全国近十年高考数学‘压轴题’高频考点和解题策略

1、全国近十年高考数学压轴题高频考点和解题策略前言：近11年全国I卷，11道理科压轴题中全部考查函数与导数。函数与导数”以其极强的综合性强，灵活多变的解法，屡屡承载压轴使 命.也因此成为了高考数学是否可以达到140+的关键因素。一、近十年全国卷压轴题考点（一）方法角度（1）函数的零点，极值点的问题：2015 （I卷），2017 （I、II卷），2018 （ II卷，III卷）（如何选取函数，如何取点）（2）恒成立求参数范围问题：2010, 2011 , 2013 （I卷）（含参求导、分离参数、化两个函数（一直一曲）（3）函数不等式（证明和利用解决问题）：2013 （II卷），2014 （I卷），2

2、017 （III卷）（函数不等式的等价变形、数列求 和问题的函数不等式寻找）（4）函数的值域问题（包含任意存在、派生函数值域）：2015 （II卷），2015 （II卷）（隐零点问题的整体代换（虚设零点）（5）双变量问题：2016 （I卷），2018 （ I卷）（极值点偏移问题，双变量问题的函数构造）（6）数值估计：2014 （II卷）（极值点附近的 x值的选择）（7）高等数学背景下的压轴题处理：（定积分法求和，极限思想的应用（罗必达法则），双变量中的拉格朗日中值定 理）（二）核心函数角度（以二次函数为主）省份题设讷数导函数核心曲数及廊式北京f (a ) = ATd，-< + bxfx)

3、 = (I - )c*-T + bh (,v) = (1 ,v)crt ：一次画融、指数承数上海fix) = log,(+d) Xg + ll生条件最值/l l) - lc®- 4 ).r 十 la - 51 =唯一密问题天津/w =(jr- I)3 -fr尸(#) = 3(1 J-口MM = 3ti - h a二次函敷门制="J b'童要不等式江苏小) = /(*)-2小T*+圉)t ,以丫 In a + 1 j 口，Inb指数的数省份题设函数导南数轼心雨救及形式国川f(x) = ax2 - a- Injr.,.2- - 1/ (x) =A/j(x) = 2iJ.

4、v* -二次试数/卜 /(xi- i+ r- ,r21I一咫-in + e gXj (.v) = 2fiix 十，X X檀心函数不明，需二次求导浙江F(j)= min |?|,ir l|kv lox + Ja ?最值问题一"1/(jf) = <i(j：-lnTr) + XJrSjt 己 Mjt 1)f(Jt)=,力(.寸)= d 2二次函数山东,.3 l 2f / (jf) =+-I M x-g f# j jf - In jf3 J :2M© -i - x L 支-5；)=- XJ(A,) = .X - 1二次函数3x' 2ur+ 6#一 4f (.V)- -

5、3.r? - 2.v + 6二次图敷二、解题策略熟悉掌握以下六种基本函数及其图象X' In jtv =-串=In xx在遇到涉及指数函数式与对数函数式的综合题目时，可考虑将指数函数式和对数函数式分离成上述六种基本函数分析解答 .例L (2014课标全国1理21,满分12分)设函数f(x) = aey lnx +,曲线尸=/(工)在点(1,川)x处的切线方程为y=e(xT)+2 ,(1)求 ar b(2)证明：【思路分析】(2)由(1)知。=1, /? = 2 ,x, JC 2于是/(工)>1 o xlnx>.e ex 2设函数g(x) = xin，h(x)=-.e e只需证

6、明g(x)mifl >人(久)2 .如下图-U)解：函数/(工)的定义域为(。，+8)ff(x) = a lnx4-e¥ -eJ 1 +-cJ 1 X X X由题意可得/=2,= 故1=1,力=2,2(2)证明：由(1)知./a)= c'hix + x.2从而f(x) > 1 等价于* In, >工巳".e设函数g(x)=xlnx, 则g'(#)=l+lnx.令(") =()，解得工=1,所以当工w(0, L)时，#(工)<0： c当工£ (L+ 00)时，g"(x)>o , e故g(x)在(0,

7、1)上单调递减，在d，+M L单调递增 ee从而含(工)在 +°°)上的最小值为g(l)=-L e e2设函数新幻=汹1 -I则/。)=占”(1 -尤)， e令(幻=0,解得” :1,所以当 xw(0, 1)时，hXx) > 0 ；当xe(L +8)时，Af(;c)<0.故力(/)在(。,1)上单调速增，在(L + 8)上单调递减从而力卜)在(0,十叼上的最大值为断1) = -L c所以在(0, +8)上，有名血。)之方3(幻.当其二时，=e ee当才=1 时，如）=g（3gQ）.c综上当工0时，g（x）力（幻，即/（幻）L函数极值点存在不可求问题利用函数最值解

8、不等式问题时，遇到函数的最值在极值点处，函数极值存在 却不可求，这时可以考虑设出极值点，利用整体代换的思路求解.例2.（2015课标金国1 ,文21,满分12分）设函数/（A）= e2x-alnx,（D讨论/（上）的导函数r（x）零点的个数：2证明：当心。时，402207H玉.（1）解：/（工）的定义域为（0, +叼，r（*）=2e力一；。0）.当QW0时，/（x）0* /卜）没有零点.当时，因为小单调递增，-色单调递增，所以/。）在（0, +但）上单调递增.乂 1rg）o,假设存在h满足oa1, h.斥）时./（力）0,故当心。时，/（工）存在唯一零点，证明；由可设了3在+叼上的唯一零点为和

9、当文w（0,/）时，（工）0：当月 W（Xq,十 8）时，/'（X） 0，故/（元）在（0.加）匕单调递减，在（天，+ 8）上单调递增，所以当尸/时，/(#)取得最小值，最小值为/(%).所以/(x0) =+ 2or0 aln >2a+an .2/aa2故当口 >0时，/()之2u十仃1口 一，利用超越不等式放缩1、牢记常用的超越不等式<1) sinx <h< tan#, x e (0.)； 2(2) cr > Jt + L x*0；13) In x< jf < e' * x> 0,2、常见变式(1)In a < jc

10、 -1.x e (0,t g)；In(x4-1) i慝 E (一十8)：(3)Inx > 1 -, Xx e (0, 4<=o)；1 . r 一v In,x e (1, -Hx>).在需要确定函数取值范围时可以利用上述不等式将指数、对数、三角函数等超越函数放缩成非常熟悉的一次函数或反比例函数来分析求解例*(2013 课标全国II理21,满分12分)已知函数 /*)=/一 ln(x+/H)(I )设=0是/(刈的极值点,求倒，并讨论八幻的单调性；(II)当时证明/(外0.【思路分析】C1I)/'(X)> 0 <=> -ln(x + m)>0 =

11、ln(x + m) <ex，由于ln(x+w) < jc + w-I £x + l工。' 且三等号小前同时取到，糜式得证.证明：略方程根(函数零点)的个数问题考虑函数零点个数问题时，应根据函数的导数确定原函数的单调性和极值， 可结合函数图象和参数的取值范围确定零点个数，或根据零点个数确定参数取值 范围.例4,(2。6广东高考文21, 14分)设修为实数，函数 /(x)=(x-a)2+| x-a |p(aT).(D若y(o)wi,求口的取值范围；讨论了(幻的单调性；。)当时，讨论+ ±在区间(0, +8)内的零点 x个数.【解】(1)/(0)=。川。卜/加

12、=同十%因为,(0)£1,所以囤+oWL当nWQ时，|a|+<j=a+a-OL显然成立;当o>0,则有同+口=2】忘1,所以nJ 所以0功综上所述，0的取值范围是(-8,.jc2- (2a 1) xt 工)。.“0 二 ” 工Ylx£ (2。+ 1) jc+2g Ej.对于对二(2口1口，开口向匕 其对称轴为2a-l1X - =£/ <£? r22所以在 +8)上单调递增：对于4 =/一(2仪+ 1)工+ 2。，开口向上，其对称轴为2a+11x = " + >,22所以/在(一 8,上单调递减，综上，/(X)在(G +&

13、#176;°)上单调递增，在(-00,日)上单调递减.(3)山(2)得/(幻在(m +8)上单调递增，在(0, 0上单调递减,所以/(荣焉=/(0 二 "一"上(i)当口=2时.人力巾巾=/(2)=-2,/一3/,a2】 J(j),必一5jc+4, x<2>令人工)+£=。，即於)=一*工>0)因为/在(0, 2)上单调递减，所以当xs(0, 2)时，有/>/(2) = -2.4而y二在(0. 2) I:电调递增， x当工£(0, 2)时，有”/(2)2,4所以y=/(#)与了 = 一一在(0, 2)无交点.x4当工之2

14、时，令/ (jt) = / 一 3元=x即工 * 3x°+4 = 0.所以F -2/-工* +4 = 0 ,所以(#一2>(工+ 1) = 0 ,4 因为，之2.所以# = 2,即当口 = 2时，/(工)+有x一个零点x = 2.(ii)当口 >2时, /(工).标，当xe(O, *)时，/(O) = 2a > 4 , /(0) = =-/4而y =在1r£(0, ©上单调递增，x4当 x-a 时, y=一，a4下面比较f(d) = a /与-二的大小，am jr2,4、 (4一44)因为 _) = "aa_-("2)(口&q

15、uot; + 2), < u.a,4所以 f(a) = " -< .a/、4结合图象不难得出，当1>2, y弓(工)与有两个交点，综土，当口=2时，/() + 有*个零点工;2： x当白2, y寸(/)与y二一士有两个交点.以高等数学为背景的试题（洛必达法则、拉格朗日中值定理等的应用）遇到含参不等式的证明时常用的两种方式： 对参数分类讨论和参变量分离法 对于参变量分离的求解策略关键在于分离后构造的函数要存在最值.如遇最值不 存在的问题，可以考虑用洛必达法则求出函数的极限，再由极限值构造函数.例5, （2010课标全国理21,满分12分）设函数 f（x） = ex -

16、 -x-ax2.（1）若以=0,求的单调区间；（2）若当x之。时,/（）之0,求。的取值范围.思路分析】C）由/（幻之0,解得"工一（参 x变分离），由洛必达法则可得e*1工 “ e” 1-1hm；=hm= lim 二一，工 x 工-2x22将问题转化为证明曰工一1一丈 ri: n,> £? 1 x JC >0（，>0） ,/22,于是得到”是&当xNO时，/（幻之0”的充 分条件，再证明必要性即可.注；洛必达法则在高考中不能直接运用，但”以帮助我 们构造函数.第10页共11页【解】/在（一8期上单调递减,在（0,+8）上单调递增（详解略）.（2）当龙=0时，/（幻二0之0显然成立；巴工1x当 X > 0 时，f （x）3 0 =。4r* ，构造函数g（x） = " T 上；储“ >。），9口） = " -1-x*由（1）知/（1）=/-1-工在（0, 3）上单调递增，二 g'（x） > g（0）=。-g（刈在（& e）上单调递增，二烈”）>前0 = 0,-色了一1N 11,；/一1 -1x >0 => ,可得n