么 d(A) 0,这

41、 里d(x)是f (x)与g(x)的最大公因式.；3) A可逆的充分必要条件是：有一常数项不为零的多项式f(xHf(A) 0。证1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是 n2维的，所以n2+i个线 22性变换 An ,An 1,、，A,E , 一定线性相关，即存在一组不全为零的数an2 ,an2 1,L ,4自使n2n2 1a”2 A + a”2 1A + L a a+ a0 E=0, 22 n n 1令 f(x) an2xan2 1x L &x %,22且 ai(i 0,1,2,L ,n2)不全为零，(f( x) ) n2。这就是说，在Px中存在一次数n2的多项式f (x) f

42、 (A) 0。即证。2)由题设知 d(x) u(x)f(x) v(x)g(x)因为 f (A) 0,g(A) 0,所以 d(A) u(A)f (A) v(A)g(A)=0。2 .3)必要性.由1)知，在Px中存在一次数n的多项式f (x)，使f (A) 0。即n2n2 1an2 A +an21A +L aiA+a0E=0,一 2一 2 (若 a。 0,则 f(x) an2xan2 1xL a1x a0 即为所求。若 a0 0,因aNi 0,1,2, ,n2)不全为零，令aj是不为零的系数中下标 最小的那一个，则22.一 八 nA n 1a 2 a +a 2 a +Lnn 1a1 A+ a0 E=0, 因 A可逆