数值分析第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题答案

1、第一章 绪论1 .设x 0, x的相对误差为，求ln x的误差。解：近似值x的相对误差为* e*erx*x*1而lnx的反差为e ln x* In x* In x e* x*进而有 (ln x*)2 .设x的相对误差为2%求xn的相对误差。xf '(x)解：设f(x) xn,则函数的条件数为 Cp |(-)| p f(x)n 1又Qf'(x) nxn1,Cp | x nx| nn又Q r(x*)n) Cp r(x*)且 er (x*)为 2r(x*)n) 0.02n3 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x1* 1

2、.1021 , x20.031 ,x3 385.6x4 56.430, x57 1.0.解：Xi 1.1021是五位有效数字；* X2 0.031是二位有效数字；* X3 385.6是四位有效数字；*X4 56.430是五位有效数字；*X5 7 1.0.是二位有效数字。4 .利用公式求下列各近似值的误差限：(1) x1 x2 x4 ,(2) x1 x2x3 ,(3) x2/x4.* * * * . 其中Xi,X2,X3,X4均为第3题所给的数。解:*(X1)*(X2 )10*(X3)10*(X4)*(X5)2121101010*(1)(X1*(X1)1 10 2*、X2X4)*(X2)1.05

3、 1010*(X4)* * 晨(2) (X1X2X3)X1X2 (X3)* *X2X3*(X1)X1X3 (X2)1.1021 0.03110 1 *0.031 385.6 1 104131.1021 385.6 - 10 32103Cp则何种函数的条件数为0.215* *(3) (X2/X4)X2 (X4) X4 (X2)*X4130.03110 3 56.4302r(V*) Cpgr(R*)3 r(R*)又 Q r(V*)1故度量半径R时允许的相对误差限为6.设Y028,按递推公式Yn工11r(R*) - 1 0.3311783n n=1,2,)100计算到Yoo。若取778327.982

4、 （5位有效数字），试问计算Yoo将有多大误差?解：QK Yn11 .783100Y100Y99Y98 Y99783100一 .1Y98783100Y97 V783 1001 一Y Y0 V7831001依次代入后，有丫00 X 100 783100即 Y。 Y)J783,若取.783 27.982, Y100 Y0 27.982*13(Y00)(Y0)(27.982) 2 103八”1-3Y100的误差限为一10 3。V783 27.982 )。2x2 28 . 78328 78328 27.98255.9820.017863X2具有5位有效数字N 118.当N充分大时，怎样求 dx ?N

5、1 x7.求万程x 56x 1 0的两个根，使它至少具有4位有效数字解：x2 56x 1 0,故方程的根应为x1,2 28 7783故 X1 28783 28 27.982 55.982X1具有5位有效数字dx arctan(N 1) arctanN x则tanarctan(N 1),arctan N 。1,tanN.arctan(tan(,tan arctan) tan1 tan gtan,N 1 N arctan1 (N 1)N,1arctanN2 * 4 N 19.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2 ?解：正方形的面积函数为A(x) x2(A*) 2

6、A*g (x*).当 x* 100时，若（A*）1,12则(x*) - 102故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm210 .设S ：gt g(t) ,假定g是准确的，而对t的测量有 0.1秒的误差，证明当t增加时S的 绝对误差增加，而相对误差却减少。1 。解：QS -gt2,t 02(S*) gt2g (t*)当t *增加日, S*的绝对误差增加(S*),窗2gt2g (t*)当t*增力口时，(t*)保持不变，则 S*的相对误差减少。11 .序列 Vn满足递推关系 y 10yn 1 1 (n=1,2,)，若光 22 1.41 (三位有效数字)，计算到V10时误

7、差有多大？这个计算过程稳定吗?解：Qy02 1.4112(y。*)2 10(3 2衣3 * *,1-=- , 99 7072 。(3 2.2)3解：设 y (x 1)6,4:*1_右 x x/2 , x 1.4,则 x 10 又 Qyn 10yn1 1y1 10 y0 1(y*) 10 (y0*)又Q y2 10yl 1(y2*)10 (y1*)g 102 (y°*)_10(y10*) 1010 (y0*)1010 1 10221 1082-1 a计算到y10时误差为-108,这个计算过程不稳定。1(2 1)612.计算f (J2 1)6 ,取J2,利用下列等式计算，哪一个得到的结果

8、最好?*(x6*7 y11)7若通过(3 2衣3计算y值，则(x i),_ *y x 2(3 2x ) g x63 2x*y若通过(32 .2)3计算y值，则通过(3 2、2)了计算后得到的结果最好。 314(3 2x)41 *t y(3 2x)7，13.f (x) ln(x Jx2 1),求f (30)的值。若开平方用 6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(xx2 1) ln(x . x2 1)计算，求对数时误差有多大？ 解Q f(x) ln(x.x2 1), f (30) ln(30. 899)设 u 、. 899, yf(30)1*g u0.01673若改用等价公式

9、ln(x x 1) ln(x . x 1)则 f (30)ln(30.899)此时,*u1* u 59.98337第二章插值法1.当x1, 1,2 时,f(x)0, 3,4，求f (x)的二次插值多项式。解:Xo 1,X1 f(Xo)l0(x)1*20,f (x1) (x x1)(x2, 3,f(x2) X2)li(x)l2(x)(Xo Xi)(Xo Xz)(x %)(x Xz)(X1 Xo)(X, X2)(X Xo)(X X,)(X2 Xo)(X2 X1)4；1(x 1)(x 2)216(x1)(x2)则二次拉格朗日插值多项式为2Lz(x)yJk(x)k 0) o31)241X/V1-2(X

10、12X5- 6X3- 27-13(x1)(x1)(X4 一 3X.7(X12.给出f (x) lnx的数值表Xlnx用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。解：由表格知，x0 0.4,x1 0.5,x2 0.6,x3 0.7, x4 0.8;f(x0)0.916291, f(x1)0.693147f(x2)0.510826, f (x3)0.356675f(x4)0.223144若采用线性插值法计算ln0.54即f (0.54),则 0.5 0.54 0.6l1(x) "x210(x 0.6)x x2l2(x) x10(x 0.5)x2 x1L1(x)f(x1)Wx) f(x2

11、)"x)6.93147(x 0.6) 5.10826( x 0.5)L1 (0.54)0.62021860.620219若采用二次插值法计算ln0.54时,l0(x)l1(x)l2(x)(x x)(x x2)(x° x1)(x0 x2)(x %)(x x2)(x x0)(x1 x2)(x x°)(x x1)(x2 x0)(x2 x1)50( x 0.5)(x 0.6)100(x 0.4)( x 0.6)50(x 0.4)(x 0.5)L2(x) f(x°)l°(x) f(x1)l1(x) f(x2)l2(x)50 0.916291(x 0.5)

12、(x0.6) 69.3147( x 0.4)(x 0.6) 0.510826 50(x 0.4)(x0.5)L2(0.54)0.615319840.6153203.给全cosx,0o x 90o的函数表，步长h 1 (1/60)0,若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有 5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当 0o x 90o 时，令 f

13、 (x) cosx一1 c 1取 0, h ()6060 180 10800令 x x0 ih,i 0,1，5400则 X5400- 90o2当xxk,xk 1时，线性插值多项式为L/x) f(xjx xk1f(xk1)x xkxk xk 1xk 1 xk插值余项为R(x) cosx L1(x)1 、f ( )(x xk)(x xk 1)2又Q在建立函数表时，表中数据具有 5位有效数字，且cosx 0,1故计算中有误差传播过程。 *15(f (xk) 1 105R2(x)(f*(xk)2_A(f*(xk1)2_Axk xk 1xk 1 xk* £ * / / x xk 1 x xk

14、1 (f (xk)()xk xk 1 xk 1 xk*1，(f (xk)-(xk 1 x x xk) h_ *(f (xk)总误差界为R R(x) &(x)Xk i)_ *(f (Xk)1(cos )(x Xk)(X21* /、(X Xk)(Xk 1 X) (f (Xk)212(2h)_ *(f (Xk)1.06 10 80.50106 101510254.设为互异节点，求证:n(1) Xjklj(X)Xk(k 0,1,L ,n);j 0n k(2) (Xj x) lj (x) 0 (k 0,1 ,L ,n); j 0证明(1)令 f (x)xk若插值节点为xj, j0,1,L ,n,

15、则函数f (x)的n次插值多项式为 Ln(x)nxklj(x)。j 0插值余项为Rn(x)f(x)f(n1)()Ln(x)看 n i(X)(n 1)!又Q k n,f(n 1)()Rn(x)0nk.Xjlj(x)j 0(k 0,1,L ,n);n k (Xj X) lj(x)j 0n n(Cjxj( x)k i)lj(x)j 0 i 0nn_ i k iiCk( X) ( Xjlj(x)i 0j 0又Q0 i n由上题结论可知xklj(x) xij 0n原式C：( x)k ixii 0(x x)k0得证。 25设 f (x) C a,b 且 f (a) f (b) 0,求证:maxf(x)12

16、8(b a) maxf (x).解：令x° a,x b,以此为插值节点，则线性插值多项式为Li(x) f(xo)-xL f (xi)xx0 xo xix xox bx a= f (a) f(b)a bx a又Qf(a) f(b) 0Li(x) 0i插值余项为 R(x) f (x) LJx)f (x)(x x0)(x xi) 1,f(x)又Q (x2 f (x)(x %)(x xi) %)(x xi)2(x4(%4(bx0)x。)2a)2max a x bf(x)8(b6.在 4 x2x)a)2 maxf (x)4上给出f(x)ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断

17、误差不超过I0 6,问使用函数表的步长 h应取多少?解：若插值节点为xi1，为和xi1，则分段二次插值多项式的插值余项为Xi 1)1 , R(x) -f ( )(x Xi i)(X x)(x 3!R2(x)1-(x X i)(X6X)(x Xii) maxi f(x)设步长为h,即 Xi 1Xih,Xi 1 XiR2(x)-e34h3.27若截断误差不超过10 6,R2(x)10 e4h327h 0.0065.10 67.若 yn2n，求 4yn及解:根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。yn2n4yn(E1)4yn4(j 04(j 04(j 0(21)j1)j1)j1)4ynE4 j

18、ynV424jVnyn2n1E 2)4yn14yn(E万1(E 2)4(E 1)”2 4EVnyn 22 n 28 .如果f (x)是 m次多 项式，记f(x) f(x h) f (x),证明f (x)的k阶差分kf(x)(0 k m)是m k次多项式，并且m1f(x) 0(l为正整数)。证明：由上题结论可知解：函数f(x)的Taylor展式为f(x1h) f(x) f(x)h 5 f2.(x)h LI"(m 1)!f(m1)( )hm1其中(x,x h)f(x)是次数为m的多项式f(m1)( ) 0f(x) f(x h) f(x).1 .2f (x)h - f (x)h2L f(m

19、)(x)hmm!f(x)为m 1阶多项式2 -f (x)( f(x)2f(x)为m 2阶多项式依此过程递推，得k f(x)是 mk次多项式mf (x)是常数当l为正整数时,m1f(x) 09.证明(fkgk)fk gkgk 1fk证明(fkgk)fk 1gkfkgkfk 1gk 1 gk 1( fk gk 1 fk fk gkfkgkfk)fk gkgk 1 fkfkgk 1fk(gk 1fkgkgk)得证10.证明1fk gk0f ngnfogo1gk 1 fkfk gk (fkgk) gk 1 fkn 1fk gkk 0n 1(fkgk) gk1 fk)k 0n 1n 1(fkgk)gk

20、1 fkk 0k 0Q (fkgk) fk 1gk1 fkgkn 1(fkgk)k 0(fg fog。)(f2g2 f9) L (fngn fn 1gn 1)fngn f0g0fk gkk 0fn gnn 1f0g0gk 1 fkk 0得证。n 111.证明 2yj yn y j 0n 1n 12证明 yj ( yj 1j 0j 0yj)(Vi v。) ( y2y1) l ( ynyn 1)ynVo得证。12.若 f (x) a0 ax Lan 1Xn 1 anXn 有 n 个不同实根 X1,X2,L ,Xn ,证明:kXjj1 f (Xj)0,0 k n 2; n01,k n 1证明：Qf(

21、X)有个不同实根X1,X2,L ,Xn且 f (x) a0 a1X Lan 1Xn f (Xj)j 1 an n(Xj) anXnf(X) an(X X)(X X2)L (X Xn)令 n(X)(X X)(X X2)L (X Xn)kXj而 n(X) (X X2)(X X3)L (X Xn) (X X)(X X3)L(X Xn)L (X Xi)(X X2)L (X Xn i)n ( Xj )(xjXl)(Xj X2)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj Xn)令 g(X)g Xl,X2,L ,XnkXji n(Xj)Xl,X2,L ,Xnn k为j i n(xj)n kXjji

22、f (Xj)ig Xi,X2,L ,Xn ank xjji f (Xj)0,0 k n 2;ino ,k n i得证。13.证明n阶均差有下列性质:(1)若F(X) cf(x)，则 F Xo,Xi,L ,Xncf Xo,Xi,L ,Xn ；F(x) f(X)g(x)，则 F Xo,Xi,L ,Xnf Xo,Xi,L ,Xng %,Xi,L ,Xn .证明:(1) Qf Xi,X2,L ,Xn1kXj0 (Xj X°)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj Xn)F Xi,X2,L ,XnF(xj)j 0 (Xj Xo)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj x

23、n)cf(xj)j 0 (Xj Xo)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj Xn)c(n )j 0 (Xj X°)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj Xn)cf Xo,Xi,L ,Xn得证。 QF(x) f(x) g(x)F Xo,L ,XnF(xj)j 0(xj %)L (xj xj 1)(xj xj 1)L (xj xn)f(xj) g(xj)j 0 (xj x°)L (xj xj 1)(xj xj 1)L (xj xn)f(xj)j0(xj x°)L (xj xj1)(xj xj 1)L (xj xn)g(xj)j 0 (xj

24、xo)L (xjxj 1)(xj xj 1)L (xj xn)f xo,L ,xngXo,L ,Xn得证。14. f (x)3x 1,求 F20,21,L ,27 及 F 20,21,L ,28解：Q f(x)x4 3x 12i,i0,1,L,8xo,xi,L,xnxo,xi,L,x7f()7!7!1 7!f xo,xi,L ,%u 08!15.证明两点三次埃尔米特插值余项是R3(x) f(4)( )(x xk)2(x xk 1)2/4!,(xk,xk 1)解: 若x xk,xk 1,且插值多项式满足条件山西)f(xJH3(xk) f (xjH3(xk1) f(xk1),H3(xk1) f (

25、xk 1)插值余项为R(x) f (x) H3(x)由插值条件可知 R(xk)R(xk 1) 0且 R(xJ R(Xki) 02 ,、2R(x)可与成 R(x) g(x)(x Xk) (x Xk i)其中g(x)是关于x的待定函数，现把x看成xk,xk1上的一个固定点，作函数-22(t) f(t) H3(t) g(x)(t xk) (t xki)根据余项性质，有(xk) 0, (xki) 0一22(x) f(x) H3(x) g(x)(x xk) (x xki) f(x) &(x) R(x)0_2_2(t) f (t) H3(t) g(x)2(t xk)(t xki)2(t xk 1

26、)(t xk)(xk) 0(xk 1 )0由罗尔定理可知，存在(xk，x)和(x,xk i),使(l) 0，( 2) 0即(x)在xk,xk 1上有四个互异零点。根据罗尔定理，(t)在(t)的两个零点间至少有一个零点，故 (t)在(xk, xk 1)内至少有三个互异零点，依此类推，(t)在(xk,xk 1)内至少有一个零点。记为(xk,xki)使()f()H3()4!g(x) 0又QH3(4)(t) 0),、g(x) ,(xk,xki)4!其中依赖于xR(x)f ( )22(x Xk) (x Xk 1) 4!分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k 0,1,L , n),设步长为h ,即xkx

27、0 kh,k 0,1,L ,n在小区间4?上R(x)R(x)f(4)()4!1-f 4!(x(4)(%x工4!h4xk)2(x xk)2)(x xj2(x xk 1)2xk )2 (xk 12 一 工/ x) max f (x)，a x b '，xk xk 1 x、212)max2a x b14 一 工/ 4h max f (x) 24a x bmax384 a xb(4), f (x)数不高于 4f (x)次的多项式 P(x), 使它满足P(0)P(0) 0,P(1) P(1) 0,P(2)解:利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式0,x1V。0，V1m°0,m1H3(

28、x)Vjj 0j(x)1mj j(x)j 0°(x) (1 2人力)(人差)2 x x x° x1-2(1 2x)(x 1)1(x) (1 2 立I()2x 小 x1 几(3 2x)x20(x) x(x 1)21(x) (x 1)x22232H3(x) (3 2x)x (x 1)x x 2x22设 P(x) H3(x) A(x Xo) (x Xi)其中，A为待定常数Q P(2) 1P(x)x3 2x2 Ax2(x 1)2A:从而P(x)1 224x2(x 3)217.设 f(x)1/(1 x2),在 5 x 5上取n 10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),计算各节点

29、间中点处的Ih(x)与f (x)值，并估计误差。解:右 x05, x10则步长h 1,XiXo ih,i0,1,L,10f(x)占在小区间xi,x1上，分段线性插值函数为x Xi 1x XiIh(x) f (Xi) f (Xi i)Xi Xi 1X 1 X,、1,、1(X1 刈(x x)。?各节点间中点处的八J)与f(x)的值为4.5 时,f (x)0.0471,Ih(x)0.04863.5 时,f (x)0.0755, Ih(x)0.07942.5 时,f (x)0.1379, Ih(x)0.15001.5 时,f (x)0.3077, Ih(x)0.35000.5 时,f (x)0.800

30、0, Ih(x)0.75004H至庆左max f (x)Xi x x. 1Ih(x)h2一max f ()8 5x5又Q f (x)1 x2f (x)2x(1 x2)2,f (x)f (x)6x2 2273(1 x )24x 24x3(1 x2)4令 f (x) 0得f (x)的驻点为x1,21和x30.1 .f (x1,2) 2,f(x3)2一 一 1max f(x) Ih(x)-5x5418.求f (x) x2在a,b上分段线性插值函数Ih(x),并估计误差 解：在区间a,b上，x0 a, xn b,hi x. 1 x.,i 0,1,L ,n 1,h max hi 0 i n 1 i2Q

31、f(x) x函数f (x)在小区间x ,x. 1上分段线性插值函数为x xi 1x x.Ih(x)f(x.) f(x)xi xi 1x 1 x122 ,x. (x. 1 x) x. 1 (x x.)hi误差为maxxi x xi 1f(x) Ih(x)1一 max8 a bf ( )ghi2Q f(x)f (x)2x2x, f (x)maxa x bf(x) Ih(x)19.求f (x) x4在a,b上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在a,b区间上，x0 a,xn b,hi 为 1 xi,i 0,1,L ,n 1,令 h max hi 0 i n 1Q f(x) x4, f (x) 4x3函

32、数f (x)在区间为，为1 上的分段埃尔米特插值函数为Ih(x) ()2(1 24 f(x)X X 1X 1 X(三旦)2(1 2上工)f(x)X 1 XX xi 1(x_2x_L). (4) / /hi 4 max f () 24 a x b2(x xi)f(x)X X 1(JLJx-)2(x xr)f(X1)X 1 X4%(x x 1)2(h4X 1 /3-(xh3xi)2(h4x3xi i)2(X4xi32(xX)2(x2x 2xi)2x 2xi 1)Xi)Xi 1)误差为f(x) Ih(x)X 1)2g|f(4)()(x x)2(x 4!又Q f (x) x4f(4) (x) 4! 2

33、4max f (x) a x b ' 'Ih(x)maxi44h h16 16(1)S (0.25)1.0000, S (0.53) 0.6868;(2)S (0.25)S (0.53) 0.解:Xix00.05h1X2Xi0.09h2X3X20.06h3X4X30.08hjhjhj 1hjhj 1hj514,9,14Xo,Xi25, 3 f(x1)7, 0f(x0)0.954020.给定数据表如下:XY试求三次样条插值，并满足条件:XiXoXi, x0.8533X2,X30.7717f x3,x40.7150(1)S(Xo) 1.0000,S(X4)0.6868de6( f

34、x1,x2f0)5.5200h。d1c f X1,X2f X0,X16h°hi4.3157d2f X2,X3f X1,X26h1 h23.2640da6fx3，X4fX2，X3h2h32.4300d46 r r(f4 f X3,X4 ) h32.1150由此得矩阵形式的方程组为1514M0114232347M5.52004.31573.26402.43002.1150求解此方程组得M02.0278,M11.4643M21.0313,M30.8070,M40.6539Q三次样条表达式为S(x)(Xj 1 x)36hj(X Xj)36hj2M jhj、Xj 1 x6hjMj12M jhj

35、、x Xj6 hj(j0,1L ,n 1)将MoiMhMzM、M4代入得S(x)6.7593(0.30 x)3x 0.25,0.302.7117(0.39 x)3x 0.30,0.392.8647(0.45 x)3x 0.39,0.451.6817(0.53 x)34.8810(x 0.25)31.9098(x 0.30)32.2422(x 0.39)31.3623(x 0.45)310.0169(0.30 x)6.1075(0.39 x)10.4186(0.45 x)8.3958(0.53 x)10.9662(x 0.25)6.9544(x 0.30)10.9662(x 0.39)9.108

36、7(x 0.45)x 0.45,0.53(2)S(x0) 0,S (x4) 0de 2f0 0,d14.3157, d23.2640d32.4300,d4 2 f4 0040由此得矩阵开工的方程组为M0 M4 014M1M2M34.31573.26402.4300求解此方程组，得M0 0M 1.8809M20.8616,M31.0304,M4 0又Q三次样条表达式为S(x)Mj(xj 1 x)36hjMj(x xj)36hj(yj2M jhjXj 1 x6 hj(yj 12Mj 1%x xj6hj将 Mo,M1,M2,M3,M4代入得6.2697(x 0.25)3 10(0.3 x) 10.9

37、697(x 0.25)x 0.25,0.303.4831(0.39 x)3 1.5956(x 0.3)3 6.1138(0.39 x) 6.9518(x 0.30)x 0.30,0.39S(x)332.3933(0.45 x)3 2.8622(x 0.39)3 10.4186(0.45 x) 11.1903(x 0.39)x 0.39,0.452.1467(0.53 x)3 8.3987(0.53 x) 9.1(x 0.45)x 0.45,0.5321.若f(x) C2 a,b ,S(x)是三次样条函数，证明：b2b2 a f (x) dx a S(x) dx aab2b2f (x) S (x

38、) dx 2 s (x) f (x) S (x) dx aa(2)若 f(x。 S(xi)(i 0,1,L ,n),式中 xi为插值节点，且 a % x L % b,则 bS (x) f (x) S (x) dx aS (b) f (b) S(b) S (a) f (a) S(a)证明：b2 f (x) S(x) dx ab2b2f (x) dx S (x) dx aab2b2f (x) dx S (x) dx aab2 f (x)S (x)dx ab2 S (x) f (x) S (x) dx a从而有2(x) dx2S (x) dxf (x)2bS (x) dx 2 S (x) f (x)

39、 S (x) dx a第三章函数逼近与曲线拟合1 . f(x) sin 5x,给出0,1上的伯恩斯坦多项式 B1(f ,x)及B3(f ,x)。 解：Q f(x) sin-, x 0,1伯恩斯坦多项式为Bn(f,x)kkf (一)Pk(x) n其中Pk(x)kn kx (1 x)0 3x(1x)2gsin 3x2(16x)gsin-x3sin322x(1 x)5 3<3 3 x23 3 2 、x (1 x)3.3 6 2 x2当n 1时，1P0(x)0 (1 x)P(x) xB1(f,x) f(0)B(x) f(1)P(x)1(1 x)sin( 0) xsin 022x当n 3时，13B

40、(x)n (1 x) kB3(f,x)f(-)Pk(x)k 0 n0122P(x) x(1 x) 3x(1 x) 0322P2(x)x (1 x) 3x (1 x)13 33P3(x)3 x3 x31.5x 0.402x2 0.098x32.当 f(x) x 时，求证 Bn( f ,x) x证明：若f(x) x,则n k Bn(f,x)f ( )Pk(x)k 0 nxk(1n kx)n kn(n 1)L(n k 1)xk(1 x)nkk!n (n 1)L (n 1) (k 1) 1(k 1)!kn kx (1 x)kn kx (1 x)k 1(n 1) (k 1)x (1 x)xx(1n 1

41、x)3.证明函数1,x,L ,xn线性无关证明：2-:2n右 ao ax a2xLanx0, x R分别取xk(k 0,1,2,l ,n),对上式两端在0,1上作带权(x) 1的内积，得1n 1M12n 1ao a1 Man00 M0Q此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异, 只有零解a=0。函数1,x,L ,xn线性无关。4。计算下列函数f (x)关于C0,1的f J f|1与| f|2 ：(1)f(x) (x 1)3,x 0,1,1(2)f(x) x 2, (3)f(x) xm(1 x)n,m与 n 为正整数, f(x) (x 1)10ex解：(1)若 f(x) (x 1)3,x

42、 0,1,则f (x) 3(x 1)2 0f(x) (x 1)3在(0,1)内单调递增max0 x 1f(x)max f (0), f(1)max 0,11max f (x) 0 x 1' 'max f (0), f(1)max 0,11161 210(x -)2dx2J6若f(x) xm(1 x)n,m与n为正整数当 x 0,1 时，f (x) 0f 2( 0(1 x) dx)217 1 1叩1 x) 02工71,若 f(x)x -,x 0,1 ,则2max f (x)0 x 11f (x) dx12 1(x21 )dx21 c一f 2 ( 0 f (x)dx)2m 1nf

43、(x) mx (1 x)m 1n 1x (1 x) m(1mn 1x n(1 x) ( 1)n mx) mx (0, nm-)时，f(x) 0f(x)在(0,m内单调递减x (nn mm-,1)时，f(x) 0f(x)在。,1)内单调递减。(,1)f (x) 0 n mmax f (x)0 x 1' 'maxf(0), f(则 f (x) 0m nm gn，、m n(m n)f (x) dxo xm(1 x)ndx2 (sin 2t)m(1 sin 2t)nd sin212 _ 2m 2n2sin tcos0n!m!(n m 1)!t costg2gsin tdt1-f2。婢。

44、1 x)2ndx2102sin4mtcoVntd(sin2t)21J2sin4m 1tcos4n 1tdt2(2n)!(2m)!2(n m) 1!若 f(x) (x 1)10exf (x) 10(x 1)9e x (x 1)10( e x) (x 1)9ex(9 x)0f (x)在0,1内单调递减。Ilf I maxf(x)max f(0),f(1)210e111fli 0f(x)dx1110 x0(x 1) e dx“11c(x 1)10e x q o10(x 1)9exdx105 e 11f 2 0(x 1)20e2xdx27(3 A)4 e5。证明 f g fg证明：f(f g) gf

45、ggf gfg16。对 f(x),g(x) Ca,b,定义b(1)(f，g) a f (x)g (x)dx ab(2)( f.g) f (x)g (x)dx f(a)g(a) a问它们是否构成内积。解： 令f (x) C (C为常数，且C 0)而(f, f)f (x) f (x)dxa这与当且仅当f 0时，(f,f) 0矛盾不能成C1a,b上的内积。b(2)若(f,g) f(x)g(x)dx f(a)g(a),则 ab(g, f) a g (x) f (x)dx g(a)f (a) (f,g), K ab(f,g) a f(x)g(x)dx af(a)g(a) aba f (x)g (x)dx f (a)g(a)(f ,g)h C1a,b,则b(f g,h) f(x) g(x) h (x)dx f(a)g(a)h(a) abbf (x)h (x)dx f (a)h(a) f