已知三角函数值求角知识讲解

1、【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步(了解)理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出0,2 范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义(1) 一般地，对于正弦函数y sinx,如果已知函数值 y(y 1,1),那么在,上有唯一的x值2 2和它对应，记为x arcsin y (其中1 y 1, x 一).即arcsin y ( | y | 1)表示 一,一 上正弦等于y 222 2的那个角.(2)在区间0, 上符合条件cosx y( 1 y 1)的角x,记为x

2、 arccosy.(3) 一般地，如果tanx y(y R),且x -,-，那么对每一个正切值 y ,在开区间一,_ 内，2 22 2有且只有一个角x ,使tanx y .符合上述条件的角 x ,记为x arctan y,x ( 一,一).2 2要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角已知角x的一个三角函数值求角x,所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角为；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应 的锐角x

3、1.第三步，如果函数值为负数，则可根据x可能是第几象限角，得出(0, 2n)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为一X +n；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为整+式或一X + 2汽.第四步，如果要求(0, 2支)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出 结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角小 ”.2例 1.已知 sin x , (1) x 0,2, (2) x R,求角 x.2【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角.【解析】以第三象限的那个角是一5-,第四象限的角是24444： 终边相同的角.因

4、此 x的取值集合为(1)由sinx 也知x的正弦值是个负值，所以x是第三象限或第四象限的角.因为 sin一 灭，所 242(2)在R上符合条件的角是所有与5-终边相同的角和所有与457x|x 2k(k z) U x|x 2k (k z).44【总结升华】(1)定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角.(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角为，如果三角函数值为负，则求出与其绝 对值对应的锐角x1 .写形式.根据 ±, 2的诱导公式写出结果. 第二象限角：小；第三象限角：xi第四象限角：2x1 .如果要求出0 ,2范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写

5、出所有结果.例 2. (1)已知 cosx= 0. 7660,且 xC 0,n,求 x；(2)已知cosx= ,且xC 0, 2n,求x的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角.【解析】(1)由余弦曲线可知y= cosx在0, tz 上是减函数又由已知cosx= < 0得x是一个钝角又由 cos(n一x)= cosx=0. 7660利用计算器求得 汽一x=297 x 一9符合条件的有且只有一个角-.9(2) ,cosx= 0. 7660 < 0,所以x是第二或第三象限角，由 y= cosx在0,n上是减函数y = cosx

6、在n，2n上是增函数因为 cos(n + 2 )= cos( it -)=.99可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角7 或第三象限角11 .99所求角x的集合是 7 ,卫. 99举一反三：【变式1】已知sinX=-,且* 0 , 2 ,求角X的取值集合.【答案】arcsin0.3332或 2 arcsin0.3332【变式2】根据下列条件，求 ABC勺内角A3, c、3 cos A (2) sin A 一25【思路点拨】因为/A为ABC勺内角，所以0vAv .根据余弦函数在(0,)内是单调递减的，故符合条 件的/ A只有一个，而根据正弦函数的单调性，在 (0,)中符合条件的有两个【解析

7、】(1) /A为ABC勺内角0< A<余弦函数在区间（0,）中为减函数，所以符合条件cos A 二的角A只有一个25 cos 6,3. 3 - cos 62（2） 0<A«,根据正弦函数的单调性，在1 sin（ A） sin A,3 A arcsin或 A5类型二：已知正切值，求角例3.已知tan2.若（-,-）（2）2 2【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间而在 0,2 内，符合条件tan 2的就有两个3（0,）内付合条件sin A -的角A有两个535.3 arcsin50,2 （3） R,求角.（一,一）内，符合条件tan2的角只有一个，2 2.再根据

8、正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角就有无穷多个了2的角只有一个，即【解析】（1）由正切函数在开区间 （一,一）上是增函数可知；符合 tan2 2arctan( 2)(2) tan 2 0,是第二或第四象限角，又0,2,由正切函数在区间（一，）、2（3 ,2 上是增函数知，符合2tan 2的角有两个.tan（)tan(2 ) tan 2,且arctan( 2) ( ,0) 2arctan( 2)或2 arctan( 2)（3）二.正切函数的最小正周期为只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的 ，再加上k即可在（1）中， （-,）arctan（ 2）2 2R, k arctan（ 2）

9、, k Z举一反三：【变式1（1）已知tan x= 1 , xC （, 一），求x.322（2）已知tan x= 1 ,且x C 0, 2n,求x的取值集合 3【思路点拨】（1）由正切曲线可知y=tanx在（一，一）上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得（2）由正切函数的周期性，可知一1当 x = 一 十 n时，tan x = _且+ n=C 0, 2 TT 1010一 ，一11，所求x的集合是而，土类型三：反三函数的综合应用x= 一 =18° 26'100,2 ,sin和cos分别是方程x2 kx k 1 0的两个根，求 22sin2cos21 求 k,sin和cos 是方程x2kx k 1 0两个根sin cos ksincos k 12-x 2,得：sin2整理得：k2 2k 3 0解得：k 1或k 3又k2 4(k 1) 0 22 3 2.2当k= - 1时，原方程为x2sin 0cos或cos 1 sin0,2 )cos2k2 2(k 1)2 J2 或 k 2 42，k=3应舍去，k= - 1【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式 然后利用sin和cos的值求0,-)内,2例 5.求证 arctan1+arctan2+arctan3=【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间